2蹺蹺板系統(tǒng)的數(shù)學模型

　　蹺蹺板系統(tǒng)示意圖如圖(1)所示。

　　圖(1)蹺蹺板系統(tǒng)示意圖

　　圖中各參數(shù)定義如下：

　　杠桿的傾斜角度;X:小車的位置;d1:杠桿相對支點高度0.125m;d2:杠桿中心點相對支點高度0.058m;Iw:轉(zhuǎn)動慣量0.395kg.m2;mb:小車的質(zhì)量0.57㎏;mw:杠桿的質(zhì)量3.6㎏;:重力加速度9.81N/㎏。

　　定義拉格朗日算子

　　L=T-U(1)

　　其中T為系統(tǒng)的動能，U為系統(tǒng)的勢能。取狀態(tài)變量為，為構(gòu)造拉格朗日方程，分別求出

　　將(4)式代入(2)式和(3)式，即可得到(5)和(6)式

　　通過(5)和(6)式可分別求得和的表達式

　　方程組(7)即為系統(tǒng)的非線性狀態(tài)方程表達式。

　　3模糊滑?？刂破鞯脑O計

　　滑模變結(jié)構(gòu)控制具有響應速度快、魯棒性強等優(yōu)點，被廣泛應用與非線性系統(tǒng)控制當中，但是滑模控制容易引起系統(tǒng)的抖振現(xiàn)象，導致系統(tǒng)的最終不穩(wěn)定。模糊滑模控制是在不確定環(huán)境下，對于復雜對象進行有效控制的一種智能控制方法。它不依賴系統(tǒng)的模型，而且對干擾具有完全的魯棒性，同時保持了模糊控制和滑模控制的優(yōu)點。模糊滑模控制的基本設計方法是在滑?？刂葡到y(tǒng)的趨近階段通過模糊邏輯調(diào)節(jié)控制作用來補償未建模動力學的影響，其目的是提高控制系統(tǒng)的品質(zhì)、減少到達滑動面時間、降低抖振。文中利用模糊控制規(guī)則調(diào)整控制輸入量的大小，保證滑?？刂频竭_條件得到滿足。模糊滑?？刂圃砣鐖D1所示。

　　圖1模糊滑模控制原理圖

　　由圖可知，模糊滑模控制系統(tǒng)由三部分組成，即切換函數(shù)、模糊控制器、和被控對象。滑模函數(shù)的輸入為系統(tǒng)狀態(tài)變量，切換函數(shù)設計為s=C·X

(1)

　　模糊控制器的輸入為切換函數(shù)及其變化率，這樣可有效的減少模糊規(guī)則的數(shù)量，很好的解決高階系統(tǒng)多輸入中存在的規(guī)則爆炸問題。控制的變化量作為滑?？刂破鞯妮敵觯墒鼓：？刂瞥蔀闊o模型控制，依賴于被控對象的程度較小[7]。

　　根據(jù)模糊控制原理，定義模糊集，

　　其中PB，PM，PS，ZO，NS，NM，NB分別表示為正大，正中，正小，零，負小，負中，負大。在滿足不等式的條件下設計，所獲得的控制表如表1所示。使用的模糊規(guī)則是

　　表1模糊控制規(guī)則表

　　表中所有的控制規(guī)則是根據(jù)滿足這個達到滑模的充要條件所設計的[8]，所以設計的模糊滑?？刂葡到y(tǒng)是穩(wěn)定的。

　　4仿真研究

　　圖2 小車位置隨時間變化曲線

　　圖3杠桿角度隨時間變化曲線

　　圖4切換函數(shù)對時間變化曲線

　　圖5控制律隨時間變化曲線

　　由以上仿真結(jié)果可以看出，利用本文方案設計的控制器大大加快了系統(tǒng)的響應速度，且能有效地減小系統(tǒng)的最大偏差，系統(tǒng)的抖振現(xiàn)象也基本可以消除。

　　5結(jié)論

　　本文介紹了蹺蹺板系統(tǒng)的工作原理,建立了蹺蹺板系統(tǒng)的數(shù)學模型。針對常規(guī)滑模控制中存在的抖振現(xiàn)象，將模糊滑?？刂品椒ㄒ胲E蹺板控制系統(tǒng)中,通過仿真可以看出，將模糊滑?？刂?/strong>應用于具有強耦合、非線性特性的蹺蹺板系統(tǒng)是切實可行的，而且使用滑模模糊控制算法設計出來的控制器具有很強的魯棒性。