摘要：基于線性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)原理，提出線性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的模型，并利用Matlab實(shí)現(xiàn)Widrow-Hoff神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法。分析Matlab人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)工具箱中有關(guān)線性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的工具函數(shù)，最后給出線性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在系統(tǒng)辨識(shí)中的實(shí)際應(yīng)用。通過對(duì)線性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練，進(jìn)一步驗(yàn)證Widrow-Hoff神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法的有效性，以及用其進(jìn)行系統(tǒng)辨識(shí)的高精度擬合性。
關(guān)鍵詞：Widrow-Hoff學(xué)習(xí)規(guī)則；線性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)；Matlab；系統(tǒng)辨識(shí)

1 引言
    利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)解決實(shí)際問題時(shí)，必定涉及大量數(shù)值計(jì)算。為了解決數(shù)值計(jì)算與計(jì)算機(jī)仿真間的矛盾。美國MathWorks公司推出的集數(shù)學(xué)計(jì)算、圖形計(jì)算、語言設(shè)計(jì)、計(jì)算機(jī)仿真于一體的Matlab具有非線性適應(yīng)性信息處理功能，克服傳統(tǒng)人工智能方法對(duì)于直覺，如模式、語言識(shí)別、非結(jié)構(gòu)化信息處理方面的缺陷，使之在神經(jīng)專家系統(tǒng)、模式識(shí)別、智能控制、組合優(yōu)化、預(yù)測等領(lǐng)域獲得成功，具有極高的編程效率。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)工具箱是以神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)理論為基礎(chǔ)，用Matlab語言構(gòu)造的典型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)工具函數(shù)。Matlab中大量有關(guān)線性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的工具函數(shù)可為線性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)研究和應(yīng)用提供強(qiáng)有力的工具。

2 線性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)原理
2．1 線性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的模型
    圖1是具有R個(gè)輸入的單層(有S個(gè)神經(jīng)元)線性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，其權(quán)值矩陣為w，閾值向量為b，這種網(wǎng)絡(luò)也稱為Madaline網(wǎng)絡(luò)。

2．2 線性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)規(guī)則
    線性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是基于線性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法。線性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)采用Widrow-Hoff學(xué)習(xí)規(guī)則，利用learnwh()函數(shù)修正網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值和閾值。使用Widrow-Hoff學(xué)習(xí)規(guī)則訓(xùn)練網(wǎng)絡(luò)某一層的權(quán)值和閾值，使其線性逼近一個(gè)函數(shù)式。
    首先定義一個(gè)線性網(wǎng)絡(luò)的誤差函數(shù)：

   
    通過式(1)可知，線性網(wǎng)絡(luò)具有拋物面型的誤差曲面，因此只有一個(gè)誤差最小值。由于該值取決于網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值和目標(biāo)矢量，于是可通過調(diào)整權(quán)值使誤差達(dá)到最小。Widrow-Hoff學(xué)習(xí)規(guī)則是通過沿著相對(duì)于誤差平方和的最速下降方向，連續(xù)調(diào)整網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值和閾值，根據(jù)梯度下降法，權(quán)值矢量的修正正比于當(dāng)前位置上的e(w，b)的梯度，對(duì)于第i個(gè)輸出節(jié)點(diǎn)：

式中，η是學(xué)習(xí)率。
    當(dāng)η較大時(shí)，學(xué)習(xí)過程加速，網(wǎng)絡(luò)收斂較快，但η過大時(shí)，學(xué)習(xí)過程變得不穩(wěn)定，且誤差增大；δ(i)=t(i)-a(i)。
    以上各式為Widrow-Hoff學(xué)習(xí)規(guī)則最小均方誤差算法(LMS)。Widrow-Hoff學(xué)習(xí)規(guī)則的權(quán)值變化量正比于網(wǎng)絡(luò)的輸出誤差及網(wǎng)絡(luò)的輸入矢量。該算法無需求導(dǎo)，因此較簡單，并具有收斂速度快和精度高的優(yōu)點(diǎn)。由于學(xué)習(xí)率與學(xué)習(xí)過程比較密切，因此學(xué)習(xí)率的取值非常關(guān)鍵。
    采用Widrow-Hoff規(guī)則訓(xùn)練的線性網(wǎng)絡(luò)，該網(wǎng)絡(luò)能夠收斂的必要條件是被訓(xùn)練的輸入矢量必須是線性獨(dú)立的，且應(yīng)適當(dāng)選擇學(xué)習(xí)率。

3 線性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)
    Matlab神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)工具箱中含有易于構(gòu)建的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)。以下詳細(xì)說明線性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)。
3．1 線性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的Matlab設(shè)計(jì)
3．1．1 線性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)初始化
    初始化是對(duì)連接權(quán)值和閾值進(jìn)行初始化。initwb()初始化函數(shù)是對(duì)網(wǎng)絡(luò)的某一層的權(quán)值和閾值進(jìn)行初始化，其格式為：net=initwb(net，i)。其中，i表示網(wǎng)絡(luò)的第i層。函數(shù)返回為第i層的權(quán)值和閾值都更新的網(wǎng)絡(luò)。
3．1．2 訓(xùn)練網(wǎng)絡(luò)
    線性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)初始化后，就可對(duì)其訓(xùn)練。設(shè)置參數(shù)，諸如學(xué)習(xí)步長、誤差目標(biāo)等，同時(shí)在網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練過程中，圖形顯示網(wǎng)絡(luò)誤差隨學(xué)習(xí)次數(shù)的變化而變化。
    其格式為：

   
式中，Pd為延遲輸入；T為每一層的目標(biāo)向量；Ai為初始輸入條件；Q為輸入向量個(gè)數(shù)；TS為時(shí)間步長；VV為空矩陣或確定的向量結(jié)構(gòu)。
3．1．3 網(wǎng)絡(luò)仿真
    仿真甬?dāng)?shù)sim()用來網(wǎng)絡(luò)仿真。其格式為：[Y，Pf，Af]=sim(net，{Q TS}，Pi，Ai)。其中，Y為訓(xùn)練好的線性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的實(shí)際輸出；Pf為最終輸出延遲；Af為最終的層延遲。
3．2 訓(xùn)練步驟
    (1)根據(jù)給定的輸入矢量計(jì)算網(wǎng)絡(luò)的輸出矢量a=wxp+b，并計(jì)算與期望輸出之間的誤差e=t-a；
    (2)將網(wǎng)絡(luò)輸出誤差的平方和與期望誤差相比較，如果其值小于期望誤差，或訓(xùn)練以達(dá)到事先設(shè)定的最大訓(xùn)練次數(shù)，則終止訓(xùn)練；否則，繼續(xù)訓(xùn)練；
    (3)采用Widfrow-Hoff學(xué)習(xí)規(guī)則計(jì)算新的權(quán)值和閾值，并返回至(1)。

4 線性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在系統(tǒng)辨識(shí)中的應(yīng)用
4．1 工作原理
    線性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)用于線性系統(tǒng)辨識(shí)必須遵循系統(tǒng)辨識(shí)的3個(gè)基本構(gòu)成原則：(1)選擇在滿足給定的誤差準(zhǔn)則下逼近系統(tǒng)的最簡單模型；(2)輸入信號(hào)的頻譜必須足以覆蓋系統(tǒng)的頻譜；(3)誤差準(zhǔn)則由誤差的泛函表示。
    對(duì)于一個(gè)具有m個(gè)輸入和n個(gè)輸出的r階離散線性系統(tǒng)，可由n個(gè)差分方程來描述，其中第l個(gè)差分方程的一般形式表示為：

   
式中，aij和bij是方程右邊各項(xiàng)系數(shù)，如果某項(xiàng)系數(shù)為零，則該項(xiàng)與y1(k)無關(guān)，去掉該項(xiàng)。
    從式(5)可以看出，線性系統(tǒng)k時(shí)刻的輸出可以由前面時(shí)刻有關(guān)輸入輸出線性表示，這種關(guān)系類似于單層線性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸入輸出之間的關(guān)系。根據(jù)上述原則(1)，建立線性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)以辨識(shí)線性系統(tǒng)，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入由系統(tǒng)輸入輸出信號(hào)的時(shí)延序列組成，網(wǎng)絡(luò)的輸入個(gè)數(shù)與系統(tǒng)階數(shù)有關(guān)，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出代表系統(tǒng)輸出的估計(jì)值，網(wǎng)絡(luò)的輸出個(gè)數(shù)等于系統(tǒng)輸出個(gè)數(shù)。網(wǎng)絡(luò)建立后，根據(jù)基本構(gòu)成原則(2)，運(yùn)用Widrow-Hoff學(xué)習(xí)規(guī)則訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，反復(fù)調(diào)節(jié)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值和閾值，使網(wǎng)絡(luò)輸出y(k)和系統(tǒng)輸出Y(k)之間的輸出誤差不斷減小，直至達(dá)到規(guī)定精度要求。
4．2 應(yīng)用實(shí)例
    設(shè)系統(tǒng)傳遞甬?dāng)?shù)為用線性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)辨識(shí)其脈沖響應(yīng)。設(shè)置如果迭代次數(shù)大于10 000或誤差小于0．001時(shí)，訓(xùn)練結(jié)束。
    采用其工作原理及Widrow-Hoff規(guī)則訓(xùn)練給定系統(tǒng)。訓(xùn)練過程中，當(dāng)?shù)拇螖?shù)大于10 000或誤差小于目標(biāo)誤差時(shí)，訓(xùn)練結(jié)束。圖2為訓(xùn)練后的訓(xùn)練誤差及步數(shù)曲線，由圖2看出，經(jīng)過7 766步訓(xùn)練后誤差達(dá)到0．000 999 252小于誤差目標(biāo)e=0．001，訓(xùn)練結(jié)束。

    圖3為訓(xùn)練后的結(jié)果與期望結(jié)果的比較，圖中，“·”表示訓(xùn)練值，連續(xù)曲線表示理論值。由圖3可見，訓(xùn)練值和理論值基本擬合。

    需要注意的是，在訓(xùn)練過程中發(fā)現(xiàn)，由于權(quán)值的初始值是隨機(jī)的，經(jīng)多次訓(xùn)練，每次的訓(xùn)練結(jié)果都不一樣，有時(shí)訓(xùn)練到10 000步時(shí)仍然收斂不到0．001。由此可見，初始權(quán)值的選取對(duì)訓(xùn)練是有一定影響的。選取初始值時(shí)應(yīng)要根據(jù)具體要求而定，不能隨意而定。

5 結(jié)語
    論述的Widrow-Hoff學(xué)習(xí)規(guī)則算法可實(shí)現(xiàn)，仿真結(jié)果表明Widrow-Hoff學(xué)習(xí)規(guī)則無需求導(dǎo)，算法比較簡單，收斂速度快。采用線性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)辨識(shí)系統(tǒng)，無需建立實(shí)際系統(tǒng)的辨識(shí)模式，因?yàn)榫€性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)本身已作為一種辨識(shí)模型，可達(dá)到很高的辨識(shí)速度且擬合精度較高。該方法還可推廣至其他本質(zhì)非線性系統(tǒng)。