0 引 言
    量綱誤用在科學(xué)計(jì)算程序中是一種常見的錯(cuò)誤，然而程序設(shè)計(jì)語言的標(biāo)準(zhǔn)類型系統(tǒng)卻對(duì)此無能為力。物理方程中的量綱錯(cuò)誤可以手工分析出來，然而求解物理方程的計(jì)算機(jī)程序中的量綱錯(cuò)誤卻難以被發(fā)現(xiàn)，因?yàn)橛?jì)算程序往往很復(fù)雜。例如，一些研究者認(rèn)為火星氣候探測衛(wèi)星的丟失，是因?yàn)槌绦蛑邪岩粋€(gè)英制單位的變量傳遞給了使用公制單位的模塊。因而，量綱的正確性對(duì)計(jì)算結(jié)果的正確性非常重要。
    近年來，研究者們提出了一些量綱檢測方法，典型的如Osprey量綱檢測方法。Osprey方法包含5個(gè)主要步驟：
    (1)對(duì)待檢測源程序進(jìn)行單位標(biāo)注，使得檢測器能夠知道每個(gè)變量的單位；
    (2)C語言解析和語法檢查；
    (3)生成包含單位信息的抽象語法樹；
    (4)生成約束CY程)；
    (5)方程的化簡及高斯消去求解(GE)。
    可以看出，Osprey方法步驟較多，每步都需要語言外的其他工具，并需要對(duì)其進(jìn)行修改、擴(kuò)充，而且最后的高斯消去(GE)計(jì)算量非常大，是Osprey方法的性能瓶頸。使用Osprey方法還有一個(gè)問題，就是需要同時(shí)維護(hù)2份源代碼：一份正常代碼用于編譯測試；另一份包含量綱信息的檢測代碼，修改正常代碼后必須及時(shí)對(duì)檢測代碼進(jìn)行更新，維護(hù)起來也比較繁瑣。此外，由于C++語言的解析非常困難，Osprey方法目前沒有實(shí)現(xiàn)對(duì)C++程序的量綱檢測。
    針對(duì)這些問題，提出一種基于模板元編程的量綱檢測方法TADA(TMP-bAsed Dimensional AnalysisMethod)，其基本思路是利用程序設(shè)計(jì)語言自身的模板元編程(Template Meta Programming，TMP)功能，讓編譯器在編譯時(shí)對(duì)程序中的量綱進(jìn)行準(zhǔn)確性檢測，從而可以避免Osprey方法的計(jì)算量大等諸多問題。TADA方法具有下列優(yōu)點(diǎn)：
    (1)TADA方法可使得應(yīng)用開發(fā)人員不需要維護(hù)2份代碼，因?yàn)槭褂肨ADA方法的檢測程序也完全是一個(gè)合法的可編譯的程序。
    (2)TADA方法的量綱檢測完全在編譯期間進(jìn)行，對(duì)程序不會(huì)引入任何運(yùn)行時(shí)開銷。
    (3)TADA方法無需進(jìn)行方程組求解工作，可以適用于任何規(guī)模的程序。與Osprey等方法類似，TADA方法也需要手工對(duì)程序添加量綱信息，其標(biāo)注的工作量與Osprey等方法相當(dāng)。但TADA方法中編譯器在進(jìn)行檢測的時(shí)候無需進(jìn)行Osprey方法中的方程組求解工作，因而不再有Osprey方法的計(jì)算瓶頸。
    (4)TADA方法采用模塊化設(shè)計(jì)，使得單位的表示與匹配檢測之間實(shí)現(xiàn)了松耦合，支持用戶可以以一致的方式增加新的單位。

1 模板元編程(TMP)技術(shù)
    在C++程序設(shè)計(jì)語言中，模板元編程是實(shí)現(xiàn)代碼重用的一種重要機(jī)制。下面首先對(duì)模板元編程技術(shù)進(jìn)行介紹，然后給出TADA方法中需要使用的幾個(gè)基本的模板元程序。
1．1 模板元編程簡介
    模板可以將類型定義為參數(shù)，以提高代碼的可重用性。模板包括類模板和函數(shù)模板等。函數(shù)模板與模板函數(shù)的區(qū)別可以類比于類與對(duì)象的區(qū)別：函數(shù)模板是模板的定義；而模板函數(shù)是函數(shù)模板的實(shí)例，具有程序代碼，占用內(nèi)存空間。當(dāng)編譯系統(tǒng)發(fā)現(xiàn)了函數(shù)模板一個(gè)對(duì)應(yīng)的函數(shù)調(diào)用后，根據(jù)實(shí)參的類型來確認(rèn)是否匹配函數(shù)模板中對(duì)應(yīng)的形參，然后生成一個(gè)重載函數(shù)，稱該重載函數(shù)為模板函數(shù)。類似地，在聲明了一個(gè)類模板后，也可以創(chuàng)建類模板的實(shí)例一模板類。
    類模板的一般形式如下：
    template
    class類名{
    ／／類定義…

    }；
    C++模板系統(tǒng)能夠通過模板的特化、偏特化實(shí)現(xiàn)邏輯判斷，并能通過模板遞歸實(shí)現(xiàn)循環(huán)，構(gòu)成了一個(gè)圖靈完全的二級(jí)語言。使用這種二級(jí)語言進(jìn)行編程叫作C++模板元編程(Template Meta Programming，TMP)。模板元編程的驅(qū)動(dòng)力是模板的遞歸實(shí)例化。
下面給出C++模板元編程的一個(gè)示例。
    首先定義一個(gè)類模板，通過該類模板可實(shí)現(xiàn)在編譯期間計(jì)算4的任意次方。如下所示：

   

    通過下面的程序來使用該模板。

   
    程序Test．cpp執(zhí)行完后，會(huì)正確輸出4的7次方的值，該數(shù)值是C++編譯器在編譯模板元程序時(shí)遞歸計(jì)算得到。由于模板元程序完全在編譯期間執(zhí)行，相當(dāng)于對(duì)編譯器功能進(jìn)行擴(kuò)充，因而利用這種程序進(jìn)行量綱檢測具有良好的可行性。
1．2 基本模板元程序
    下面給出TADA方法中需要使用的幾個(gè)基本的模板元程序。
    (1)靜態(tài)判斷

   
    語法：StaticlF<cond，T1，T2>：：ResultType
    語義：當(dāng)cond為真時(shí)，ResuhType為T1，否則ResuhType為T2。
    (2)靜態(tài)斷言

    語義：當(dāng)cond為真時(shí)什么也不做，否則產(chǎn)生一個(gè)編譯期錯(cuò)誤(UnitError沒有定義，或void函數(shù)不應(yīng)該有返回值)。
    (3)靜態(tài)絕對(duì)值

    語義：遞歸的使用輾轉(zhuǎn)相除法在編譯期間求出a與b的最大公約數(shù)，其中a與b為int類型。

2 TADA量綱檢測方法
    TADA量綱檢測方法需要涉及到單位和量綱的表示、計(jì)算、標(biāo)注以及數(shù)學(xué)運(yùn)算函數(shù)的量綱包裝等各個(gè)組成步驟，下面將依次對(duì)其進(jìn)行介紹。
2．1 單位和量綱的表示
    在Osprey方法中，量綱是用一個(gè)長度為7的向量表示的，每個(gè)分量對(duì)應(yīng)一個(gè)SI標(biāo)準(zhǔn)量綱。TADA方法中也采用了這種方式。為了簡化闡述，本文只討論長度、重量、時(shí)間這三種量綱，其SI單位分別為米、千克和秒(TADA方法可直接推廣到其他各種量綱)。由于TMP程序的特殊性，它并沒有數(shù)組或向量的支持，也不能使用浮點(diǎn)數(shù)據(jù)(使用浮點(diǎn)數(shù)表示量綱也會(huì)帶來不精確性)，量綱在TMP程序中的表示形式有所不同：用u11，u12，u21，u22，u31，u32之類的整型量分別表示，并輔以ratio表示同量綱、不同單位之間的比值，如分鐘和秒的比值為60。
    TADA方法可靜態(tài)地建立如下常用單位：

    模板元程序在計(jì)算公式的時(shí)候需要推導(dǎo)出新的量綱，例如在計(jì)算的時(shí)候，編譯器應(yīng)該能根據(jù)等號(hào)右邊的公式計(jì)算出它的量綱，并與e的量綱進(jìn)行比較判別。TADA方法的量綱是用分?jǐn)?shù)形式表示的，在每次量綱計(jì)算之后都需要進(jìn)行分?jǐn)?shù)的約分處理，才能進(jìn)行相等性判斷，因而TADA方法可用如下的方式處理新生成單位，如下所示。

2．2 單位和量綱的計(jì)算
    由于量綱都是用分?jǐn)?shù)表示的，因而其計(jì)算會(huì)稍有麻煩。下面定義TADA方法中量綱分?jǐn)?shù)的加、減、乘、除和等價(jià)測試運(yùn)算。
    (1)分?jǐn)?shù)的加法運(yùn)算，如下所示。

    (2)分?jǐn)?shù)的減法運(yùn)算。TADA方法通過加法實(shí)現(xiàn)減法計(jì)算，如下所示。

    語義：分?jǐn)?shù)相減并約分，即：

   
    (3)單位相乘。分別將3個(gè)量綱分?jǐn)?shù)相加，然后使用BuildUnit生成新單位。

    語義：單位Ua與單位Ub相乘后的新單位。
    (4)單位相除。與乘法處理方式相似。

    語義：若單位ua與單位Ub等價(jià)則不產(chǎn)生任何效果，否則產(chǎn)生編譯期錯(cuò)誤。
2．3 單位和量綱標(biāo)注的原理和語法
    與Osprey等方法類似，TADA方法也在待檢測源程序進(jìn)行單位標(biāo)注，以使得檢測器能夠知道每個(gè)變量的單位。由于經(jīng)過單位標(biāo)注的待檢測程序仍然是合法的可編譯的程序，所以標(biāo)注信息必須由語言自身已有的語法要素構(gòu)成；標(biāo)注信息還不能影響被標(biāo)注變量的任何計(jì)算特性及使用方式，只有滿足這兩點(diǎn)要求的標(biāo)注方式才能使標(biāo)注工作量最小化。此外，已標(biāo)注變量應(yīng)該禁止從未標(biāo)注變量進(jìn)行各種隱含的類型轉(zhuǎn)換，這樣嚴(yán)格的限制才能有效進(jìn)行單位量綱的匹配檢測。對(duì)于C++語言來說，可以采用模板類的方式實(shí)現(xiàn)。
    標(biāo)注實(shí)質(zhì)上是把語言原始的數(shù)據(jù)類型替換成TADA方法預(yù)定義的模板類，而模板類實(shí)現(xiàn)了各種運(yùn)算符號(hào)的重載，同時(shí)禁止了任何隱含的類型轉(zhuǎn)換，使得量綱標(biāo)注既滿足語法要素的要求，又滿足計(jì)算兼容性的要求和禁止隱含轉(zhuǎn)換的要求。TADA方法中標(biāo)注的實(shí)現(xiàn)如下所示。

2．4 定義單位量綱
    量綱檢測系統(tǒng)應(yīng)該預(yù)定義常用單位量綱，以方便應(yīng)用開發(fā)人員使用。TADA方法采用如下方式定義單位量綱：

2．5 數(shù)學(xué)運(yùn)算函數(shù)的量綱包裝
    對(duì)于指數(shù)、對(duì)數(shù)、三角函數(shù)等已有的數(shù)學(xué)運(yùn)算函數(shù)，其參數(shù)與返回值都是沒有單位量綱的，不能直接用于有量綱的公式計(jì)算。針對(duì)這個(gè)問題，．TADA方法提供了這些函數(shù)的量綱包裝，以sqrt和sin為例如下：

2．6 輔助工具
    TADA方法還提供了一些輔助工具，用于將量綱變量以適合閱讀的方式顯示出來，例如：

    可以得到這樣的輸出結(jié)果：0.2米/秒2
2．7 分析和評(píng)估
    在TADA方法的基礎(chǔ)上，實(shí)現(xiàn)了面向C／C++程序的量綱檢測系統(tǒng)(TADA系統(tǒng))，并對(duì)TADA系統(tǒng)的檢測能力進(jìn)行了分析和評(píng)估。
    首先采用TADA系統(tǒng)來檢測下面的樣例程序。

    在TADA系統(tǒng)中，Visual Studio 2003編譯該程序會(huì)出現(xiàn)類似如下的錯(cuò)誤信息，錯(cuò)誤信息的第3行就表明了unit．epp的第9行有錯(cuò)誤。

    在檢測能力方面，采用文獻(xiàn)的樣例程序?qū)A-DA系統(tǒng)和Osprey系統(tǒng)的量綱檢測能力進(jìn)行了對(duì)比評(píng)估。在文獻(xiàn)中，Osprey共找到了3個(gè)錯(cuò)誤，其中前2個(gè)是單位誤用錯(cuò)誤，第3個(gè)是單位轉(zhuǎn)換比例因子錯(cuò)誤。TADA系統(tǒng)也完全找到了前2個(gè)錯(cuò)誤，而第3個(gè)錯(cuò)誤在標(biāo)注時(shí)被避免掉了，因?yàn)樵搯挝幌到y(tǒng)包含了量綱之間的比例因子，能夠進(jìn)行自動(dòng)的單位轉(zhuǎn)換。
    在性能和可擴(kuò)展性方面，TADA系統(tǒng)能夠更有效地實(shí)現(xiàn)對(duì)c／c++程序的量綱檢測。Osprey系統(tǒng)引入了具有較高計(jì)算復(fù)雜度的線性方程組求解步驟，需要很大的計(jì)算和時(shí)間開銷來解線性解方程組。TADA系統(tǒng)基于模板元編程技術(shù)，只需要利用語言自身的語法能力，靠編譯器進(jìn)行單位量綱檢查，沒有帶來太多額外的復(fù)雜計(jì)算。并且TADA系統(tǒng)不會(huì)帶來任何程序的運(yùn)行時(shí)開銷。因此TADA系統(tǒng)可適用于各種規(guī)模的C／C++程序，具有更好的性能和可擴(kuò)展性。
    在易用性方面，TADA系統(tǒng)的標(biāo)注負(fù)擔(dān)與Osprey系統(tǒng)相當(dāng)。由于TADA系統(tǒng)利用C++編譯器的功能進(jìn)行錯(cuò)誤檢測，而C++編譯器遇到模板錯(cuò)誤時(shí)的錯(cuò)誤信息卻不很直觀，錯(cuò)誤報(bào)告的可讀性較弱，但仍可以快速定位到錯(cuò)誤點(diǎn)。

3 結(jié) 語
    這里提出一種新穎的基于模板元編程的單位量綱檢測方法TADA，并基于該方法實(shí)現(xiàn)了一個(gè)單位量綱檢測系統(tǒng)。
    TADA方法采用模板元編程技術(shù)，使得經(jīng)過單位量綱標(biāo)注的受測程序仍然是一個(gè)完整、合法、可編譯的C／C++程序，無需維護(hù)多套程序代碼，也無需進(jìn)行復(fù)雜的解方程組運(yùn)算，就能夠在程序代碼中發(fā)現(xiàn)量綱錯(cuò)誤，具有良好的實(shí)用性和可擴(kuò)展性，可以有效適用于多種規(guī)模程序的量綱檢測。