1 引言
    生命信號由于受到人體等諸多因素的影響，具有信號弱、噪聲強(qiáng)、頻率范圍較低和隨機(jī)性強(qiáng)的特點(diǎn)，用傳統(tǒng)的傅里葉變換提取具有局限性。而具有多分辨分析特性的小波變換，可利用時(shí)頻平面上不同位置的不同分辨率，有效地從非平穩(wěn)信號中提取瞬態(tài)信息，可有效地提取信號的波形。

2 Mallat算法
    小波變換的多分辨分析MRA(Multi-Resolution-Analysis)特性，定義空間L2(R)中的一列子空間{Vj}j∈z,稱為L2(R)的一個(gè)多分辨分析(MRA)，該序列若滿足下列條件：

    Mallat根據(jù)多分辨分析提出小波變換分解和重構(gòu)快速算法-Mallat算法。設(shè)({Vm;m∈Z}；φ(t))是一個(gè)正交MRA，則存在{hk}∈ι2，使雙尺度方程：
   
    方程(1)成立，并利用式(1)可得到尺度函數(shù)φ(x)構(gòu)造函數(shù)：
   
    ψ(x)的伸縮、平移構(gòu)成L2(R)正交基，其中g(shù)k=(-1)h1-k。進(jìn)一步，當(dāng)
    主要包含3個(gè)方面的內(nèi)容：
    (1)集合ψ0={φ(x-k)；k∈Z}構(gòu)成W0的標(biāo)準(zhǔn)正交基，因此構(gòu)成Wj的標(biāo)準(zhǔn)正交基；
    (2)可以保證從而保證Wj的基向量，并可表示L2(R)中的任意函數(shù)。
    (3)Wj⊥Wj'，j≠j'，保證在彼此正交的前提下當(dāng)且僅當(dāng)表示信息。
    多分辨分析理論為信號局部分析提供相當(dāng)直觀的框架，這一點(diǎn)在非平穩(wěn)信號中的作用尤為重要，因?yàn)榉瞧椒€(wěn)信號的頻率隨時(shí)間而變化，這種變化可分為慢變和快變兩部分，慢變部分對應(yīng)于非平穩(wěn)信號的低頻部分，代表信號的主要輪廓；而快變部分對應(yīng)于信號的高頻信息，表示信號的細(xì)節(jié)，因此，Mallat算法的基本思想可以歸納如下：
    設(shè)Hjf為能量有限的信號f∈L2(R)在分辨率2j下的近似，則Hjf可以進(jìn)一步分解為f在分辨率2j-1下的近似Hj-1f,以及位于分辨率2j-1與2j之間的細(xì)節(jié)Dj-1f之和，其分解和重構(gòu)過程如圖1和圖2所示。

3 小波閾值去噪法
    一般含噪的一維信號的模型可表示為：
    s(k)=f(k)+εe(k)，k=0，1，…n-1 (3)
式中，s(k)為含噪信號，f(k)為有用信號，e(k})為噪聲信號。
    利用小波檢測微弱生命信號的實(shí)質(zhì)是提取強(qiáng)噪聲背景下的生命信號，這個(gè)過程即去噪，在小波去噪的方法中比較常用的是閾值去噪法。
    小波閾值去噪可分為3部分：
    (1)信號的小波分解選擇一個(gè)小波函數(shù)對信號進(jìn)行分解計(jì)算。
    (2)小波分解高頻系數(shù)的閡值量化 對各分解尺度下的高頻系數(shù)選擇一個(gè)閾值進(jìn)行閾值量化處理。
    (3)小波重構(gòu) 根據(jù)小波分解的最底層低頻系數(shù)和各層高頻系數(shù)進(jìn)行小波重構(gòu)。
    最關(guān)鍵的是閾值的選擇以及閾值的量化，該步驟完成的好壞決定信號消噪的質(zhì)量。在閾值去噪中，閾值函數(shù)體現(xiàn)了對超過和低于閾值的小波系數(shù)模的不同處理策略以及不同估計(jì)方法。設(shè)ω是原始小波系數(shù)，η(ω)表示閾值化后的小波系數(shù)，T是閾值，I(x)為示性函數(shù)。
   
    常見閾值函數(shù)有：(a)硬閾值函數(shù)(圖3a)，η(ω=ωI(|ω|>T)；(b)軟閾值函數(shù)(圖3b)，η(ω)=(ω-sgn(ω)T)I(|ω|>T)。

    小波閾值去噪方法除閾值函數(shù)的選取外，另一個(gè)關(guān)鍵因素是閾值估計(jì)。如果閾值太小，去噪后的信號仍然有噪聲存在；閾值太大，重要的信號特征又被過濾掉，引起偏差。從直觀上看，對于給定的小波系數(shù)，噪聲越大，閾值就越大。常見的閾值估計(jì)方法有Visushrik閾值、SUREShrink閾值、GCV閾值等。其中，SUREShrink閾值估計(jì)方法是在SURE準(zhǔn)則下得到的閾值，該準(zhǔn)則是在均方差準(zhǔn)則的無偏估計(jì)，專門針對軟閾值函數(shù)得出的結(jié)論，且閾值趨近于理想值。設(shè)原始信號小波系數(shù)估計(jì)通過軟閾值函數(shù)萎縮得到，即
   
    閾值的選擇可通過下面的風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)定義：
   
    由于小波變換的正交性，風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)可以寫成：

    可以證明，當(dāng)V服從Guass分布時(shí)，有下面的等式成立
   
    式中，P(|Yi|>t)服從二項(xiàng)分布，其概率可用|Yi|>t出現(xiàn)的頻率近似，可得到風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)的表達(dá)式如下：
    
    式中，I是示性函數(shù)，^表示兩數(shù)取小。
    則最佳閩值選擇可以通過最小化風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)得到，即，對于最佳閾值的選擇可以在一個(gè)有限的范同內(nèi)，即t*∈{Y1，Y2，…，YN}。在實(shí)際應(yīng)用中，SUREShrink閾值去噪法能獲得較為滿意的去噪效果，這是一種誤差較低的閾值去噪方法。
    小波分解生命信號和噪聲所產(chǎn)生的高頻系數(shù)疊加構(gòu)成信號的高頻系數(shù)向量，一般的閾值選取方法會將生命信號的高頻部分當(dāng)作噪聲信號濾除掉，而采用基于Stein無偏似然估計(jì)SUREShrink閾值選取規(guī)則，可以保留生命信號的高頻部分，這對于有極少一部分高頻信息在噪聲范圍內(nèi)的信號很有用。

4 小波去噪的MATLAB仿真
    一般檢測到的微弱生命信號的背景強(qiáng)噪聲主要是工頻干擾信號，因此采用正弦信號模擬人體心跳信號頻率為0．7 Hz、幅度是1，模擬的工頻干擾信號頻率為50 Hz、幅度是心跳信號的10倍，和Matlab提供的噪聲noissin信號疊加，可近似組成強(qiáng)噪聲背景下的生命信號，采用db3小波進(jìn)行信號分解，并對信號進(jìn)行SUREShrink閾值估計(jì)，并采用heursure函數(shù)實(shí)現(xiàn)。
    疊加信號去噪仿真圖如圖4所示，疊加信號經(jīng)過小波閾值去噪法去噪后，可得到較好的生命信號，小波分解和重構(gòu)的細(xì)節(jié)，如圖5和圖6所示。根據(jù)Mallat算法的基本思想，高頻信號和低頻信號分別可以從圖中反映出來，其中a1和d1分別反映模擬生命信號的正弦信號，和強(qiáng)噪聲干擾的工頻信號，這就說明對微弱生命信號的提取小波可以取得很好的效果，由于這里所使用的是模擬的生命信號，在實(shí)際應(yīng)用時(shí)還應(yīng)進(jìn)行改進(jìn)。

5 結(jié)束語
    生命信號由于本身的特點(diǎn)，傳統(tǒng)的傅里葉變換對其消噪和提取顯得無能為力，因?yàn)楦道锶~變換對信號的分析只是在頻域中進(jìn)行，不能反映信號某一點(diǎn)的變化情況，而小波變換可以對信號在時(shí)頻兩域進(jìn)行分析，很適合探測信號的瞬時(shí)狀態(tài)，對微弱生命信號可以進(jìn)行有效去噪和提取。通過仿真表明，小波變換很適合微弱生命信號的檢測，可以在這一領(lǐng)域發(fā)揮重要作用。