數(shù)學(xué)在人類文明的發(fā)展中起著非常重要的作用。牛頓當(dāng)年通過數(shù)學(xué)計(jì)算預(yù)見了發(fā)射人造天體的可能性；愛因斯坦相對(duì)論的質(zhì)能公式從數(shù)學(xué)論證的角度預(yù)示了原子能時(shí)代的來臨；正是麥克斯韋方程先從數(shù)學(xué)上論證了電磁波，后來才會(huì)有電磁波聲光信息傳遞技術(shù)的發(fā)展；電子數(shù)字計(jì)算機(jī)的誕生和發(fā)展更是在數(shù)學(xué)理論的指導(dǎo)下進(jìn)行的。當(dāng)前，隨著電腦應(yīng)用的普及，信息的數(shù)字化和信息通道的大規(guī)模聯(lián)網(wǎng)，依據(jù)數(shù)學(xué)所作的創(chuàng)造設(shè)想已經(jīng)在我們的生活中扮演越來越重要的角色。區(qū)塊鏈從單筆交易的發(fā)起、確認(rèn)，到特定時(shí)間內(nèi)所有交易集合的打包成塊、達(dá)成全網(wǎng)共識(shí)，數(shù)學(xué)算法都作為一種規(guī)則和通訊工具，通過信息交互和確立信任，協(xié)調(diào)各節(jié)點(diǎn)之間的一致行動(dòng)，實(shí)現(xiàn)對(duì)等網(wǎng)絡(luò)的有序、持續(xù)運(yùn)轉(zhuǎn)。如果說區(qū)塊鏈中各種巧妙、完美設(shè)計(jì)的規(guī)則是其靈魂，那么深深滲透其中的數(shù)學(xué)思想則是血液，從而支撐整個(gè)區(qū)塊鏈體系信任機(jī)制的建立。

交易的發(fā)起和驗(yàn)證

單筆交易是整個(gè)區(qū)塊鏈的基本元素，這里面主要包含價(jià)值輸出方發(fā)起交易、其他節(jié)點(diǎn)驗(yàn)證交易兩個(gè)動(dòng)作。整個(gè)交易的信任完全是依賴非對(duì)稱加密算法進(jìn)行保證，非對(duì)稱加密算法需要兩個(gè)密鑰：公鑰和私鑰。公鑰與私鑰是一對(duì)，如果用公鑰對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行加密，只有用對(duì)應(yīng)的私鑰才能解密；如果用私鑰對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行加密，那么只有用對(duì)應(yīng)的公鑰才能解密。比如現(xiàn)有付款人1-》收款人2、付款人2（前一交易的收款人2）-》收款人3兩筆交易，付款人1-》收款人2的交易為付款人2-》收款人3交易的前序交易。付款人2用自己的私鑰制作數(shù)字簽名，即用前序交易中涉及到收款人2（自己）的信息Y（一般包括前序交易的唯一哈希值、收款人2的公鑰地址哈希、收款人2在前序交易中的排序、收款人2收到的金額等信息）作為明文計(jì)算密文X。付款人2將X作為數(shù)字簽名和自己的公鑰地址附在交易中發(fā)給收款人3。

付款人2到收款人3的交易發(fā)起后，各節(jié)點(diǎn)需要驗(yàn)證價(jià)值由付款人2發(fā)出以及價(jià)值可追溯到付款人1-》收款人2的交易數(shù)據(jù)。驗(yàn)證節(jié)點(diǎn)用付款人2提供的公鑰地址解密數(shù)字簽名X得到明文Y，并與區(qū)塊鏈上記錄的內(nèi)容進(jìn)行比對(duì)，驗(yàn)證付款人2提供的公鑰地址是否由付款人2持有（付款人持有賬戶）；同時(shí)，計(jì)算付款人2提供的公鑰地址的哈希，繼續(xù)與Y中的收款人2的公鑰地址哈希進(jìn)行比對(duì)，驗(yàn)證付款人2提供的公鑰地址是否為前序交易的收款地址（付款人賬戶持有價(jià)值），進(jìn)而驗(yàn)證發(fā)出的價(jià)值是否可追溯到付款人1-》收款人2的交易。如兩次比對(duì)一致，則付款人2-》收款人3交易有效。

在分布式網(wǎng)絡(luò)下，為了降低記賬成本并保證安全性，不是逐筆對(duì)交易進(jìn)行全網(wǎng)共識(shí)進(jìn)而上鏈，而是將一段時(shí)間內(nèi)所有交易數(shù)據(jù)匯總打包成塊，并通過競(jìng)爭(zhēng)性記賬規(guī)則確定上鏈。在區(qū)塊打包過程中，數(shù)字摘要是重要的工具，它是將任意長(zhǎng)度的消息變成固定長(zhǎng)度的特定短消息，最后將一個(gè)區(qū)塊內(nèi)包含的所有信息概括為一個(gè)數(shù)字摘要，不同的原始消息會(huì)生成不同的摘要，但根據(jù)摘要無法逆推出原始消息。區(qū)塊由區(qū)塊體和區(qū)塊頭組成，區(qū)塊體包含了大量交易信息，每筆交易有唯一地哈希值代表，往上走通過把相鄰的兩個(gè)哈希值合并成一個(gè)字符串，然后運(yùn)算這個(gè)字符串的哈希，這樣得到了一個(gè)“父哈?！?，同樣的計(jì)算方式往上走，可以得到數(shù)目更少的新一級(jí)哈希，最終形成一棵倒掛的樹，到了樹根的這個(gè)位置，就剩下一個(gè)根哈希了，也就是Merkle根節(jié)點(diǎn)，它總結(jié)了所有的交易信息。

除了Merkle根節(jié)點(diǎn)，區(qū)塊頭還包括上一區(qū)塊的頭哈希值、時(shí)間戳、難度值和隨機(jī)數(shù)，而頭哈希是區(qū)塊頭五要素的哈希值。一個(gè)頭哈希就可以總結(jié)整個(gè)區(qū)塊所有交易信息、時(shí)間戳、前一區(qū)塊頭哈希、工作量證明等所有信息，任何信息的改變都將直接引起頭哈希的變化。

區(qū)塊打包完成后，通過共識(shí)機(jī)制解決了分布式賬本結(jié)構(gòu)下達(dá)成一致并抗攻擊的問題，它解決了去中心化基礎(chǔ)上的節(jié)點(diǎn)間互信問題，是保障區(qū)塊鏈系統(tǒng)持續(xù)安全運(yùn)行的關(guān)鍵。基于分布式網(wǎng)絡(luò)中各節(jié)點(diǎn)的信任基礎(chǔ)不同，可以分為工作量證明機(jī)制、拜占庭容錯(cuò)機(jī)制等，它們?cè)诠?jié)點(diǎn)進(jìn)出進(jìn)制、抗攻擊性等方面各有優(yōu)勢(shì)。以工作量證明機(jī)制為例來說明共識(shí)機(jī)制的原理。達(dá)成共識(shí)需要一定的標(biāo)準(zhǔn)和規(guī)則，達(dá)到標(biāo)準(zhǔn)就可以獲取記賬權(quán)，同時(shí)這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)或者規(guī)則是不能低成本實(shí)現(xiàn)的，否則記賬的權(quán)威性和安全性容易受到挑戰(zhàn)?；跀?shù)學(xué)難度的計(jì)算工作量證明機(jī)制簡(jiǎn)單理解就是一份證明，用來確認(rèn)你做過一定量的工作。因?yàn)楸O(jiān)測(cè)工作的整個(gè)過程通常是極為低效的，而通過對(duì)工作的結(jié)果進(jìn)行認(rèn)證來證明完成了相應(yīng)的工作量，則是一種非常高效的方式。比如現(xiàn)實(shí)生活中的畢業(yè)證、駕駛證等等，也是通過檢驗(yàn)結(jié)果的方式（通過相關(guān)的考試）所取得的證明。工作量證明解決了完全去中心化、節(jié)點(diǎn)自由進(jìn)出的情況下，記賬權(quán)的確認(rèn)問題。

同時(shí)，工作量證明也保障了抗攻擊性。多數(shù)人投票的最長(zhǎng)鏈投入了最大的工作量，如果大多數(shù)CPU工作量被誠(chéng)實(shí)的節(jié)點(diǎn)控制，誠(chéng)實(shí)的鏈條會(huì)增長(zhǎng)很快，從而超過其他的鏈。攻擊者為了修改過去的塊，必須重做當(dāng)前塊以及之后的所有塊，并趕上并超過誠(chéng)實(shí)節(jié)點(diǎn)的工作。當(dāng)下一區(qū)塊添加時(shí)，慢的攻擊者趕超的可能性以指數(shù)級(jí)方式減少，從而抵御惡意攻擊。