九種查找算法
時間：2020-07-06 23:00:10
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[導(dǎo)讀]時間、空間復(fù)雜度比較 查找算法 平均時間復(fù)雜度 空間復(fù)雜度 查找條件 順序查找 O(n) O(1) 無序或有序 二分查找（折半查找） O(log2n) O(1) 有序 插值查找 O(log2(log2n)) O(1) 有序 斐波那契查找 O(log2n) O(1) 有序 哈希查找 O(1) O(n) 無序或有序 二叉查找
時間、空間復(fù)雜度比較
| 查找算法 | 平均時間復(fù)雜度 | 空間復(fù)雜度 | 查找條件 |
|---|---|---|---|
| 順序查找 | O(n) | O(1) | 無序或有序 |
| 二分查找（折半查找） | O(log2n) | O(1) | 有序 |
| 插值查找 | O(log2(log2n)) | O(1) | 有序 |
| 斐波那契查找 | O(log2n) | O(1) | 有序 |
| 哈希查找 | O(1) | O(n) | 無序或有序 |
| 二叉查找樹（二叉搜索樹查找） | O(log2n) | ||
| 紅黑樹 | O(log2n) | ||
| 2-3樹 | O(log2n - log3n) | ||
| B樹/B+樹 | O(log2n) |
1 順序查找
算法思路：
對于任意一個序列，從一端開始，順序掃描，依次將掃描到的結(jié)點關(guān)鍵字與給定值k相比較，若相等則表示查找成功；若掃描結(jié)束仍沒有找到關(guān)鍵字等于k的結(jié)點，表示查找失敗。
代碼：
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define keyType int
//2020.05.24
typedef struct
{
keyType key;//查找表中每個數(shù)據(jù)元素的值
}ElemType;
typedef struct
{
ElemType *elem;//存放查找表中數(shù)據(jù)元素的數(shù)組
int length;//記錄查找表中數(shù)據(jù)的總數(shù)量
}SSTable;
//創(chuàng)建查詢數(shù)據(jù)
void Create(SSTable **st,int length)
{
(*st)=(SSTable*)malloc(sizeof(SSTable));
(*st)->length=length;
(*st)->elem =(ElemType*)malloc((length+1)*sizeof(ElemType));
printf("輸入表中的數(shù)據(jù)元素：\n");
//根據(jù)查找表中數(shù)據(jù)元素的總長度，在存儲時，從數(shù)組下標(biāo)為 1 的空間開始存儲數(shù)據(jù)
for (int i=1; i<=length; i++)
{
scanf("%d",&((*st)->elem[i].key));
}
}
//順序查找函數(shù)，其中key為要查找的元素
int Search_seq(SSTable *str,keyType key)
{
//str->elem[0].key=key;//將關(guān)鍵字作為一個數(shù)據(jù)元素存放到查找表的第一個位置，起監(jiān)視哨的作用
int len = str->length;
//從最后一個數(shù)據(jù)元素依次遍歷，一直遍歷到數(shù)組下標(biāo)為0
for(int i=1; i<len+1; i++) //創(chuàng)建數(shù)據(jù)從數(shù)組下標(biāo)為1開始，查詢也從1開始
{
if(str->elem[i].key == key)
{
return i;
}
}
//如果 i=0，說明查找失?。徊檎页晒Ψ祷匾檎以豮ey的位置i
return 0;
}
int main()
{
SSTable *str;
int num;
printf("請輸入創(chuàng)建數(shù)據(jù)元素的個數(shù)：\n");
scanf("%d",&num);
Create(&str, num);
getchar();
printf("請輸入要查找的數(shù)據(jù)：\n");
int key;
scanf("%d",&key);
int location=Search_seq(str, key);
if (location==0) {
printf("查找失敗");
}else{
printf("要查找的%d的順序為：%d",key,location);
}
return 0;
}
運行結(jié)果：
2 二分查找（折半查找）
算法思路：
-
確定查找范圍low=0，high=N-1，計算中項mid=（low+high）/2。
-
若mid==x或low>=high,則結(jié)束查找；否則，向下繼續(xù)。
-
若amid<x,說明待查找的元素值只可能在比中項元素大的范圍內(nèi)，則把mid+1的值賦給low，并重新計算mid，轉(zhuǎn)去執(zhí)行步驟2；若mid>x，說明待查找的元素值只可能在比中項元素小的范圍內(nèi)，則把mid-1的值賦給higt，并重新計算mid，轉(zhuǎn)去執(zhí)行步驟2。
說明：
-
查找元素必須是有序的，如果是無序的則要先進(jìn)行排序操作。
-
在做查找的過程中，如果 low 指針和 high 指針的中間位置在計算時位于兩個關(guān)鍵字中間，即求得 mid 的位置不是整數(shù)，需要統(tǒng)一做取整操作。
折半查找的前提條件是需要有序表順序存儲，對于靜態(tài)查找表，一次排序后不再變化，折半查找能得到不錯的效率。但對于需要頻繁執(zhí)行插入或刪除操作的數(shù)據(jù)集來說，維護(hù)有序的排序會帶來不小的工作量，那就不建議使用。
——《大話數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)》
代碼：
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define keyType int
typedef struct
{
keyType key;//查找表中每個數(shù)據(jù)元素的值
}ElemType;
typedef struct
{
ElemType *elem;//存放查找表中數(shù)據(jù)元素的數(shù)組
int length;//記錄查找表中數(shù)據(jù)的總數(shù)量
}SSTable;
//創(chuàng)建查詢數(shù)據(jù)
void Create(SSTable **st,int length)
{
(*st)=(SSTable*)malloc(sizeof(SSTable));
(*st)->length=length;
(*st)->elem =(ElemType*)malloc((length+1)*sizeof(ElemType));
printf("輸入表中的數(shù)據(jù)元素：\n");
//根據(jù)查找表中數(shù)據(jù)元素的總長度，在存儲時，從數(shù)組下標(biāo)為 1 的空間開始存儲數(shù)據(jù)
for (int i=1; i<=length; i++)
{
scanf("%d",&((*st)->elem[i].key));
}
}
//折半查找函數(shù) key為要查找的元素
int Search_Bin(SSTable *str,keyType key)
{
int low=1;//初始狀態(tài) low 指針指向第一個關(guān)鍵字
int high=str->length;//high 指向最后一個關(guān)鍵字
int mid;
while (low<=high)
{
mid=(low+high)/2;//int 本身為整形，所以，mid 每次為取整的整數(shù)
if(str->elem[mid].key==key)//如果 mid 指向的同要查找的相等，返回 mid 所指向的位置
{
return mid;
}
else if(str->elem[mid].key>key)//如果mid指向的關(guān)鍵字較大，則更新 high 指針的位置
{
high=mid-1;
}
//反之，則更新 low 指針的位置
else
{
low=mid+1;
}
}
return 0;
}
int main()
{
SSTable *str;
int num;
printf("請輸入創(chuàng)建數(shù)據(jù)元素的個數(shù)：\n");
scanf("%d",&num);
Create(&str, num);
getchar();
printf("請輸入要查找的數(shù)據(jù)：\n");
int key;
scanf("%d",&key);
int location=Search_Bin(str, key);
if (location==0) {
printf("沒有查找到");
}else{
printf("要查找的%d的順序為：%d",key,location);
}
return 0;
}
運行結(jié)果：
3 插值查找
插值查找基于二分查找算法，將查找點的選擇改進(jìn)為自適應(yīng)選擇，可以提高查找效率。當(dāng)然，差值查找也屬于有序查找
算法思路：
-
確定查找范圍low=0，high=N-1，計算中項mid=low+(key-a[low])/(a[high]-a[low])*(high-low)。
-
若mid==x或low>=high,則結(jié)束查找；否則，向下繼續(xù)。
-
若amid<x,說明待查找的元素值只可能在比中項元素大的范圍內(nèi)，則把mid+1的值賦給low，并重新計算mid，轉(zhuǎn)去執(zhí)行步驟2；若mid>x，說明待查找的元素值只可能在比中項元素小的范圍內(nèi)，則把mid-1的值賦給higt，并重新計算mid，轉(zhuǎn)去執(zhí)行步驟2。
說明：
-
插值查找是基于折半查找進(jìn)行了優(yōu)化的查找方法。 -
當(dāng)表長較大，而關(guān)鍵字分布又比較均勻的查找表來說，插值查找算法的平均性能要比折半查找要好得多。
代碼：
#include<stdio.h>
int array[10] = { 1, 4, 9, 16, 27, 31, 33, 35, 45, 64 };
int InsertionSearch(int data)
{
int low = 0;
int high = 10 - 1;
int mid = -1;
int comparisons = 1;
int index = -1;
while(low <= high)
{
printf("比較 %d 次\n" , comparisons );
printf("low : %d, list[%d] = %d\n", low, low, array[low]);
printf("high : %d, list[%d] = %d\n", high, high, array[high]);
comparisons++;
mid = low + (((double)(high - low) / (array[high] - array[low])) * (data - array[low]));
printf("mid = %d\n",mid);
// 沒有找到
if(array[mid] == data)
{
index = mid;
break;
}
else
{
if(array[mid] < data)
{
low = mid + 1;
}
else
{
high = mid - 1;
}
}
}
printf("比較次數(shù): %d\n", --comparisons);
return index;
}
int main()
{
int location = InsertionSearch(27); //測試代，查27，可以找到
if(location != -1)
{
printf("查找元素順序為: %d\n" ,(location+1));
}
else
{
printf("沒有查找到");
}
return 0;
}
運行結(jié)果：
4 斐波那契查找
斐波那契查找與折半查找很相似，他是根據(jù)斐波那契序列的特點對有序表進(jìn)行分割的。他要求開始表中記錄的個數(shù)為某個斐波那契數(shù)小1，及n=F(k)-1；開始將k值與第F(k-1)位置的記錄進(jìn)行比較(及mid=low+F(k-1)-1).
算法思路：
-
相等，mid位置的元素即為所求
-
大于，low=mid+1,k-=2;
-
小于，high=mid-1,k-=1。
說明：
low=mid+1說明待查找的元素在[mid+1,high]范圍內(nèi)，k-=2 說明范圍[mid+1,high]內(nèi)的元素個數(shù)為n-(F(k-1))= Fk-1-F(k-1)=Fk-F(k-1)-1=F(k-2)-1個，所以可以遞歸的應(yīng)用斐波那契查找。
代碼：
#include "stdafx.h"
#include <memory>
#include <iostream>
using namespace std;
const int max_size=20;//斐波那契數(shù)組的長度
/*構(gòu)造一個斐波那契數(shù)組*/
void Fibonacci(int * F)
{
F[0]=0;
F[1]=1;
for(int i=2;i<max_size;++i)
F[i]=F[i-1]+F[i-2];
}
/*定義斐波那契查找法*/
int FibonacciSearch(int *a, int n, int key) //a為要查找的數(shù)組,n為要查找的數(shù)組長度,key為要查找的關(guān)鍵字
{
int low=0;
int high=n-1;
int F[max_size];
Fibonacci(F);//構(gòu)造一個斐波那契數(shù)組F
int k=0;
while(n>F[k]-1)//計算n位于斐波那契數(shù)列的位置
++k;
int * temp;//將數(shù)組a擴(kuò)展到F[k]-1的長度
temp=new int [F[k]-1];
memcpy(temp,a,n*sizeof(int));
for(int i=n;i<F[k]-1;++i)
temp[i]=a[n-1];
while(low<=high)
{
int mid=low+F[k-1]-1;
if(key<temp[mid])
{
high=mid-1;
k-=1;
}
else if(key>temp[mid])
{
low=mid+1;
k-=2;
}
else
{
if(mid<n)
return mid; //若相等則說明mid即為查找到的位置
else
return n-1; //若mid>=n則說明是擴(kuò)展的數(shù)值,返回n-1
}
}
delete [] temp;
return 0;
}
int main()
{
int a[] = {0,1,4,35,47,53,62,78,88,99};
int key=47;
int index=FibonacciSearch(a,sizeof(a)/sizeof(int),key);
if(index == 0)
{
cout<<"沒有找到"<<key;
}
else
{
cout<<key<<" 的位置是:"<<index;
}
return 0;
}
運行結(jié)果：
5 哈希查找
哈希表：
我們使用一個下標(biāo)范圍比較大的數(shù)組來存儲元素。可以設(shè)計一個函數(shù)（哈希函數(shù)， 也叫做散列函數(shù)），使得每個元素的關(guān)鍵字都與一個函數(shù)值（即數(shù)組下標(biāo)）相對應(yīng)，于是用這個數(shù)組單元來存儲這個元素；也可以簡單的理解為，按照關(guān)鍵字為每一個元素"分類"，然后將這個元素存儲在相應(yīng)"類"所對應(yīng)的地方。但是，不能夠保證每個元素的關(guān)鍵字與函數(shù)值是一一對應(yīng)的，因此極有可能出現(xiàn)對于不同的元素，卻計算出了相同的函數(shù)值，這樣就產(chǎn)生了"沖突"，換句話說，就是把不同的元素分在了相同的"類"之中。后面我們將看到一種解決"沖突"的簡便做法。
"直接定址"與"解決沖突"是哈希表的兩大特點。
哈希函數(shù)：
規(guī)則：通過某種轉(zhuǎn)換關(guān)系，使關(guān)鍵字適度的分散到指定大小的的順序結(jié)構(gòu)中，越分散，則以后查找的時間復(fù)雜度越小，空間復(fù)雜度越高。
算法思路：
如果所有的鍵都是整數(shù)，那么就可以使用一個簡單的無序數(shù)組來實現(xiàn)：將鍵作為索引，值即為其對應(yīng)的值，這樣就可以快速訪問任意鍵的值。這是對于簡單的鍵的情況，我們將其擴(kuò)展到可以處理更加復(fù)雜的類型的鍵。
-
用給定的哈希函數(shù)構(gòu)造哈希表； -
根據(jù)選擇的沖突處理方法(常見方法：拉鏈法和線性探測法)解決地址沖突； -
在哈希表的基礎(chǔ)上執(zhí)行哈希查找；
代碼：
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#define SUCCESS 1
#define UNSUCCESS 0
#define OVERFLOW -1
#define OK 1
#define ERROR -1
#define MAXNUM 9999 // 用于初始化哈希表的記錄 key
typedef int Status;
typedef int KeyType;
// 哈希表中的記錄類型
typedef struct
{
KeyType key;
}RcdType;
// 哈希表類型
typedef struct
{
RcdType *rcd;
int size;
int count;
int *tag;
}HashTable;
// 哈希表每次重建增長后的大小
int hashsize[] = { 11, 31, 61, 127, 251, 503 };
int index = 0;
// 初始哈希表
Status InitHashTable(HashTable &H, int size)
{
int i;
H.rcd = (RcdType *)malloc(sizeof(RcdType)*size);
H.tag = (int *)malloc(sizeof(int)*size);
if (NULL == H.rcd || NULL == H.tag) return OVERFLOW;
KeyType maxNum = MAXNUM;
for (i = 0; i < size; i++)
{
H.tag[i] = 0;
H.rcd[i].key = maxNum;
}
H.size = size;
H.count = 0;
return OK;
}
// 哈希函數(shù)：除留余數(shù)法
int Hash(KeyType key, int m)
{
return (3 * key) % m;
}
// 處理哈希沖突：線性探測
void collision(int &p, int m)
{
p = (p + 1) % m;
}
// 在哈希表中查詢
Status SearchHash(HashTable H, KeyType key, int &p, int &c)
{
p = Hash(key, H.size);
int h = p;
c = 0;
while ((1 == H.tag[p] && H.rcd[p].key != key) || -1 == H.tag[p])
{
collision(p, H.size); c++;
}
if (1 == H.tag[p] && key == H.rcd[p].key) return SUCCESS;
else return UNSUCCESS;
}
//打印哈希表
void printHash(HashTable H)
{
int i;
printf("key : ");
for (i = 0; i < H.size; i++)
printf("%3d ", H.rcd[i].key);
printf("\n");
printf("tag : ");
for (i = 0; i < H.size; i++)
printf("%3d ", H.tag[i]);
printf("\n\n");
}
// 函數(shù)聲明：插入哈希表
Status InsertHash(HashTable &H, KeyType key);
// 重建哈希表
Status recreateHash(HashTable &H)
{
RcdType *orcd;
int *otag, osize, i;
orcd = H.rcd;
otag = H.tag;
osize = H.size;
InitHashTable(H, hashsize[index++]);
//把所有元素，按照新哈希函數(shù)放到新表中
for (i = 0; i < osize; i++)
{
if (1 == otag[i])
{
InsertHash(H, orcd[i].key);
}
}
return OK;
}
// 插入哈希表
Status InsertHash(HashTable &H, KeyType key)
{
int p, c;
if (UNSUCCESS == SearchHash(H, key, p, c))
{ //沒有相同key
if (c*1.0 / H.size < 0.5)
{ //沖突次數(shù)未達(dá)到上線
//插入代碼
H.rcd[p].key = key;
H.tag[p] = 1;
H.count++;
return SUCCESS;
}
else recreateHash(H); //重構(gòu)哈希表
}
return UNSUCCESS;
}
// 刪除哈希表
Status DeleteHash(HashTable &H, KeyType key)
{
int p, c;
if (SUCCESS == SearchHash(H, key, p, c))
{
//刪除代碼
H.tag[p] = -1;
H.count--;
return SUCCESS;
}
else return UNSUCCESS;
}
int main()
{
printf("-----哈希表-----\n");
HashTable H;
int i;
int size = 11;
KeyType array[8] = { 22, 41, 53, 46, 30, 13, 12, 67 };
KeyType key;
//初始化哈希表
printf("初始化哈希表\n");
if (SUCCESS == InitHashTable(H, hashsize[index++])) printf("初始化成功\n");
//插入哈希表
printf("插入哈希表\n");
for (i = 0; i <= 7; i++)
{
key = array[i];
InsertHash(H, key);
printHash(H);
}
//刪除哈希表
printf("刪除哈希表中key為12的元素\n");
int p, c;
if (SUCCESS == DeleteHash(H, 12))
{
printf("刪除成功，此時哈希表為：\n");
printHash(H);
}
//查詢哈希表
printf("查詢哈希表中key為67的元素\n");
if (SUCCESS == SearchHash(H, 67, p, c)) printf("查詢成功\n");
//再次插入，測試哈希表的重建
printf("再次插入，測試哈希表的重建：\n");
KeyType array1[8] = { 27, 47, 57, 47, 37, 17, 93, 67 };
for (i = 0; i <= 7; i++)
{
key = array1[i];
InsertHash(H, key);
printHash(H);
}
getchar();
return 0;
}
6 二叉樹查找
二叉查找樹是先對待查找的數(shù)據(jù)進(jìn)行生成樹，確保樹的左分支的值小于右分支的值，然后在就行和每個節(jié)點的父節(jié)點比較大小，查找最適合的范圍。這個算法的查找效率很高，但是如果使用這種查找方法要首先創(chuàng)建樹。
算法思路：
-
若b是空樹，則搜索失?。? -
若x等于b的根節(jié)點的數(shù)據(jù)域之值，則查找成功： -
若x小于b的根節(jié)點的數(shù)據(jù)域之值，則搜索左子樹： -
查找右子樹。
代碼：
遞歸和非遞歸
//非遞歸查找算法
BSTNode *BST_Search(BiTree T,ElemType key,BSTNode *&p)
{
//查找函數(shù)返回指向關(guān)鍵字值為key的結(jié)點指針，不存在則返回NULL
p=NULL;
while(T!=NULL&&key!=T->data)
{
p=T; //指向被查找結(jié)點的雙親
if(key<T->data)
T=T->lchild; //查找左子樹
else
T=T->rchild; //查找右子樹
}
return T;
}
//遞歸算法
Status Search_BST(BiTree T, int key, BiTree f, BiTree *p)
{
//查找BST中是否存在key，f指向T雙親，其初始值為NULL
//若查找成功，指針p指向數(shù)據(jù)元素結(jié)點，返回true；
//若失敗，p指向查找路徑上訪問的最后一個結(jié)點并返回false
if(!T)
{
*p=f;
return false;
}
else if(key==T->data)
{ //查找成功
*p=T;
return true;
}
else if(key<T->data)
return Search_BST(T->lchild,key,T,p); //遞歸查找左子樹
else
return Search_BST(T->rchild,key,T,p); //遞歸查找右子樹
}
7 2-3樹
2-3樹運行每個節(jié)點保存1個或者兩個的值。對于普通的2節(jié)點(2-node)，他保存1個key和左右兩個自己點。對應(yīng)3節(jié)點(3-node)，保存兩個Key，2-3查找樹的定義如下：
-
要么為空，要么：
-
對于2節(jié)點，該節(jié)點保存一個key及對應(yīng)value，以及兩個指向左右節(jié)點的節(jié)點，左節(jié)點也是一個2-3節(jié)點，所有的值都比key要小，右節(jié)點也是一個2-3節(jié)點，所有的值比key要大。
-
對于3節(jié)點，該節(jié)點保存兩個key及對應(yīng)value，以及三個指向左中右的節(jié)點。左節(jié)點也是一個2-3節(jié)點，所有的值均比兩個key中的最小的key還要?。恢虚g節(jié)點也是一個2-3節(jié)點，中間節(jié)點的key值在兩個跟節(jié)點key值之間；右節(jié)點也是一個2-3節(jié)點，節(jié)點的所有key值比兩個key中的最大的key還要大。
算法思路:
要判斷一個鍵是否在樹中，我們先將它和根結(jié)點中的鍵比較。如果它和其中的任何一個相等，查找命中。否則我們就根據(jù)比較的結(jié)果找到指向相應(yīng)區(qū)間的鏈接，并在其指向的子樹中遞歸地繼續(xù)查找。如果這是個空鏈接，查找未命中。
代碼：
two_three *search23(two_three *t, element x)
{
while(t)
{
if (x < t->data_l)
{
t = t->left_child;
}
else if (x > t->data_l && x < t->data_r)
{
t = t->middle_child;
}
else if (x > t->data_r)
{
t = t->right_child;
}
else
{
return t;
}
}
return NULL;
}
8 紅黑樹
2-3查找樹能保證在插入元素之后能保持樹的平衡狀態(tài)，最壞情況下即所有的子節(jié)點都是2-node，樹的高度為lgn，從而保證了最壞情況下的時間復(fù)雜度。但是2-3樹實現(xiàn)起來比較復(fù)雜，于是就有了一種簡單實現(xiàn)2-3樹的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，即紅黑樹（Red-Black Tree）。
理解紅黑樹一句話就夠了：紅黑樹就是用紅鏈接表示3-結(jié)點的2-3樹。
現(xiàn)在我們對2-3樹進(jìn)行改造，改造成一個二叉樹。怎么改造呢？對于2節(jié)點，保持不變；對于3節(jié)點，我們首先將3節(jié)點中左側(cè)的元素標(biāo)記為紅色，然后我們將其改造成圖3的形式；
再將3節(jié)點的位于中間的子節(jié)點的父節(jié)點設(shè)置為父節(jié)點中那個紅色的節(jié)點，如圖4的所示；最后我們將圖4的形式改為二叉樹的樣子，如圖5所示。圖5是不是很熟悉，沒錯，這就是我們常常提到的大名鼎鼎的紅黑樹了。如下圖所示。
為什么使用紅黑樹：
-
紅黑樹是一種平衡樹，他復(fù)雜的定義和規(guī)則都是為了保證樹的平衡性。如果樹不保證他的平衡性就是下圖：很顯然這就變成一個鏈表了。 -
保證平衡性的最大的目的就是降低樹的高度，因為樹的查找性能取決于樹的高度。所以樹的高度越低搜索的效率越高！ -
這也是為什么存在二叉樹、搜索二叉樹等，各類樹的目的。
紅黑樹性質(zhì)：
-
每個節(jié)點要么是黑色，要么是紅色。 -
根節(jié)點是黑色。 -
每個葉子節(jié)點（NIL）是黑色。 -
每個紅色結(jié)點的兩個子結(jié)點一定都是黑色。 -
任意一結(jié)點到每個葉子結(jié)點的路徑都包含數(shù)量相同的黑結(jié)點。
算法思路：
紅黑樹的思想就是對2-3查找樹進(jìn)行編碼，尤其是對2-3查找樹中的3-nodes節(jié)點添加額外的信息。紅黑樹中將節(jié)點之間的鏈接分為兩種不同類型，紅色鏈接，他用來鏈接兩個2-nodes節(jié)點來表示一個3-nodes節(jié)點。黑色鏈接用來鏈接普通的2-3節(jié)點。特別的，使用紅色鏈接的兩個2-nodes來表示一個3-nodes節(jié)點，并且向左傾斜，即一個2-node是另一個2-node的左子節(jié)點。這種做法的好處是查找的時候不用做任何修改，和普通的二叉查找樹相同。
代碼：
#define BLACK 1
#define RED 0
#include <iostream>
using namespace std;
class bst
{
private:
struct Node
{
int value;
bool color;
Node *leftTree, *rightTree, *parent;
Node() : value(0), color(RED), leftTree(NULL), rightTree(NULL), parent(NULL) { }
Node* grandparent()
{
if (parent == NULL)
{
return NULL;
}
return parent->parent;
}
Node* uncle()
{
if (grandparent() == NULL)
{
return NULL;
}
if (parent == grandparent()->rightTree)
return grandparent()->leftTree;
else
return grandparent()->rightTree;
}
Node* sibling()
{
if (parent->leftTree == this)
return parent->rightTree;
else
return parent->leftTree;
}
};
void rotate_right(Node *p)
{
Node *gp = p->grandparent();
Node *fa = p->parent;
Node *y = p->rightTree;
fa->leftTree = y;
if (y != NIL)
y->parent = fa;
p->rightTree = fa;
fa->parent = p;
if (root == fa)
root = p;
p->parent = gp;
if (gp != NULL)
{
if (gp->leftTree == fa)
gp->leftTree = p;
else
gp->rightTree = p;
}
}
void rotate_left(Node *p)
{
if (p->parent == NULL)
{
root = p;
return;
}
Node *gp = p->grandparent();
Node *fa = p->parent;
Node *y = p->leftTree;
fa->rightTree = y;
if (y != NIL)
y->parent = fa;
p->leftTree = fa;
fa->parent = p;
if (root == fa)
root = p;
p->parent = gp;
if (gp != NULL)
{
if (gp->leftTree == fa)
gp->leftTree = p;
else
gp->rightTree = p;
}
}
void inorder(Node *p)
{
if (p == NIL)
return;
if (p->leftTree)
inorder(p->leftTree);
cout << p->value << " ";
if (p->rightTree)
inorder(p->rightTree);
}
string outputColor(bool color)
{
return color ? "BLACK" : "RED";
}
Node* getSmallestChild(Node *p)
{
if (p->leftTree == NIL)
return p;
return getSmallestChild(p->leftTree);
}
bool delete_child(Node *p, int data)
{
if (p->value > data)
{
if (p->leftTree == NIL)
{
return false;
}
return delete_child(p->leftTree, data);
}
else if (p->value < data)
{
if (p->rightTree == NIL)
{
return false;
}
return delete_child(p->rightTree, data);
}
else if (p->value == data)
{
if (p->rightTree == NIL)
{
delete_one_child(p);
return true;
}
Node *smallest = getSmallestChild(p->rightTree);
swap(p->value, smallest->value);
delete_one_child(smallest);
return true;
}
else
{
return false;
}
}
void delete_one_child(Node *p)
{
Node *child = p->leftTree == NIL ? p->rightTree : p->leftTree;
if (p->parent == NULL && p->leftTree == NIL && p->rightTree == NIL)
{
p = NULL;
root = p;
return;
}
if (p->parent == NULL)
{
delete p;
child->parent = NULL;
root = child;
root->color = BLACK;
return;
}
if (p->parent->leftTree == p)
{
p->parent->leftTree = child;
}
else
{
p->parent->rightTree = child;
}
child->parent = p->parent;
if (p->color == BLACK)
{
if (child->color == RED)
{
child->color = BLACK;
}
else
delete_case(child);
}
delete p;
}
void delete_case(Node *p)
{
if (p->parent == NULL)
{
p->color = BLACK;
return;
}
if (p->sibling()->color == RED)
{
p->parent->color = RED;
p->sibling()->color = BLACK;
if (p == p->parent->leftTree)
rotate_left(p->sibling());
else
rotate_right(p->sibling());
}
if (p->parent->color == BLACK && p->sibling()->color == BLACK
&& p->sibling()->leftTree->color == BLACK && p->sibling()->rightTree->color == BLACK)
{
p->sibling()->color = RED;
delete_case(p->parent);
}
else if (p->parent->color == RED && p->sibling()->color == BLACK
&& p->sibling()->leftTree->color == BLACK && p->sibling()->rightTree->color == BLACK)
{
p->sibling()->color = RED;
p->parent->color = BLACK;
}
else
{
if (p->sibling()->color == BLACK)
{
if (p == p->parent->leftTree && p->sibling()->leftTree->color == RED
&& p->sibling()->rightTree->color == BLACK)
{
p->sibling()->color = RED;
p->sibling()->leftTree->color = BLACK;
rotate_right(p->sibling()->leftTree);
}
else if (p == p->parent->rightTree && p->sibling()->leftTree->color == BLACK
&& p->sibling()->rightTree->color == RED)
{
p->sibling()->color = RED;
p->sibling()->rightTree->color = BLACK;
rotate_left(p->sibling()->rightTree);
}
}
p->sibling()->color = p->parent->color;
p->parent->color = BLACK;
if (p == p->parent->leftTree)
{
p->sibling()->rightTree->color = BLACK;
rotate_left(p->sibling());
}
else
{
p->sibling()->leftTree->color = BLACK;
rotate_right(p->sibling());
}
}
}
void insert(Node *p, int data)
{
if (p->value >= data)
{
if (p->leftTree != NIL)
insert(p->leftTree, data);
else
{
Node *tmp = new Node();
tmp->value = data;
tmp->leftTree = tmp->rightTree = NIL;
tmp->parent = p;
p->leftTree = tmp;
insert_case(tmp);
}
}
else
{
if (p->rightTree != NIL)
insert(p->rightTree, data);
else
{
Node *tmp = new Node();
tmp->value = data;
tmp->leftTree = tmp->rightTree = NIL;
tmp->parent = p;
p->rightTree = tmp;
insert_case(tmp);
}
}
}
void insert_case(Node *p)
{
if (p->parent == NULL)
{
root = p;
p->color = BLACK;
return;
}
if (p->parent->color == RED)
{
if (p->uncle()->color == RED)
{
p->parent->color = p->uncle()->color = BLACK;
p->grandparent()->color = RED;
insert_case(p->grandparent());
}
else
{
if (p->parent->rightTree == p && p->grandparent()->leftTree == p->parent)
{
rotate_left(p);
rotate_right(p);
p->color = BLACK;
p->leftTree->color = p->rightTree->color = RED;
}
else if (p->parent->leftTree == p && p->grandparent()->rightTree == p->parent)
{
rotate_right(p);
rotate_left(p);
p->color = BLACK;
p->leftTree->color = p->rightTree->color = RED;
}
else if (p->parent->leftTree == p && p->grandparent()->leftTree == p->parent)
{
p->parent->color = BLACK;
p->grandparent()->color = RED;
rotate_right(p->parent);
}
else if (p->parent->rightTree == p && p->grandparent()->rightTree == p->parent)
{
p->parent->color = BLACK;
p->grandparent()->color = RED;
rotate_left(p->parent);
}
}
}
}
void DeleteTree(Node *p)
{
if (!p || p == NIL)
{
return;
}
DeleteTree(p->leftTree);
DeleteTree(p->rightTree);
delete p;
}
public:
bst()
{
NIL = new Node();
NIL->color = BLACK;
root = NULL;
}
~bst()
{
if (root)
DeleteTree(root);
delete NIL;
}
void inorder()
{
if (root == NULL)
return;
inorder(root);
cout << endl;
}
void insert(int x)
{
if (root == NULL)
{
root = new Node();
root->color = BLACK;
root->leftTree = root->rightTree = NIL;
root->value = x;
}
else
{
insert(root, x);
}
}
bool delete_value(int data)
{
return delete_child(root, data);
}
private:
Node *root, *NIL;
};
int main()
{
cout << "---【紅黑樹】---" << endl;
// 創(chuàng)建紅黑樹
bst tree;
// 插入元素
tree.insert(2);
tree.insert(9);
tree.insert(-10);
tree.insert(0);
tree.insert(33);
tree.insert(-19);
// 順序打印紅黑樹
cout << "插入元素后的紅黑樹：" << endl;
tree.inorder();
// 刪除元素
tree.delete_value(2);
// 順序打印紅黑樹
cout << "刪除元素 2 后的紅黑樹：" << endl;
tree.inorder();
// 析構(gòu)
tree.~bst();
getchar();
return 0;
}
9 B樹/B+樹
在計算機(jī)科學(xué)中，B樹（B-tree）是一種樹狀數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，它能夠存儲數(shù)據(jù)、對其進(jìn)行排序并允許以O(shè)(log n)的時間復(fù)雜度運行進(jìn)行查找、順序讀取、插入和刪除的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。B樹，概括來說是一個節(jié)點可以擁有多于2個子節(jié)點的二叉查找樹。與自平衡二叉查找樹不同，B-樹為系統(tǒng)最優(yōu)化大塊數(shù)據(jù)的讀和寫操作。B-tree算法減少定位記錄時所經(jīng)歷的中間過程，從而加快存取速度。普遍運用在數(shù)據(jù)庫和文件系統(tǒng)。
——維基百科
B 樹可以看作是對2-3查找樹的一種擴(kuò)展，即他允許每個節(jié)點有M-1個子節(jié)點。
-
定義任意非葉子結(jié)點最多只有M個兒子；且M>2； -
根結(jié)點的兒子數(shù)為[2, M]； -
除根結(jié)點以外的非葉子結(jié)點的兒子數(shù)為[M/2, M]； -
每個結(jié)點存放至少M/2-1（取上整）和至多M-1個關(guān)鍵字；（至少2個關(guān)鍵字） -
非葉子結(jié)點的關(guān)鍵字：K[1], K[2], …, K[M-1]；且K[i] < K[i+1]； -
非葉子結(jié)點的指針：P[1], P[2], …, P[M]；其中P[1]指向關(guān)鍵字小于K[1]的 子樹，P[M]指向關(guān)鍵字大于K[M-1]的子樹，其它P[i]指向關(guān)鍵字屬于(K[i-1], K[i])的子樹； -
所有葉子結(jié)點位于同一層；
如：（M=3）
算法思路：
從根結(jié)點開始，對結(jié)點內(nèi)的關(guān)鍵字（有序）序列進(jìn)行二分查找，如果命中則結(jié)束，否則進(jìn)入查詢關(guān)鍵字所屬范圍的兒子結(jié)點；重復(fù)，直到所對應(yīng)的兒子指針為空，或已經(jīng)是葉子結(jié)點；
-
關(guān)鍵字集合分布在整顆樹中； -
任何一個關(guān)鍵字出現(xiàn)且只出現(xiàn)在一個結(jié)點中； -
搜索有可能在非葉子結(jié)點結(jié)束； -
其搜索性能等價于在關(guān)鍵字全集內(nèi)做一次二分查找； -
自動層次控制；
代碼：
BTNode* BTree_recursive_search(const BTree tree, KeyType key, int* pos)
{
int i = 0;
while (i < tree->keynum && key > tree->key[i])
{
++i;
}
// 查找關(guān)鍵字
if (i < tree->keynum && tree->key[i] == key)
{
*pos = i;
return tree;
}
// tree 為葉子節(jié)點，找不到 key，查找失敗返回
if (tree->isLeaf)
{
return NULL;
}
// 節(jié)點內(nèi)查找失敗，但 tree->key[i - 1]< key < tree->key[i]，
// 下一個查找的結(jié)點應(yīng)為 child[i]
// 從磁盤讀取第 i 個孩子的數(shù)據(jù)
disk_read(&tree->child[i]);
// 遞歸地繼續(xù)查找于樹 tree->child[i]
return BTree_recursive_search(tree->child[i], key, pos);
}
B+樹：
B+樹是B樹的變體，也是一種多路搜索樹：
其定義基本與B-樹同，除了：
-
非葉子結(jié)點的子樹指針與關(guān)鍵字個數(shù)相同； -
非葉子結(jié)點的子樹指針P[i]，指向關(guān)鍵字值屬于[K[i], K[i+1])的子樹, B樹是開區(qū)間 -
為所有葉子結(jié)點增加一個鏈指針; -
所有關(guān)鍵字都在葉子結(jié)點出現(xiàn)；
如:（M=3）
算法思路：
B+的搜索與B樹也基本相同，區(qū)別是B+樹只有達(dá)到葉子結(jié)點才命中（B樹可以在 非葉子結(jié)點命中），其性能也等價于在關(guān)鍵字全集做一次二分查找；
-
所有關(guān)鍵字都出現(xiàn)在葉子結(jié)點的鏈表中（稠密索引），且鏈表中的關(guān)鍵字恰好是有序的； -
不可能在非葉子結(jié)點命中； -
非葉子結(jié)點相當(dāng)于是葉子結(jié)點的索引（稀疏索引），葉子結(jié)點相當(dāng)于是存儲（關(guān)鍵字）數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)層； -
更適合文件索引系統(tǒng)；
參考資料
-
https://www.sohu.com/a/296278527_478315 -
https://www.cnblogs.com/exzlc/p/12203744.html -
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