FPGA的最大優(yōu)勢之一是您能夠利用其嵌入式DSP模塊解決最棘手的數(shù)學(xué)傳遞函數(shù)。多項式近似法就是此方面的良方。

由于其靈活性與高性能，F(xiàn)PGA已經(jīng)在眾多需要計算復(fù)雜數(shù)學(xué)題或傳遞函數(shù)的工業(yè)、科研、軍事及其它應(yīng)用中找到用武之地。苛刻的精度要求與計算時延在更關(guān)鍵的應(yīng)用中并不少見。

在采用FPGA實現(xiàn)數(shù)學(xué)函數(shù)時，工程師一般選擇定點數(shù)學(xué)（參見：賽靈思中國通訊第80期的《FPGA數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》， docs/xcell80/44?e=2232228/2002872 ）。另外，您還可以采用CORDIC等許多算法計算超越函數(shù)（參見：賽靈思中國通訊第79期的《如何在FPGA中運用CORDIC算法》， publicaTIons/archives/xcel l/Xcell79.pdf )。

不過，在遇到極為復(fù)雜的數(shù)學(xué)函數(shù)時，與在FPGA之中實現(xiàn)精確需求函數(shù)相比，還有更高效的方法進行處理。為了理解這些變通方法 – 尤其是其中的多項式近似法，我們首先需要定義相關(guān)問題。

FPGA中負責(zé)監(jiān)控鉑電阻溫度計（PRT）并把PRT電阻轉(zhuǎn)換成溫度的復(fù)雜數(shù)學(xué)傳遞函數(shù)就是這樣一個例子。這種轉(zhuǎn)換一般采用Callendar-Van Dusen方程實現(xiàn)。通過以下該方程的簡化形式，可以確定溫度介于0 ℃~660 ℃之間。

式中，R0 為0 ℃時的電阻，a 與b 是PRT的系數(shù)，而t 則是溫度。

現(xiàn)實中，我們希望從電阻轉(zhuǎn)換到溫度。為此，我們需要調(diào)整該方程，確保得出的結(jié)果是給定電阻下的溫度。大多數(shù)采用PRT的系統(tǒng)都會設(shè)計電子裝置、采用電子電路測量PRT的電阻，然后利用FPGA、通過調(diào)整后的下式計算溫度。

在FPGA中實現(xiàn)此方程即使是經(jīng)驗豐富的FPGA工程師也會望而卻步。參考溫度繪制所獲得的電阻可以獲得圖1所示圖形。從圖中可以清晰看出響應(yīng)的非線性。

直接在FPGA中實現(xiàn)調(diào)整后的傳遞函數(shù)會在實際所需設(shè)計工作量以及驗證方面面臨著巨大挑戰(zhàn)（確保精度以及跨邊界與極端條件函數(shù)）。許多工程師會想方設(shè)法實現(xiàn)函數(shù)，以便減少設(shè)計與驗證工作量，從而控制項目進度。一個可行的方法是采用查找表保存曲線中的一系列點，同時提供LUT所含點之間的線性插值。

根據(jù)相關(guān)精度要求和保存在查找表中的元素數(shù)量，這種方法有可能滿足需求。但是，您仍然需要在設(shè)計中包含線性插值函數(shù)。此函數(shù)在數(shù)學(xué)上非常復(fù)雜，而且往往包含一個非二次冪除法，其會進一步增加復(fù)雜性。

相反，您還可以利用另一種方法實現(xiàn)此類傳遞函數(shù)，那就是利用FPGA的本身特性。賽靈思 Spartan-6與7系列ArTIx、Kintex與Virtex等新型FPGA不僅僅只包含傳統(tǒng)查找表和觸發(fā)器，還具有內(nèi)置DSP Slice、Block RAM、分布式RAM、PCIe®等眾多高級IP硬核以及以太網(wǎng)端點、高速串行鏈路等。

由于其提供的48位累加器，工程師通常把DSP Slice稱為DSP48s。不過，這些Slice還提供25 x 18位寬乘法器、加/減功能以及眾多其它功能。您可以利用這些內(nèi)部RAM結(jié)構(gòu)和DSP Slice更輕松實現(xiàn)傳遞函數(shù)。

利用FPGA具有豐富DSP與RAM的結(jié)構(gòu)的一種方法是多項式近似法。為了使用此方法，您必須首先繪出數(shù)學(xué)函數(shù)圖，在MATLAB或Excel等數(shù)學(xué)程序中涵蓋輸入值范圍。然后您可以在相關(guān)數(shù)據(jù)集中添加多項式趨勢線，然后可以在FPGA中實現(xiàn)該趨勢線的等式，以取代復(fù)雜數(shù)學(xué)函數(shù)，只要趨勢線等式符合精度要求。

如果一個多項式方程無法針對整個傳遞函數(shù)輸入范圍提供足夠精度，則可以添加更多方程。只要生成一系列在相關(guān)輸入范圍使用的多項式常數(shù)，您就能夠繼續(xù)依賴此方法。

能夠添加多項式趨勢線的數(shù)學(xué)程序大部分都允許您選擇階次或多項式項的數(shù)量。階次越高，則配合越準確——但是您需要在FPGA中實現(xiàn)更多的項。在針對傳遞函數(shù)示例實施此過程時，我們是采用Microsoft Excel，我們已經(jīng)獲得了圖2所示趨勢線與等式。本例中采用4次多項式方程。

在獲得了適合我們希望實現(xiàn)的傳遞函數(shù)的多項式之后，我們可以采用相同分析工具（在本例中為Excel）針對原始傳遞函數(shù)仔細檢查精度。在所述監(jiān)控溫度的例子中，最終測量精度可能會是+/-1?C，這并非苛刻的精度要求。盡管如此，根據(jù)測量范圍和您實現(xiàn)的傳遞函數(shù)，可能證實仍然很難僅用一個多項式方程實現(xiàn)。我們該如何解決這個問題呢？