阮一峰：圖文2分鐘讓你秒懂虛數(shù)是什么？

時間：2020-12-08 11:49:47

關(guān)鍵字：虛數(shù) 復(fù)數(shù)

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[導(dǎo)讀]有人在Stack Exchange問了一個問題： "我一直覺得虛數(shù)（imaginary number）很難懂。中學(xué)老師說，虛數(shù)就是-1的平方根?？墒?，什么數(shù)的平方等于-1呢？計(jì)算器直接顯示出錯！直到今天，我也沒有搞懂。誰能解釋，虛數(shù)到底是什么？它有什么用？"

撰文 | 阮一峰

有人在Stack Exchange問了一個問題：

"我一直覺得虛數(shù)（imaginary number）很難懂。

中學(xué)老師說，虛數(shù)就是-1的平方根。

可是，什么數(shù)的平方等于-1呢？計(jì)算器直接顯示出錯！

直到今天，我也沒有搞懂。誰能解釋，虛數(shù)到底是什么？

它有什么用？"

帖子的下面，很多人給出了自己的解釋，還推薦了一篇非常棒的文章《虛數(shù)的圖解》。我讀后恍然大悟，醍醐灌頂，原來虛數(shù)這么簡單，一點(diǎn)也不奇怪和難懂！

下面，我就用自己的語言，講述我所理解的虛數(shù)。

一

什么是虛數(shù)？

首先，假設(shè)有一根數(shù)軸，上面有兩個反向的點(diǎn)：+1和-1。

這根數(shù)軸的正向部分，可以繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)。顯然，逆時針旋轉(zhuǎn)180度，+1就會變成-1。

這相當(dāng)于兩次逆時針旋轉(zhuǎn)90度。

因此，我們可以得到下面的關(guān)系式：

(+1) * (逆時針旋轉(zhuǎn)90度) * (逆時針旋轉(zhuǎn)90度) = (-1)

如果把+1消去，這個式子就變?yōu)椋?/span>

(逆時針旋轉(zhuǎn)90度)^2 = (-1)

將"逆時針旋轉(zhuǎn)90度"記為 i ：

i^2 = (-1)

這個式子很眼熟，它就是虛數(shù)的定義公式。

所以，我們可以知道，虛數(shù) i 就是逆時針旋轉(zhuǎn)90度，i 不是一個數(shù)，而是一個旋轉(zhuǎn)量。

二

復(fù)數(shù)的定義

既然 i 表示旋轉(zhuǎn)量，我們就可以用 i ，表示任何實(shí)數(shù)的旋轉(zhuǎn)狀態(tài)。

將實(shí)數(shù)軸看作橫軸，虛數(shù)軸看作縱軸，就構(gòu)成了一個二維平面。旋轉(zhuǎn)到某一個角度的任何正實(shí)數(shù)，必然唯一對應(yīng)這個平面中的某個點(diǎn)。

只要確定橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，比如( 1 , i )，就可以確定某個實(shí)數(shù)的旋轉(zhuǎn)量（45度）。

數(shù)學(xué)家用一種特殊的表示方法，表示這個二維坐標(biāo)：用 + 號把橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)連接起來。比如，把 ( 1 , i ) 表示成 1 + i 。這種表示方法就叫做復(fù)數(shù) （complex number），其中 1 稱為實(shí)數(shù)部，i 稱為虛數(shù)部。

為什么要把二維坐標(biāo)表示成這樣呢，下一節(jié)告訴你原因。

三

虛數(shù)的作用：加法

虛數(shù)的引入，大大方便了涉及到旋轉(zhuǎn)的計(jì)算。

比如，物理學(xué)需要計(jì)算"力的合成"。假定一個力是 3 + i ，另一個力是 1 + 3i ，請問它們的合成力是多少？

根據(jù)"平行四邊形法則"，你馬上得到，合成力就是 ( 3 + i ) + ( 1 + 3i ) = ( 4 + 4i )。

這就是虛數(shù)加法的物理意義。

四

虛數(shù)的作用：乘法

如果涉及到旋轉(zhuǎn)角度的改變，處理起來更方便。

比如，一條船的航向是 3 + 4i 。

如果該船的航向，逆時針增加45度，請問新航向是多少？

45度的航向就是 1 + i 。計(jì)算新航向，只要把這兩個航向 3 + 4i 與 1 + i 相乘就可以了（原因在下一節(jié)解釋）：

( 3 + 4i ) * ( 1 + i ) = ( -1 + 7i )

所以，該船的新航向是 -1 + 7i 。

如果航向逆時針增加90度，就更簡單了。因?yàn)?0度的航向就是 i ，所以新航向等于：

( 3 + 4i ) * i = ( -4 + 3i )

這就是虛數(shù)乘法的物理意義：改變旋轉(zhuǎn)角度。

五

虛數(shù)乘法的數(shù)學(xué)證明

為什么一個復(fù)數(shù)改變旋轉(zhuǎn)角度，只要做乘法就可以了？

下面就是它的數(shù)學(xué)證明，實(shí)際上很簡單。

任何復(fù)數(shù) a + bi，都可以改寫成旋轉(zhuǎn)半徑 r 與橫軸夾角 θ 的形式。

假定現(xiàn)有兩個復(fù)數(shù) a + bi 和 c + di，可以將它們改寫如下：

a + bi = r1 * ( cosα + isinα )

c + di = r2 * ( cosβ + isinβ )

這兩個復(fù)數(shù)相乘，( a + bi )( c + di ) 就相當(dāng)于

r1 * r2 * ( cosα + isinα ) * ( cosβ + isinβ )

展開后面的乘式，得到

cosα * cosβ - sinα * sinβ + i( cosα * sinβ + sinα * cosβ )

根據(jù)三角函數(shù)公式，上面的式子就等于

cos(α+β) + isin(α+β)

所以，

( a + bi )( c + di )　＝　r1 * r2 * ( cos(α+β) + isin(α+β) )

這就證明了，兩個復(fù)數(shù)相乘，就等于旋轉(zhuǎn)半徑相乘、旋轉(zhuǎn)角度相加。

END

作者：阮一峰

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