前言

今天，我們來思考幾個(gè)問題：

• 為什么負(fù)數(shù)要用補(bǔ)碼表示？

• 十進(jìn)制小數(shù)怎么轉(zhuǎn)成二進(jìn)制？

• 計(jì)算機(jī)是怎么存小數(shù)的？

• 0.1 + 0.2 == 0.3 嗎？

• …

別看這些問題都看似簡(jiǎn)單，但是其實(shí)還是有點(diǎn)東西的這些問題。

正文

為什么負(fù)數(shù)要用補(bǔ)碼表示？

十進(jìn)制轉(zhuǎn)換二進(jìn)制的方法相信大家都熟能生巧了，如果你說你還不知道，我覺得你還是太謙虛，可能你只是忘記了，即使你真的忘記了，不怕，貼心的小林在和你一起回憶一下。

十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)二進(jìn)制采用的是除 2 取余法，比如數(shù)字 8 轉(zhuǎn)二進(jìn)制的過程如下圖：

接著，我們看看「整數(shù)類型」的數(shù)字在計(jì)算機(jī)的存儲(chǔ)方式，這其實(shí)很簡(jiǎn)單，也很直觀，就是將十進(jìn)制的數(shù)字轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制即可。

我們以?int?類型的數(shù)字作為例子，int 類型是?32?位的，其中最高位是作為「符號(hào)標(biāo)志位」，正數(shù)的符號(hào)位是?0，負(fù)數(shù)的符號(hào)位是?1，剩余的 31 位則表示二進(jìn)制數(shù)據(jù)。

那么，對(duì)于 int 類型的數(shù)字 1 的二進(jìn)制數(shù)表示如下：

而負(fù)數(shù)就比較特殊了點(diǎn)，負(fù)數(shù)在計(jì)算機(jī)中是以「補(bǔ)碼」表示的，所謂的補(bǔ)碼就是把正數(shù)的二進(jìn)制全部取反再加 1，比如 -1 的二進(jìn)制是把數(shù)字 1 的二進(jìn)制取反后再加 1，如下圖：

不知道你有沒有想過，為什么計(jì)算機(jī)要用補(bǔ)碼的方式來表示負(fù)數(shù)？在回答這個(gè)問題前，我們假設(shè)不用補(bǔ)碼的方式來表示負(fù)數(shù)，而只是把最高位的符號(hào)標(biāo)志位變?yōu)?1 表示負(fù)數(shù)，如下圖過程：

如果采用這種方式來表示負(fù)數(shù)的二進(jìn)制的話，試想一下?-2 + 1?的運(yùn)算過程，如下圖：

按道理，-2 + 1 = -1，但是上面的運(yùn)算過程中得到結(jié)果卻是?-3，所可以發(fā)現(xiàn)，這種負(fù)數(shù)的表示方式是不能用常規(guī)的加法來計(jì)算了，就需要特殊處理，要先判斷數(shù)字是否為負(fù)數(shù)，如果是負(fù)數(shù)就要把加法操作變成減法操作才可以得到正確對(duì)結(jié)果。

到這里，我們就可以回答前面提到的「負(fù)數(shù)為什么要用補(bǔ)碼方式來表示」的問題了。

如果負(fù)數(shù)不是使用補(bǔ)碼的方式表示，則在做基本對(duì)加減法運(yùn)算的時(shí)候，還需要多一步操作來判斷是否為負(fù)數(shù)，如果為負(fù)數(shù)，還得把加法反轉(zhuǎn)成減法，或者把減法反轉(zhuǎn)成加法，這就非常不好了，畢竟加減法運(yùn)算在計(jì)算機(jī)里是很常使用的，所以為了性能考慮，應(yīng)該要盡量簡(jiǎn)化這個(gè)運(yùn)算過程。

而用了補(bǔ)碼的表示方式，對(duì)于負(fù)數(shù)的加減法操作，實(shí)際上是和正數(shù)加減法操作一樣的。你可以看到下圖，用補(bǔ)碼表示的負(fù)數(shù)在運(yùn)算?-2 + 1?過程的時(shí)候，其結(jié)果是正確的：

十進(jìn)制小數(shù)與二進(jìn)制的轉(zhuǎn)換

好了，整數(shù)十進(jìn)制轉(zhuǎn)二進(jìn)制我們知道了，接下來看看小數(shù)是怎么轉(zhuǎn)二進(jìn)制的，小數(shù)部分的轉(zhuǎn)換不同于整數(shù)部分，它采用的是乘 2 取整法，將十進(jìn)制中的小數(shù)部分乘以 2 作為二進(jìn)制的一位，然后繼續(xù)取小數(shù)部分乘以 2 作為下一位，直到不存在小數(shù)為止。

話不多說，我們就以?8.625?轉(zhuǎn)二進(jìn)制作為例子，直接上圖：

最后把「整數(shù)部分 + 小數(shù)部分」結(jié)合在一起后，其結(jié)果就是?1000.101。

但是，并不是所有小數(shù)都可以用二進(jìn)制表示，前面提到的 0.625 小數(shù)是一個(gè)特例，剛好通過乘 2 取整法的方式完整的轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制，如果我們用相同的方式，來把?0.1?轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制，過程如下：

可以發(fā)現(xiàn)，0.1?的二進(jìn)制表示是無限循環(huán)的，由于計(jì)算機(jī)的資源是有限的，所以是沒辦法用二進(jìn)制精確的表示 0.1，只能用「近似值」來表示，就是在有限的精度情況下，最大化接近 0.1 的二進(jìn)制數(shù)，于是就會(huì)造成精度缺失的情況。

對(duì)于二進(jìn)制小數(shù)轉(zhuǎn)十進(jìn)制時(shí)，需要注意一點(diǎn)，小數(shù)點(diǎn)后面的指數(shù)冪是負(fù)數(shù)，比如二進(jìn)制?0.1?轉(zhuǎn)成十進(jìn)制就是?2^(-1)，也就是十進(jìn)制?0.5，二進(jìn)制?0.01?轉(zhuǎn)成十進(jìn)制就是?2^-2，也就是十進(jìn)制?0.25，以此類推。

舉個(gè)例子，二進(jìn)制?1010.101?轉(zhuǎn)十進(jìn)制的過程，如下圖：

計(jì)算機(jī)是怎么存小數(shù)的？

1000.101?這種二進(jìn)制小數(shù)是「定點(diǎn)數(shù)」形式，代表著小數(shù)點(diǎn)是定死的，不能移動(dòng)，如果你移動(dòng)了它的小數(shù)點(diǎn)，這個(gè)數(shù)就變了， 就不再是它原來的值了。

然而，計(jì)算機(jī)并不是這樣存儲(chǔ)的小數(shù)的，計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)小數(shù)的采用的是浮點(diǎn)數(shù)，名字里的「浮點(diǎn)」表示小數(shù)點(diǎn)是可以浮動(dòng)的，比如?1000.101?這個(gè)二進(jìn)制數(shù)，可以表示成?1.000101 x 2^(-3)，類似于數(shù)學(xué)上的科學(xué)記數(shù)法。

既然提到了科學(xué)計(jì)數(shù)法，我再幫大家復(fù)習(xí)一下，比如有個(gè)很大的十進(jìn)制數(shù) 1230000，我們可以也可以表示成?1.23 x 10^6，這種方式就稱為科學(xué)記數(shù)法，該方法在小數(shù)點(diǎn)左邊只有一個(gè)數(shù)字，而且把這種整數(shù)部分沒有前導(dǎo) 0 的數(shù)字稱為規(guī)格化，比如?1.0 x 10^(-9)?是規(guī)格化的科學(xué)記數(shù)法，而?0.1 x 10^(-9)?和?10.0 x 10^(-9)?就不是了。

因此，如果二進(jìn)制要用到科學(xué)記數(shù)法，同時(shí)要規(guī)范化，那么不僅要保證基數(shù)為 2，還要保證小數(shù)點(diǎn)左側(cè)只有 1 位，而且必須為 1，所以通常將?1000.101?這種二進(jìn)制數(shù)，表示成?1.000101 x 2^(-3)，其中，最為關(guān)鍵的是 000101 和 -3 這兩個(gè)東西，它就可以包含了這個(gè)二進(jìn)制小數(shù)的所有信息，000101?稱為尾數(shù)，即小數(shù)點(diǎn)后面的數(shù)字，-3?稱為指數(shù)，指定了小數(shù)點(diǎn)在數(shù)據(jù)中的位置。

現(xiàn)在絕大多數(shù)計(jì)算機(jī)使用的浮點(diǎn)數(shù)，一般采用的是 IEEE 制定的國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)，這種標(biāo)準(zhǔn)形式如下圖：

這三個(gè)重要部分的意義如下：

• 符號(hào)位：表示數(shù)字是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，為 0 表示正數(shù)，為 1 表示負(fù)數(shù)；

• 指數(shù)位：指定了小數(shù)點(diǎn)在數(shù)據(jù)中的位置，指數(shù)可以是負(fù)數(shù)，也可以是正數(shù)，指數(shù)位的長(zhǎng)度越長(zhǎng)則數(shù)值的表達(dá)范圍就越大；

• 尾數(shù)位：小數(shù)點(diǎn)右側(cè)的數(shù)字，也就是小數(shù)部分，比如二進(jìn)制 1.0011 x 2^(-2)，尾數(shù)部分就是 0011，而且尾數(shù)的長(zhǎng)度決定了這個(gè)數(shù)的精度，因此如果要表示精度更高的小數(shù)，則就要提高尾數(shù)位的長(zhǎng)度；

用?32?位來表示的浮點(diǎn)數(shù)，則稱為單精度浮點(diǎn)數(shù)，也就是我們編程語言中的?float?變量，而用?64?位來表示的浮點(diǎn)數(shù)，稱為雙精度浮點(diǎn)數(shù)，也就是?double?變量，它們的結(jié)構(gòu)如下：

可以看到：

• double 的尾數(shù)部分是 52 位，float 的尾數(shù)部分是 23 位，由于同時(shí)都帶有一個(gè)固定隱含位（這個(gè)后面會(huì)說），所以 double 有 53 個(gè)二進(jìn)制有效位，float 有 24 個(gè)二進(jìn)制有效位，所以所以它們的精度在十進(jìn)制中分別是?log10(2^53)?約等于?15.95?和?log10(2^24)約等于?7.22?位，因此 double 的有效數(shù)字是?15~16?位，float 的有效數(shù)字是?7~8位，這些是有效位是包含整數(shù)部分和小數(shù)部分；

• double 的指數(shù)部分是 11 位，而 float 的指數(shù)位是 8 位，意味著 double 相比 float 能表示更大的數(shù)值范圍；

那二進(jìn)制小數(shù)，是如何轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制浮點(diǎn)數(shù)的呢？我們就以?10.625?作為例子，看看這個(gè)數(shù)字在 float 里是如何存儲(chǔ)的。

首先，我們計(jì)算出 10.625 的二進(jìn)制小數(shù)為 1010.101，然后把小數(shù)點(diǎn)，移動(dòng)到第一個(gè)有效數(shù)字后面，即將 1010.101 右移?3?位成?1.010101，右移 3 位就代表 +3，左移 3 位就是 -3，float 中的「指數(shù)位」就跟這里移動(dòng)的位數(shù)有關(guān)系，把移動(dòng)的位數(shù)再加上「偏移量」，float 的話偏移量是 127，相加后就是指數(shù)位的值了，即指數(shù)位這 8 位存的是?10000010（十進(jìn)制 130），因此你可以認(rèn)為「指數(shù)位」相當(dāng)于指明了小數(shù)點(diǎn)在數(shù)據(jù)中的位置。

1.010101?這小數(shù)點(diǎn)右側(cè)的數(shù)字就是 float 里的「尾數(shù)位」，由于尾數(shù)位是 23 位，則后面要補(bǔ)充 0，所以最終尾數(shù)位存儲(chǔ)的數(shù)字是?01010100000000000000000。

在算指數(shù)的時(shí)候，你可能會(huì)有疑問為什么要加上偏移量呢？

前面也提到，指數(shù)可能是正數(shù)，也可能是負(fù)數(shù)，即指數(shù)是有符號(hào)的整數(shù)，而有符號(hào)整數(shù)的計(jì)算是比無符號(hào)整數(shù)麻煩的，所以為了減少不必要的麻煩，在實(shí)際存儲(chǔ)指數(shù)的時(shí)候，需要把指數(shù)轉(zhuǎn)換成無符號(hào)整數(shù)，float 的指數(shù)部分是 8 位，IEEE 標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定單精度浮點(diǎn)的指數(shù)取值范圍是?-127 ~ +128，于是為了把指數(shù)轉(zhuǎn)換成無符號(hào)整數(shù)，就要加個(gè)偏移量，比如 float 的指數(shù)偏移量是?127，這樣指數(shù)就不會(huì)出現(xiàn)負(fù)數(shù)了。

比如，指數(shù)如果是 8，則實(shí)際存儲(chǔ)的指數(shù)是 8 + 127 = 135，即把 135 轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制之后再存儲(chǔ)，而當(dāng)我們需要計(jì)算實(shí)際的十進(jìn)制數(shù)的時(shí)候，再把指數(shù)減去偏移量即可。

細(xì)心的朋友肯定發(fā)現(xiàn)，移動(dòng)后的小數(shù)點(diǎn)左側(cè)的有效位（即 1）消失了，它并沒有存儲(chǔ)到 float 里，這是因?yàn)?IEEE 標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定，二進(jìn)制浮點(diǎn)數(shù)的小數(shù)點(diǎn)左側(cè)只能有 1 位，并且還只能是 1，既然這一位永遠(yuǎn)都是 1，那就可以不用存起來了，于是就讓 23 位尾數(shù)只存儲(chǔ)小數(shù)部分，電路在計(jì)算時(shí)會(huì)自動(dòng)把這個(gè) 1 加上，這樣就可以節(jié)約 1 位的空間，尾數(shù)就能多存一位小數(shù)，相應(yīng)的精度就更高了一點(diǎn)。

那么，對(duì)于我們?cè)趶?float 的二進(jìn)制浮點(diǎn)數(shù)轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制時(shí)，要考慮到這個(gè)隱含的 1，轉(zhuǎn)換公式如下：

舉個(gè)例子，我們把下圖這個(gè) float 的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制，過程如下：

0.1 + 0.2 == 0.3 ?

前面提到過，并不是所有小數(shù)都可以用「完整」的二進(jìn)制來表示的，比如十進(jìn)制 0.1 在轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制小數(shù)的時(shí)候，是一串無限循環(huán)的二進(jìn)制數(shù)，計(jì)算機(jī)是無法表達(dá)無限循環(huán)的二進(jìn)制數(shù)的，畢竟計(jì)算機(jī)的資源是有限。

因此，計(jì)算機(jī)只能用「近似值」來表示該二進(jìn)制，那么意味著計(jì)算機(jī)存放的小數(shù)可能不是一個(gè)真實(shí)值，現(xiàn)在基本都是用 IEEE 754 規(guī)范的單精度浮點(diǎn)類型或雙精度浮點(diǎn)類型來存儲(chǔ)小數(shù)的，根據(jù)精度的不同，近似值也會(huì)不同。

那計(jì)算機(jī)是存儲(chǔ) 0.1 是一個(gè)怎么樣的二進(jìn)制浮點(diǎn)數(shù)呢？偷個(gè)懶，我就不自己手動(dòng)算了，可以使用 binaryconvert 這個(gè)工具，將十進(jìn)制 0.1 小數(shù)轉(zhuǎn)換成 float 浮點(diǎn)數(shù)：

可以看到，8 位指數(shù)部分是?01111011，23 位的尾數(shù)部分是?10011001100110011001101，可以看到尾數(shù)部分是?0011?是一直循環(huán)的，只不過尾數(shù)是有長(zhǎng)度限制的，所以只會(huì)顯示一部分，所以是一個(gè)近似值，精度十分有限。

接下來，我們看看 0.2 的 float 浮點(diǎn)數(shù)：

可以看到，8 位指數(shù)部分是?01111100，稍微和 0.1 的指數(shù)不同，23 位的尾數(shù)部分是 10011001100110011001101 和 0.1 的尾數(shù)部分是相同的，也是一個(gè)近似值。

0.1 的二進(jìn)制浮點(diǎn)數(shù)轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制的結(jié)果是?0.100000001490116119384765625：

0.2 的二進(jìn)制浮點(diǎn)數(shù)轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制的結(jié)果是?0.20000000298023223876953125：

這兩個(gè)結(jié)果相加就是?0.300000004470348358154296875：

所以，你會(huì)看到在計(jì)算機(jī)中 0.1 + 0.2 并不等于完整的 0.3，這主要是因?yàn)橛械男?shù)無法可以用「完整」的二進(jìn)制來表示，所以計(jì)算機(jī)里只能采用近似數(shù)的方式來保存，那兩個(gè)近似數(shù)相加，得到的必然也是一個(gè)近似數(shù)。

我們?cè)?JavaScript 里執(zhí)行 0.1 + 0.2，你會(huì)得到下面這個(gè)結(jié)果：

結(jié)果和我們前面推到的類似，因?yàn)?JavaScript 對(duì)于數(shù)字都是使用 IEEE 754 標(biāo)準(zhǔn)下的雙精度浮點(diǎn)類型來存儲(chǔ)的，而我們二進(jìn)制只能精準(zhǔn)表達(dá) 2 除盡的數(shù)字 1/2, 1/4, 1/8，但是例如 0.1(1/10) 和 0.2(1/5)，在二進(jìn)制中都無法精準(zhǔn)表示時(shí)，需要根據(jù)精度舍入。

我們?nèi)祟愂煜さ氖M(jìn)制運(yùn)算系統(tǒng)，可以精準(zhǔn)表達(dá) 2 和 5 除盡的數(shù)字，例如1/2, 1/4, 1/5(0.2), 1/8, 1/10(0.1)。當(dāng)然，十進(jìn)制也有無法除盡的地方，例如 1/3, 1/7，也需要根據(jù)精度舍入。

總結(jié)

最后，再來回答開頭多問題。

為什么負(fù)數(shù)要用補(bǔ)碼表示？

負(fù)數(shù)之所以用補(bǔ)碼的方式來表示，主要是為了統(tǒng)一和正數(shù)的加減法操作一樣，畢竟數(shù)字的加減法是很常用的一個(gè)操作，就不要搞特殊化，盡量以統(tǒng)一的方式來運(yùn)算。

十進(jìn)制小數(shù)怎么轉(zhuǎn)成二進(jìn)制？

十進(jìn)制整數(shù)轉(zhuǎn)二進(jìn)制使用的是「除 2 取余法」，十進(jìn)制小數(shù)使用的是「乘 2 取整法」。

計(jì)算機(jī)是怎么存小數(shù)的？

計(jì)算機(jī)是以浮點(diǎn)數(shù)的形式存儲(chǔ)小數(shù)的，大多數(shù)計(jì)算機(jī)都是 IEEE 754 標(biāo)準(zhǔn)定義的浮點(diǎn)數(shù)格式，包含三個(gè)部分：

• 符號(hào)位：表示數(shù)字是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，為 0 表示正數(shù)，為 1 表示負(fù)數(shù)；

• 指數(shù)位：指定了小數(shù)點(diǎn)在數(shù)據(jù)中的位置，指數(shù)可以是負(fù)數(shù)，也可以是正數(shù)，指數(shù)位的長(zhǎng)度越長(zhǎng)則數(shù)值的表達(dá)范圍就越大；

• 尾數(shù)位：小數(shù)點(diǎn)右側(cè)的數(shù)字，也就是小數(shù)部分，比如二進(jìn)制 1.0011 x 2^(-2)，尾數(shù)部分就是 0011，而且尾數(shù)的長(zhǎng)度決定了這個(gè)數(shù)的精度，因此如果要表示精度更高的小數(shù)，則就要提高尾數(shù)位的長(zhǎng)度；

用 32 位來表示的浮點(diǎn)數(shù)，則稱為單精度浮點(diǎn)數(shù)，也就是我們編程語言中的 float 變量，而用 64 位來表示的浮點(diǎn)數(shù)，稱為雙精度浮點(diǎn)數(shù)，也就是 double 變量。

0.1 + 0.2 == 0.3 嗎？

不是的，0.1 和 0.2 這兩個(gè)數(shù)字用二進(jìn)制表達(dá)會(huì)是一個(gè)一直循環(huán)的二進(jìn)制數(shù)，比如 0.1 的二進(jìn)制表示為 0.0 0011 0011 0011… （0011 無限循環(huán))，對(duì)于計(jì)算機(jī)而言，0.1 無法精確表達(dá)，這是浮點(diǎn)數(shù)計(jì)算造成精度損失的根源。

因此，計(jì)算機(jī)只能用「近似值」來表示該二進(jìn)制，那么意味著計(jì)算機(jī)存放的小數(shù)可能不是一個(gè)真實(shí)值。

0.1 + 0.2 并不等于完整的 0.3，這主要是因?yàn)檫@兩個(gè)小數(shù)無法用「完整」的二進(jìn)制來表示，所以計(jì)算機(jī)里只能采用近似數(shù)的方式來保存，那兩個(gè)近似數(shù)相加，得到的必然也是一個(gè)近似數(shù)。

最近，labuladong 的算法小抄出版了，我在昨天也收到了東哥的親手簽名版本，簡(jiǎn)直太榮幸了，被東哥照顧了下。

不得不說，東哥這本書內(nèi)容很棒，而且還沒出這本書的時(shí)候，東哥的算法小抄的 github 不到一年的時(shí)間就斬獲了近 70k star，可以說文章的內(nèi)容都是經(jīng)過萬人洗禮過的，經(jīng)得住考驗(yàn)。

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祝大家好運(yùn)！