數(shù)據(jù)的表示

在計算機中，所有的數(shù)據(jù)都是以二進制的形式進行表示的，也就是說，在計算機中使用0和1來表示所有的數(shù)據(jù)。而我們?nèi)粘Ｉ钪械臄?shù)字都是10進制的，那我們平時使用的數(shù)字如果在計算機中表示時就需要進行進制的轉(zhuǎn)換。

進制轉(zhuǎn)換

R進制轉(zhuǎn)10進制

R進制轉(zhuǎn)10進制可以使用按權(quán)展開的方法，具體的操作就是：將R進制數(shù)的每一位數(shù)值使用R^k^表示，底數(shù)是R，指數(shù)是k。其中，k與該位和小數(shù)點之間的位置有關(guān)。當(dāng)這個位置位于小數(shù)據(jù)左邊時，k的值是從小數(shù)點向左依次數(shù)的個數(shù)，需要注意的是：緊鄰小數(shù)點的數(shù)字位置為0，接下來是1,2...依次類推。同樣的，如果這個位置在小數(shù)點的右邊，則緊鄰小數(shù)據(jù)點位置的數(shù)字從-1開始，依次向右數(shù)為-2，-3等等，依此類推。

例如，我們給出一個二進制數(shù)字，11010101.01，轉(zhuǎn)換為10進制數(shù)字為：1 x 2^7^ + 1 x 2^6^ + 0 x 2^5^ + 1 x 2^4^ + 0 x 2^3^ + 1 x 2^2^ + 0 x 2^1^ + 1 x 2^0^ + 0 x 2^-1^ + 1 x 2^-2^。

注：2^7^表示2的7次方。

再比如，我們給出一個八進制數(shù)，76128.01，轉(zhuǎn)換為10進制數(shù)字為：7 x 8^4^ +6 x 8^3^ + 1 x 8^2^ + 2 x 8^1^ + 8 x 8^0^ + 0 x 8^-1^ + 1 x 8^-2^

十進制轉(zhuǎn)R進制

十進制轉(zhuǎn)R進制就比較簡單了，這里我們可以使用短除法。

例如，將十進制數(shù)字69轉(zhuǎn)換為二進制的過程如下所示。

得出短除的結(jié)果后，我們需要將余數(shù)倒過來排列即為十進制69轉(zhuǎn)換為二進制的結(jié)果，所以結(jié)果數(shù)據(jù)為：1000101。

二進制與八進制互轉(zhuǎn)

二進制轉(zhuǎn)八進制時，每三位二進制數(shù)表示一個八進制數(shù)。因為在八進制中，總共有8個基數(shù)，分別是0~7，逢8進1。而如果要使用二進制來表示時，0的二進制為000，7的二進制為111，所以，每三位二進制數(shù)對應(yīng)一位八進制數(shù)。反過來，每一位八進制數(shù)對應(yīng)三位二進制數(shù)。

具體的劃分策略是，從二進制的低位開始，從低到高，也就是從右向左，每三位二進制數(shù)對應(yīng)一個八進制數(shù)，不足三位的前面補0，例如，我們將二進制數(shù)：10001110轉(zhuǎn)化為八進制數(shù)的過程，具體如下所示。

所以，二進制數(shù)10001110轉(zhuǎn)化為八進制數(shù)的結(jié)果為216。

同理，八進制轉(zhuǎn)二進制與二進制轉(zhuǎn)八進制正好相反，八進制的每一位對應(yīng)三位的二進制數(shù)。也就是說，將八進制數(shù)的每一位轉(zhuǎn)化成三位的二進制數(shù)即可。

二進制與十六進制互轉(zhuǎn)

在十六進制表示的數(shù)字中，總共有15個基數(shù)，為0~15，逢16進1。如果要將二進制數(shù)轉(zhuǎn)化為十六進制數(shù)時，首先要弄清楚每位十六進制數(shù)需要多少為二進制數(shù)表示。在十六進制中，最大的基數(shù)為15,15的二進制表示為：1111，最小的基數(shù)為0,0的二進制數(shù)為0000，也就是說，十六進制的基礎(chǔ)使用二進制表示為 0000~1111，所以，每位十六進制數(shù)需要四位二進制數(shù)表示。

從二進制數(shù)的低位開始，也就是從右側(cè)開始，每四位二進制數(shù)對應(yīng)一位十六進制數(shù)。

例如，我們需要將二進制數(shù)10001110轉(zhuǎn)換為十六進制數(shù)，如下所示。

注意：在十六進制中，分別使用A,B,C,D,E,F代表10,11,12,13,14,15。

所以，二進制10001110轉(zhuǎn)化為十六進制的結(jié)果為8E。

十六進制轉(zhuǎn)二進制與二進制轉(zhuǎn)十六進制正好相反，將十六進制的每一位轉(zhuǎn)換為四位二進制數(shù)即可。

數(shù)據(jù)的碼制

在計算機中，帶符號的機器數(shù)可以采用原碼、反碼、補碼和移碼表示，這些編碼稱為碼制。

原碼

在原碼表示中，最高位是符號位，0表示正號，1表示負號，其余的n-1位表示數(shù)值的絕對值，數(shù)值0的原碼有兩種表示形式： 原 = 0 0000000， 原 = 1 0000000。

反碼

在反碼中，最高位是符號位，0表示正號，1表示負號，正數(shù)的反碼與原碼相同，負數(shù)的反碼是其絕對值按位取反。數(shù)值0的反碼有兩種表示形式： 反 = 0 0000000， 反 = 1 1111111。

補碼

在補碼中，最高位是符號位，0表示正號，1表示負號，正數(shù)的補碼與原碼和反碼相同，負數(shù)的補碼等于其反碼的末位加1。在補碼的表示中，0有唯一的補碼： 補 = 0 0000000， 補 = 0 0000000。

移碼

移碼表示法是在數(shù)X上增加一個偏移量來定義的，常用于表示浮點數(shù)中的階碼。如果機器字長為n，規(guī)定偏移量為 2^n-1^。

實際上，在偏移 2^n-1^的情況下，只要將補碼的符號位取反就可以獲得相應(yīng)的移碼。

碼制總結(jié)

我們來看下面的表格，這里，我直接使用八位的二進制數(shù)來表示相應(yīng)的數(shù)值。

通過表格我們發(fā)現(xiàn)：

• 正數(shù)的原碼、反碼和補碼是相同的。
• 負數(shù)的反碼是原碼除符號位外，其他位分別取反；
• 負數(shù)的補碼是其反碼的末位加1。
• 移碼是在補碼的基礎(chǔ)上符號位取反得到。

在負數(shù)的原碼和補碼的轉(zhuǎn)換中，我們可以得出如下結(jié)論：

• 負數(shù)的原碼轉(zhuǎn)補碼是在原碼的基礎(chǔ)上除符號位外，其他位取反，然后末位加1。
• 負數(shù)的補碼轉(zhuǎn)原碼是在補碼的基礎(chǔ)上除符號位外，其他位取反，然后末位加1。

也就是說，負數(shù)的原碼轉(zhuǎn)補碼和補碼轉(zhuǎn)原碼的規(guī)則是一樣的。小伙伴們可以根據(jù)表格自行驗證

計算機使用補碼進行加減法運算

我們再來看表格的最后一列 1-1，在計算機中，表示為1+(-1)，其正確的結(jié)果應(yīng)該為0。接下來，我們分別分析下使用原碼、反碼、補碼和移碼進行加減法運算的結(jié)果的正確性。

• 表格的第一行中，使用原碼計算的結(jié)果為1000 0010，轉(zhuǎn)換為10進制數(shù)為-2，1-1不等于-2，所以，使用原碼進行加減法運算的結(jié)果是錯誤的。
• 在反碼中，計算1-1的結(jié)果為1111 1111，顯然結(jié)果不為0，所以，使用反碼進行加減法運算的結(jié)果是錯誤的。
• 在補碼中，計算1-1的結(jié)果為0000 0000，結(jié)果為0，所以， 使用補碼進行加減法運算的結(jié)果是正確的。
• 在移碼中，計算1-1的結(jié)果為1000 0000，結(jié)果為-0，雖然-0也等于0，但是嚴格意義來講，這個結(jié)果是不正確的。

在計算機中，不會使用移碼進行加減法運算，移碼用于浮點數(shù)的階碼。