聲子晶體是什么?

聲子晶體是一種人工制造的結(jié)構(gòu)或材料，可對其周期性結(jié)構(gòu)或幾何屬性進(jìn)行設(shè)計，以此影響機(jī)械波的傳播特性。設(shè)計制造聲子晶體時，人們能夠在特定的頻率范圍內(nèi)隔離振動。特定頻率范圍內(nèi)，也稱為帶隙，帶隙內(nèi)的振動會因受到周期性結(jié)構(gòu)內(nèi)波干涉的影響而衰減。這一行為與一種更廣為人知的納米結(jié)構(gòu)相似，這一納米結(jié)構(gòu)便是半導(dǎo)體應(yīng)用中光子晶體。

優(yōu)化聲子晶體帶隙是一項具有挑戰(zhàn)性的任務(wù)。我們 Veryst 工程公司的研究人員發(fā)現(xiàn) COMSOL Multiphysics 正是處理這類難題的寶貴工具。

建立聲子帶隙分析

要在周期性結(jié)構(gòu)中創(chuàng)建帶隙，一種方法是使用由堅硬的內(nèi)核材料與柔軟的外部基體材料構(gòu)成的晶胞。其構(gòu)型如下圖所示。

晶胞示意圖。晶胞由堅硬的內(nèi)核材料與柔軟的外部基體材料構(gòu)成。

對聲子晶體的頻率響應(yīng)進(jìn)行計算，僅僅需要對周期性晶胞進(jìn)行分析，及利用覆蓋一定波矢范圍的布洛赫周期性邊界條件。相對較小范圍的波矢即可覆蓋所謂的不可約布里淵區(qū)(irreducible Brillouin zone，簡稱 IBZ)的邊緣。在二維矩形結(jié)構(gòu)中，IBZ(下圖所示)從 Γ 沿著 X、M 后回到 Γ。

二維正方形周期性結(jié)構(gòu)中的不可約布里淵區(qū)。

布洛赫邊界條件(一維時又稱 Floquet 周期性邊界條件)可約束周期性結(jié)構(gòu)的邊界位移，表達(dá)式如下：

其中 kF 表示波矢。源端和目標(biāo)端分別在晶胞的左右邊緣和上下邊緣各應(yīng)用一次。此類型的邊界條件可在 COMSOL Multiphysics 中獲得。由于邊界條件的性質(zhì)，我們需要一個復(fù)雜的特征值求解。系統(tǒng)方程組屬于厄密特矩陣，得出的特征值為實數(shù)，也就是假定模型是無阻尼的。COMSOL 軟件能夠自動運行計算，這一步驟因此變得輕松簡單。

我們對特征值求解分析作參數(shù)化掃描，其中一個參數(shù) k 的范圍為 0 到 3。這里，0 到 1 定義為覆蓋不可約布里淵區(qū) Γ-X 邊緣的波數(shù)，1 到 2 定義 為覆蓋 X-M 邊緣的波數(shù)，2 到 3 則定義為 M-Γ 邊緣的波數(shù)。對于每一個參數(shù)，我們將求解最低價本征頻率，然后繪制每一個 k 值時波的傳播頻率。繪圖中的帶隙代表其中不存在波傳播的區(qū)域。暫且不論復(fù)雜的晶胞模型，完成分析只需幾分鐘時間。由此可以總結(jié)，如果你以特定的帶隙位置為目標(biāo)，或者想要使帶隙寬度最大化，那么使用晶胞是一種高效的優(yōu)化手段。

執(zhí)行優(yōu)化研究

為了清晰闡釋這類應(yīng)用，我們對上圖的周期性結(jié)構(gòu)進(jìn)行了模擬，晶胞尺寸為 1 cm × 1 cm，內(nèi)核材料為 4 mm × 4 mm;基體材料的模量為 2 GPa，密度為 1000 kg/m3;內(nèi)核材料的模量則為 200 GPa，密度為 8000 kg/m3。下圖顯示 60 kHz和 72 kHz 之間禁止波傳播的頻率范圍。

選定晶胞參數(shù)的頻帶示意圖。

為了演示如何利用帶隙概念實現(xiàn)隔振，我們將模擬上述周期性結(jié)構(gòu)中的晶胞組成的“11 × 11”的晶格結(jié)構(gòu)。這些晶胞承受的激勵頻率為 67.5 kHz(帶隙中)。

該結(jié)構(gòu)用于演示帶隙中針對施加頻率的隔振。

下方動畫重點演示了晶胞結(jié)構(gòu)的振動響應(yīng)。通過結(jié)果，我們可以了解到周期性結(jié)構(gòu)能夠十分有效地將施加的振動與剩余結(jié)構(gòu)隔離開。即使減少周期性晶胞的使用數(shù)量，仍然可以很有效地隔振。

率為 67.5 kHz 時,振動響應(yīng)的動畫。

請注意，當(dāng)頻率在帶隙之外時，周期性結(jié)構(gòu)不會隔振。此時的響應(yīng)情況請參考下圖。

帶隙之外頻率的振動響應(yīng)。左圖：27 kHz。右圖：88 kHz。