引言

混沌和混沌系統(tǒng)是近代非線性科學(xué)領(lǐng)域最重要的發(fā)現(xiàn)之一?；煦缬捎谄鋵Τ踔得舾行?、類隨機(jī)性、長期不可預(yù)測性等特性被大量應(yīng)用于軍事保密通信和信息安全加密領(lǐng)域，與傳統(tǒng)的AES加密和DES加密方法比較，混沌加密具有更高的保密性和安全性。新型混沌系統(tǒng)的研究和應(yīng)用成為當(dāng)今學(xué)術(shù)界的研究熱點(diǎn)，Liu混沌系統(tǒng)是一個含有平方項的混沌系統(tǒng)，由于其參數(shù)個數(shù)少及參數(shù)范圍小影響了混沌序列的隨機(jī)性和安全性。雖然迄今學(xué)術(shù)界大量的文獻(xiàn)研究新型混沌的構(gòu)造[3,4]，或者提出改進(jìn)的混沌系統(tǒng)，但大多數(shù)只是研究混沌系統(tǒng)的基本動力學(xué)特性，很少文獻(xiàn)資料基于應(yīng)用背景研究如何添加混沌系統(tǒng)的參數(shù)個數(shù)和擴(kuò)展混沌系統(tǒng)的參數(shù)范圍等。本文基于如何添加混沌參數(shù)個數(shù)并擴(kuò)展參數(shù)范圍在Liu混沌系統(tǒng)的基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)獲得一組三維混沌方程，新型混沌方程引入了一個平方項并且添加了三個混沌參數(shù)。分析了該系統(tǒng)的基本動力學(xué)特性，包括對稱性、耗散性和穩(wěn)定性，并對系統(tǒng)進(jìn)行了Matlab仿真，給出了仿真結(jié)果。最后利用DSP處理器實(shí)現(xiàn)了該混沌系統(tǒng)，并將改進(jìn)系統(tǒng)的數(shù)字序列和Liu混沌系統(tǒng)的數(shù)字序列進(jìn)行了NIST測試，對比測試結(jié)果顯示改進(jìn)后的序列更適合應(yīng)用于加密系統(tǒng)中。

1新型混沌系統(tǒng)的提出

Liu混沌系統(tǒng)方程如式（1）所示：

式中（x，y，z）∈R3，當(dāng)b=25，k=1，c=2.5，h=4，a∈（3.5，12.5）之間變化，初值?。?.1，0.1，0.1）時，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。

為了增加參數(shù)，擴(kuò)展參數(shù)范圍，獲得更好的混沌偽偽隨機(jī)序列，在Liu系統(tǒng)的基礎(chǔ)上做了改進(jìn)，添加了一個平方項和三個混沌參數(shù)，改進(jìn)后的方程如下：

h=2，初值為（0.1，0.1，0.1）時，系統(tǒng)有混沌解，所以系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)?；煦缥訄D及其在相平面的投影如圖1～圖4所示。

2Lyapunov指數(shù)和分岔圖

系統(tǒng)參數(shù)對混沌系統(tǒng)狀態(tài)有非常大的影響，系統(tǒng)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性隨著系統(tǒng)參數(shù)的改變而變化。Lyapunov指數(shù)是衡量系統(tǒng)動力學(xué)特性的重要指標(biāo)，它表征了系統(tǒng)在相空間中相鄰軌道見收斂或發(fā)散的平均指數(shù)率。分岔圖能夠直觀反應(yīng)系統(tǒng)參數(shù)和系統(tǒng)變量的變化規(guī)律，因此系統(tǒng)的動力學(xué)特性可以通過Lyapunov指數(shù)和分插圖分析。當(dāng)固定b=25，c=8，d=0.1，k=4，g=0.1，h=2，初值為（0.1，0.1，0.1）時，Lyapunov指數(shù)隨系統(tǒng)參數(shù)a變化的指數(shù)圖譜和變量x隨參數(shù)a變化的分岔圖分別如圖5、圖6所示。

對于三維自治系統(tǒng)，當(dāng)有一個Lyapunov指數(shù)為零，其他為負(fù)時系統(tǒng)是周期的；當(dāng)兩個Lyapunov指數(shù)為零，其他為負(fù)時系統(tǒng)是擬周期的；當(dāng)有一個Lyapunov指數(shù)為正時系統(tǒng)是混沌狀態(tài)的；當(dāng)有兩個Lyapunov指數(shù)為正時系統(tǒng)是超混沌狀態(tài)的。

由圖5可發(fā)現(xiàn)，在a∈（8，10）時，系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)有一個為負(fù)，一個有時為正有時為零，一個有時為負(fù)有時為零，所以該系統(tǒng)在區(qū)間（8，10）之間不斷的在混沌、周期和擬周期之間切換；在a∈（10，21）時，系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)有兩個為負(fù)，一個為正，并且存在兩個周期窗口。由觀察發(fā)現(xiàn)Lyapunov指數(shù)圖和分岔圖的變化相對應(yīng)，所以該系統(tǒng)在區(qū)間（10，21）之間是出于混沌狀態(tài)的。

固定參數(shù)a=11，c=8，h=2，k=4，d=0.1，g=0.1，初值取為（0.1，0.1，0.1）時，Lyapunov指數(shù)隨系統(tǒng)參數(shù)b變化的指數(shù)圖譜如圖7所示，變量x隨參數(shù)b變化的分岔圖如圖8所示，系統(tǒng)參數(shù)b在區(qū)間（8.4，22.4）變化時，系統(tǒng)不斷在混沌狀態(tài)和擬周期狀態(tài)之間變化，當(dāng)b＞22.4時，系統(tǒng)是處于混沌狀態(tài)的。固定參數(shù)a=11，b=25，h=2，k=4，d=0.1，g=0.1，初值取為（0.1，0.1，0.1）時，Lyapunov指數(shù)隨系統(tǒng)參數(shù)c變化的指數(shù)圖譜如圖9所示，變量x隨參數(shù)c變化的分岔圖如圖10所示，圖5、圖7和圖9中另一條指數(shù)圖一直是負(fù)數(shù)，未在圖中顯示，系統(tǒng)參數(shù)c在區(qū)間（0，2.3）和（9，11）區(qū)間變化時，系統(tǒng)在混沌狀態(tài)和擬周期狀態(tài)間變化，當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)c∈（2.3，9）時，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。

2混沌系統(tǒng)數(shù)字化實(shí)現(xiàn)

要使連續(xù)混沌系統(tǒng)能夠在數(shù)字信號處理器中實(shí)現(xiàn)，首先要對連續(xù)混沌系統(tǒng)進(jìn)行離散化。本文采用差商逼近法對連續(xù)混沌系統(tǒng)離散化處理，差商逼近法是采用適當(dāng)?shù)牟钌瘫平鼘?dǎo)數(shù)使連續(xù)系統(tǒng)離散化的方法，由定義公式：

可得：

式中τ為離散時間間隔，所以將改進(jìn)后的三維連續(xù)混沌方程（2）離散化后表示為：

當(dāng)離散系統(tǒng)中的T足夠小時，連續(xù)混沌系統(tǒng)和其離散后的混沌系統(tǒng)序列具有相同的動力學(xué)特性。在本論文中取r=0.008,將式(5)作為循環(huán)體進(jìn)行迭代求解生成混沌實(shí)值序列，至此便完成了連續(xù)混沌系統(tǒng)的離散化處理。

由于DSP數(shù)字信號處理器具有處理速度快、可編程性強(qiáng),抗干擾性高和易于實(shí)現(xiàn)浮點(diǎn)運(yùn)算等優(yōu)點(diǎn)，所以本文選用DSP數(shù)字信號處理器對混沌系統(tǒng)離散化處理，抽取混沌實(shí)值序列每個浮點(diǎn)型數(shù)據(jù)小數(shù)點(diǎn)后第五位，并將其與0x01相與，得到連續(xù)混沌系統(tǒng)離散后的二值序列，序列波形圖輸入示波器得到輸出入圖11所示。將DSP生成的二值序列經(jīng)過數(shù)模轉(zhuǎn)換得到混沌吸引子相圖分別如圖12?圖14所示。由圖可知，DSP生成的混沌信號在相同的系統(tǒng)參數(shù)和初值下和Matlab仿真結(jié)果相吻合，實(shí)現(xiàn)了混沌系統(tǒng)的數(shù)字化。

4混沌數(shù)字序列性能分析

隨機(jī)序列性能測試程序包(StatisticalTestSuite)是由美國國家技術(shù)與標(biāo)準(zhǔn)局開發(fā)推出的對隨機(jī)序列性能測試的軟件包，是目前所有隨機(jī)序列測試工具中最權(quán)威的一種。該工具從不同角度檢驗(yàn)被測序列在統(tǒng)計特性上相對于理想隨機(jī)序列的偏離程度。本文采用STS2.1.1測試軟件包對改進(jìn)系統(tǒng)的數(shù)字序列和Liu混沌系統(tǒng)的數(shù)字序列進(jìn)行測試，測試結(jié)果如表1所示。

NIST偽隨機(jī)序列發(fā)生器的隨機(jī)性測試標(biāo)準(zhǔn)共包含15項核心測試，序列測試通過率(PROPORTION)是反應(yīng)序列測試通過的百分比，是衡量序列性能的重要指標(biāo)，對比測試結(jié)果可知改進(jìn)后的混沌系統(tǒng)的序列每一項測試通過率都高于Liu混沌系統(tǒng)的序列，表明改進(jìn)后的序列通過序列測試的百分比更高，性能更優(yōu)。序列的均勻分布率測試(P-VALUE)中頻率測試是測試序列中0和1出現(xiàn)的概率是否和隨機(jī)序列0和1出現(xiàn)的概率相等，若測試是隨機(jī)的則0和1是等概率出現(xiàn)的，對比測試結(jié)果改進(jìn)后的序列的0和1出現(xiàn)的概率更隨機(jī)，分塊頻率測試(BlockFrequency)是測試M-bits塊中1出現(xiàn)的概率是否近似等于1/2，由測試結(jié)果發(fā)現(xiàn)改進(jìn)后的序列測試值更接近1/2。綜上所述改進(jìn)后的序列隨機(jī)性口更優(yōu)，更適合應(yīng)用于加密領(lǐng)域。

5結(jié)語

本文在Liu系統(tǒng)的基礎(chǔ)上提出了一個新型混沌系統(tǒng)方程，利用Matlab分析了系統(tǒng)參數(shù)對混沌系統(tǒng)狀態(tài)的影響，得出了在特定系統(tǒng)參數(shù)范圍內(nèi)系統(tǒng)是處于混沌狀態(tài)的，并且分析了系統(tǒng)的分插圖和Lyapunov指數(shù)圖。然后用DSP利用實(shí)現(xiàn)了混沌系統(tǒng)的數(shù)字化，其與連續(xù)混沌的Matlab仿真結(jié)果一致。最后分析了混沌系統(tǒng)產(chǎn)生的數(shù)字序列對其進(jìn)行NIST測試，測試結(jié)果表明序列性能良好，改進(jìn)后的混沌序列更適合應(yīng)用于混沌加密系統(tǒng)。

20211223_61c4501acf438__一種新型混沌系統(tǒng)及其DSP實(shí)現(xiàn)