引言

并聯(lián)機(jī)床有著高剛度、高精度、低慣性等特點(diǎn),它優(yōu)化的關(guān)鍵在于如何擴(kuò)大其工作空間或提高靈活性[l-2],因此設(shè)計(jì)并聯(lián)機(jī)床應(yīng)注重確定工作空間的大小及提高機(jī)床整體的靈活性。傳統(tǒng)的優(yōu)化方法通常會(huì)忽略各子系統(tǒng)之間的相互耦合關(guān)系而出現(xiàn)設(shè)計(jì)缺陷影響實(shí)際使用。多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化(MultidiSciplinaryDeienandgptimization,MDg)是一種充分探索子系統(tǒng)相互作用的復(fù)雜系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法論,其基本原理是通過探索和利用系統(tǒng)中相互作用的協(xié)同機(jī)制,利用多目標(biāo)策略和計(jì)算機(jī)輔助技術(shù)來設(shè)計(jì)復(fù)雜系統(tǒng)及其子系統(tǒng),可以有效縮短設(shè)計(jì)周期,獲取系統(tǒng)整體最優(yōu)性能。本文在滿足加工工作空間要求的前提下,以并聯(lián)機(jī)床的工作空間的靈活性為目標(biāo)函數(shù),以五個(gè)結(jié)構(gòu)參數(shù)作為設(shè)計(jì)變量,對(duì)并聯(lián)機(jī)床的結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì),所采用的多學(xué)科優(yōu)化方法比起傳統(tǒng)的遺傳算法不僅收斂速度更快,而且得到的結(jié)果也更優(yōu),從而證實(shí)了多學(xué)科優(yōu)化方法明顯優(yōu)于傳統(tǒng)的遺傳優(yōu)化方法。

1并聯(lián)機(jī)構(gòu)的靈活性指標(biāo)

提出基于雅可比(Jacobian)矩陣的用于并聯(lián)機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)的靈活性指標(biāo),條件指數(shù)為:

該指標(biāo)要求沿各方向的映射放大倍數(shù)相差無幾,所以在機(jī)床設(shè)計(jì)時(shí),應(yīng)使雅可比矩陣的條件數(shù)在操作的范圍內(nèi)盡量為較小值。

全局條件數(shù)是衡量整個(gè)工作空間內(nèi)的雅可比矩陣的條件數(shù),定義為:

式中,w為并聯(lián)機(jī)構(gòu)的整個(gè)工作空間。

并聯(lián)機(jī)床的工作空間復(fù)雜,無法直接得到工作空間的解析式,可以采取近似方法得到其數(shù)值,步驟如下:

(1)可以定義一個(gè)半徑為r,高度為h,最小可達(dá)章動(dòng)角為8min的圓柱體的工作空間,在圓柱體內(nèi)任意選取一定量的點(diǎn),表示為N。

(2)計(jì)算所有選取點(diǎn)的雅可比矩陣的條件數(shù),并將條件數(shù)的倒數(shù)相加,即:

(3)全局條件數(shù)可以用S乘以圓柱體的體積再除以所選的點(diǎn)數(shù)N,即:

2并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)分析

如圖l所示,上平臺(tái)建立動(dòng)坐標(biāo)系0'-X'y'Z',下平臺(tái)建立坐標(biāo)系0-XyZ,定平臺(tái)的半徑為R,動(dòng)平臺(tái)的半徑為r,定平臺(tái)到工作臺(tái)的距離為H,Zbl0'b6=。b,ZBl0B6=。B:6-SPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)如圖2所示,以Li表示第i條支路兩較之間的矢量。

式中,0bi與0Bi分別表示較點(diǎn)bi和Bi在固定坐標(biāo)系中的矢量。用ni表示沿Li的單位向量:

式中,1i為第i桿的長(zhǎng)度。

用Vbi,Abi表示活動(dòng)平臺(tái)的較鏈點(diǎn)bi的速度和加速度。因?yàn)?

取上式的兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得:

再對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得:

于是,第i桿的輸入速度和加速度可以表示為:

寫成矩陣形式為:

另一方面,由圖2可知,動(dòng)平臺(tái)上的較鏈點(diǎn)的速度vbi可由平臺(tái)的角速度О=(ОX,Оy,ОZ)T和動(dòng)平臺(tái)原點(diǎn)P的速度v=(vX,vy,vZ)T求得:

式中,Ri為動(dòng)坐標(biāo)系原點(diǎn)到平臺(tái)上較鏈點(diǎn)bi的位置向量。

對(duì)于全部6根桿,有:

簡(jiǎn)記為:

Jacobian矩陣為:

3并聯(lián)機(jī)構(gòu)的多學(xué)科優(yōu)化

設(shè)定小400mm×l50mm的工作空間,以全局條件數(shù)j作為結(jié)構(gòu)參數(shù)設(shè)計(jì)的靈活性指標(biāo)。因此,最小化目標(biāo)函數(shù)可以表示為:

其中

先在Matlab中編程,其中N=l000,然后集成到iSight中,初始值X=[600,220,30,90,1300],并選用連續(xù)二次規(guī)劃優(yōu)化方法和混合整型優(yōu)化,其他采用默認(rèn)設(shè)置。共運(yùn)行29次,運(yùn)行時(shí)間為240S。遺傳算法種群個(gè)數(shù)為1000,變異和交叉概率分別為為0.08、0.8,運(yùn)行時(shí)間為392S。

運(yùn)行結(jié)果如表1所示。

圖3為多學(xué)科優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)值與迭代次數(shù)圖。

由上可知,多學(xué)科優(yōu)化方法不僅收斂速度快,而且得到的結(jié)果更理想。

4結(jié)語

多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化(MultidiSciplinaryDeSignand Optimization,MDO)相比傳統(tǒng)設(shè)計(jì)方法,考慮了學(xué)科間耦合設(shè)計(jì),更加貼切問題的實(shí)質(zhì),同時(shí)采用多目標(biāo)機(jī)制平衡學(xué)科間影響,探索出整體最優(yōu)解,避免了串行重復(fù)設(shè)計(jì),并通過并行設(shè)計(jì)有效縮短設(shè)計(jì)周期,是設(shè)計(jì)優(yōu)化復(fù)雜工程系統(tǒng)的有效方法。本文在滿足加工工作空間要求的前提下,以并聯(lián)機(jī)床的工作空間的靈活性為目標(biāo)函數(shù),以五個(gè)結(jié)構(gòu)參數(shù)作為設(shè)計(jì)變量,對(duì)并聯(lián)機(jī)床的結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)。由運(yùn)行結(jié)果可知,多學(xué)科優(yōu)化方法比起傳統(tǒng)的遺傳算法不僅收斂速度更快,而且得到的結(jié)果也更優(yōu),從而證實(shí)了多學(xué)科優(yōu)化方法明顯優(yōu)于傳統(tǒng)的遺傳優(yōu)化方法。