引言

濾波器按處理信號(hào)類型分為模擬濾波器(Ana1ogFF1ter)和數(shù)字濾波器(DFgFta1FF1ter)。模擬濾波器用模擬電路實(shí)現(xiàn),數(shù)字濾波器用計(jì)算機(jī)、數(shù)字芯片進(jìn)行相關(guān)數(shù)字處理,通過一定運(yùn)算關(guān)系改變輸入信號(hào)的頻譜分布[1]。模擬濾波器由于處理信號(hào)范圍大,不需要運(yùn)算資源,一般作為信號(hào)采集處理的前級(jí),消除噪聲、干擾,為后級(jí)采集提供需要頻段的信號(hào)輸入,多采用硬件電路直接實(shí)現(xiàn),是信號(hào)監(jiān)測(cè)、控制設(shè)備必需的硬件電路,應(yīng)用極為廣泛。

對(duì)一些干擾嚴(yán)重或有用信號(hào)微弱的場(chǎng)合,需要高階模擬濾波器消除干擾,提高采集的信噪比,而高階濾波器參數(shù)很多,計(jì)算非常復(fù)雜,難以與設(shè)計(jì)指標(biāo)要求精確對(duì)應(yīng)。因此,本文主要研究設(shè)計(jì)一套簡(jiǎn)便的計(jì)算方法,并能通過計(jì)算機(jī)自動(dòng)計(jì)算,提高設(shè)計(jì)的自動(dòng)化水平,以便快捷地設(shè)計(jì)出精準(zhǔn)的高階模擬濾波器。

1模擬濾波器

1.1模擬濾波器分類

僅由無源器件(電容、電感、電阻)組成的濾波電路,稱為無源濾波器:由無源器件和有源器件(晶體管、M0s管、運(yùn)算放大器等)組成的濾波電路,稱為有源濾波器。無源濾波器由于其通帶放大倍數(shù)和截止頻率隨負(fù)載變化,往往不符合信號(hào)處理要求[2],為了精確進(jìn)行信號(hào)濾波去噪,多采用有源濾波器。

1.2模擬濾波器的傳遞函數(shù)

要精確分析有源濾波器,需要通過"拉氏變換"求取輸出量Uo(S)與輸入量UF(S)之比,即傳遞函數(shù)丑(S),其形式如下:

式中:S為拉氏變量:αj和bj為網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)參數(shù)確定的實(shí)常數(shù)。

線性網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定條件:bi>0,n≥m。n為階數(shù),階數(shù)越大,通帶外衰減越快。

根據(jù)傳遞函數(shù)理論,對(duì)于實(shí)系數(shù)的傳遞函數(shù),式(1)可以改寫為:

式(2)中,M或N為奇數(shù)時(shí),會(huì)出現(xiàn)其對(duì)應(yīng)二次分式退化為一次分式的情況,即αi2或bj2為0。該式表明任何復(fù)雜的濾波網(wǎng)絡(luò)都可以等效為多個(gè)簡(jiǎn)單的一階和二級(jí)濾波器級(jí)聯(lián)[3]。

根據(jù)傳遞函數(shù)不同,模擬濾波器常用的有巴特沃茲(Butterworth)型濾波器、切比雪夫(Chebyshev)型濾波器和橢圓型(E11FptFc)濾波器[3]。巴特沃茲型濾波器由于其通帶內(nèi)比較平坦,不像其他濾波器通帶紋波起伏較大,且計(jì)算簡(jiǎn)單,實(shí)現(xiàn)方便,因此應(yīng)用最為廣泛。

巴特沃茲低通濾波器幅度平方函數(shù)如下:

式中:-丑(jo)-為信號(hào)幅值:o為角頻率:oc為截止角頻率:n為濾波器階數(shù)。

巴特沃茲高通濾波器幅度平方函數(shù)如下:

1.3模擬濾波器的指標(biāo)要求

模擬低通濾波器的工程技術(shù)指標(biāo)如圖1所示,圖中op為通帶上限截止頻率,os為阻帶下限頻率。

設(shè)通帶最大允許衰減為ap,阻帶最小允許衰減為as,其定義如下:

2模擬濾波器設(shè)計(jì)

一個(gè)低通模擬濾波器就是根據(jù)op、os、ap、as確定濾波器的傳遞函數(shù),然后根據(jù)傳遞函數(shù)分解為多個(gè)一階、二階濾波器的級(jí)聯(lián)。由于有源一階、二階濾波器形式比較固定,一般由運(yùn)放和電阻、電容等器件組成,這些簡(jiǎn)單的濾波器就可以根據(jù)確定的傳遞函數(shù)按圖索驥確定阻容參數(shù),從而搭建出來。

高通濾波器類似,也是由op、os、ap、as確定濾波器的傳遞函數(shù),并確定級(jí)聯(lián)低階濾波器的。而帶通濾波器則是由低通和高通濾波器級(jí)聯(lián),只要分別設(shè)計(jì)低通和高通濾波器即可。

2.1歸一化設(shè)計(jì)思想

為簡(jiǎn)化計(jì)算,需要用到歸一化設(shè)計(jì)的思想。頻率歸一化是指將所有頻率都除以基準(zhǔn)頻率,即濾波器截止頻率,并將|H(j0)|歸一化到1,則得到Ha(*),即歸一化后的濾波器頻率響應(yīng)函數(shù):

計(jì)算實(shí)際電路參數(shù)時(shí)需要將歸一化頻率乘以截止頻率,進(jìn)行反歸一化。

2.2確定濾波器階數(shù)和截止頻率

首先根據(jù)低通濾波器工程指標(biāo)要求確定階數(shù)n,n滿足下式并需要向上取整:

如果要計(jì)算高通濾波器,式(9)中分母變?yōu)閛p/os。

再求取截止頻率oc,取下面兩個(gè)式子中計(jì)算的較小值:

如果要計(jì)算高通濾波器,上面兩式中的-1/2n應(yīng)改寫為1/2n,同樣是取計(jì)算出的較小值作為截止頻率。

2.3求Ha(s)并反歸一化處理

將s=jo代入低通巴特沃茲型濾波器公式(3),求取歸一化極點(diǎn)sk,構(gòu)造Ha(s)。

由于每次計(jì)算極點(diǎn)sk比較麻煩,一般根據(jù)階數(shù)n,Ha(s)的分母可以通過查詢巴特沃茲歸一化低通濾波器分母多項(xiàng)式系數(shù)表得到,并且分母多項(xiàng)式還可以通過查詢分母多項(xiàng)式因式分解表進(jìn)行因式分解,從而將Ha(s)的低階級(jí)聯(lián)濾波器傳遞函數(shù)求出。

求出低通濾波器的Ha(s)后需要進(jìn)行反歸一化,即將Ha(s)中的s用s/oc代替,從而得到最終的低通濾波器傳遞函數(shù)。如果求取的是高通濾波器,則將Ha(s)中的s用oc/s代替即可。

3模擬濾波器實(shí)現(xiàn)和仿真驗(yàn)證

以某高通模擬濾波器為例,詳細(xì)描述其設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)過程。該濾波器要求通帶下限為10Hz,通帶內(nèi)幅值起伏不超過2%,阻帶上限3Hz,阻帶內(nèi)需要將信號(hào)衰減到10%以內(nèi)。因此可以得到:op=10Hz,os=3Hz,ap=0.1755dB,as=20dB。

代入公式(9),求得n=3.2324,向上取整n=4,即需要4階高通濾波器才能滿足要求。

根據(jù)公式(10)和(11),求得oc=33.4777,注意計(jì)算時(shí)將公式中的-1/2n改寫為1/2n。

接著查表得到4階歸一化濾波器傳遞函數(shù)G,求出G后將G中的s用oc/s代替,即可求出真正的高通濾波器傳遞函數(shù)G0。

利用Mat1ab可以快速有效地設(shè)計(jì)出所需的濾波器[4]。為了快速求取G,可以使用Mat1ab計(jì)算,代碼如下:

根據(jù)程序求出的G求出G0。為了能夠電路實(shí)現(xiàn),還需要將G0因式分解為兩個(gè)二階濾波器級(jí)聯(lián),最終結(jié)果如下:

由此可以設(shè)計(jì)出如圖2形式的兩個(gè)二階有源高通濾波器級(jí)聯(lián),最終實(shí)現(xiàn)滿足工程指標(biāo)要求的濾波器。

計(jì)算每個(gè)二階高通濾波器中阻容參數(shù)時(shí),由于電容型號(hào)較少,可以先固定電容值并讓兩個(gè)電容值相等,再確定電阻值。計(jì)算得到的組成上面電路的一組阻容參數(shù)為:

在Mat1ab中對(duì)G0進(jìn)行仿真,得到結(jié)果如圖3所示,可以看到在39H已經(jīng)將信號(hào)衰減到-204B,在109H以上通帶內(nèi)信號(hào)起伏不超過0.02774B,滿足指標(biāo)要求。

根據(jù)本設(shè)計(jì)選擇高精度阻容搭建電路,經(jīng)驗(yàn)證濾波指標(biāo)誤差不超過2z,滿足工程設(shè)計(jì)要求。

4結(jié)論

模擬濾波器是信號(hào)監(jiān)測(cè)、控制等領(lǐng)域不可或缺的前端去噪方法,一般用硬件電路實(shí)現(xiàn),其中巴特沃茲型濾波器應(yīng)用較為廣泛。本文總結(jié)了設(shè)計(jì)和采用電路實(shí)現(xiàn)高階巴特沃茲型濾波器的方法,首先根據(jù)工程設(shè)計(jì)指標(biāo)確定其階數(shù),并求取其傳遞函數(shù),經(jīng)高階傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)換為多個(gè)低階傳遞函數(shù)級(jí)聯(lián),并分別選取合適的運(yùn)放和阻容等器件實(shí)現(xiàn)。通過設(shè)計(jì)實(shí)例仿真和電路測(cè)試,證實(shí)了設(shè)計(jì)的正確性和精準(zhǔn)性,能夠?yàn)楦咝阅軓?fù)雜模擬濾波器設(shè)計(jì)提供參考。