添加到示波器或數(shù)字化儀的快速傅立葉變換 (FFT) 可以測量所采集信號的頻域頻譜。這提供了一個不同且通常有用的視角;信號可以被視為幅度或相位與頻率的關(guān)系圖(圖 1)。

圖 1 100 MHz 正弦波的幅度 FFT 是位于 100 MHz 處的單條譜線。脈沖幅度為 150 mV，與輸入正弦波的峰值幅度匹配。

有許多因素會影響 FFT 垂直讀數(shù)，包括輸出類型的選擇、FFT 處理問題、信號持續(xù)時間和非 FFT 儀器特性。本文將重點(diǎn)討論這些問題。

FFT垂直輸出格式

FFT 計(jì)算基于離散傅里葉變換 (DFT)，如下式所示：

其中：

X(k) = 頻域點(diǎn)

x(n) = 時域樣本

n = 時間樣本索引

k = 頻點(diǎn)索引

N = 記錄中輸入樣本的數(shù)量

傅里葉變換的物理解釋是輸入樣本 x(n) 通過乘以方程中復(fù)指數(shù) e -jπkn/N表示的一系列正弦曲線來測試。在每個測試頻率，對產(chǎn)品進(jìn)行平均。僅當(dāng)輸入具有測試頻率的能量時，結(jié)果才非零。

這是一個數(shù)學(xué)上復(fù)雜的方程，每個輸出點(diǎn)都有兩個元素。計(jì)算通常計(jì)算每個輸出點(diǎn)的實(shí)部和虛部。根據(jù)計(jì)算出的實(shí)部和虛部 FFT 輸出分量，可以以多種格式顯示輸出。

FFT 原生輸出數(shù)據(jù)類型實(shí)部 (R) 和虛部 (I) 均以伏特為單位表示，所有其他格式均源自它們：

線性幅度(伏特)= (R 2 +I 2 ) 1/2

幅度平方(伏特2)= R 2 +I 2

相位(弧度)= TAN -1 (I/R)

功率譜(dBm) = 10*Log 10 {(R 2 +I 2 )/1 mW)}

功率譜密度(dBm/Hz) = 10*Log 10 {(R 2 +I 2 )/(1mW*Δf*ENBW)}

其中：

R = FFT 的實(shí)部

I = FFT 的虛部

Δf = 分辨率帶寬

ENBW = 有效噪聲帶寬，取決于權(quán)重

不同的示波器供應(yīng)商可能會提供這些 FFT 輸出格式的各種組合，并且可能會以不同的方式縮放它們。在此示例中，基于Teledyne LeCroy 的 Maui Studio應(yīng)用程序(該應(yīng)用程序模擬了許多示波器)，F(xiàn)FT 可用這五種格式以及本機(jī)實(shí)數(shù)和虛數(shù)格式。

圖 1 中顯示的線性幅度格式按均方根值計(jì)算，但按比例縮放以將頻譜幅度讀取為峰值伏特，以便頻譜線的峰值幅度與輸入正弦波的峰值幅度相匹配。

功率譜格式刻度為對數(shù)，值以相對于毫瓦 (dBm) 的分貝為單位。功率譜密度將功率譜值歸一化為有效分辨率帶寬，使其值不隨分析帶寬的變化而變化。它以 dBm/Hz 為單位表示。

影響FFT垂直輸出的FFT處理因素

FFT 產(chǎn)生的頻譜是離散的;它僅在 k 個均勻間隔的頻率值處具有有效的幅度數(shù)據(jù)。 FFT 輸出的離散特性可能會在解釋頻譜幅度時造成一些混亂。您可能會認(rèn)為 FFT 輸出是輸入通過一組帶通濾波器的結(jié)果，這些帶通濾波器的中心頻率偏移固定的頻率增量，有時被描述為 FFT bin 寬度或分辨率帶寬。如果輸入信號頻率落在這些帶通濾波器之一的中心，則輸出端會顯示完整的輸出幅度。如果輸入信號頻率落在兩個帶通濾波器中心頻率之間，則幅度會較低(圖 2)。

FFT 的分辨率帶寬是輸入信號持續(xù)時間的倒數(shù)。在我們的示例中，輸入時間信號的持續(xù)時間為 5 μs，分辨率帶寬為 200 kHz。將輸入頻率精確設(shè)置為 50 MHz，使信號位于分辨率帶寬的中心，并且頻譜峰值的幅度為 150 mV。

圖 2 FFT 輸出的展開視圖顯示了輸入頻率以分辨率帶寬一半的增量變化時的幅度響應(yīng)。

將輸入頻率更改為 50.1 MHz 將兩個濾波器之間的輸入信號置于 50.0 MHz 和 50.2 MHz 之間。能量在兩個濾波器之間分配，峰值幅度降至 95.6 mV，損失 3.9 dB。以 100 kHz 為增量步進(jìn)頻率，可以看到 FFT 輸出幅度上升和下降。這稱為“柵欄”效應(yīng)或“扇貝”損失，它出現(xiàn)在所有 FFT 計(jì)算中。

當(dāng)輸入頻率變化時出現(xiàn)的另一個問題可以通過查看圖 3中的 FFT 基線更容易看出。除了較低的峰值幅度之外，在單元之間移動輸入頻率也會擴(kuò)展并提高頻譜基線。當(dāng)頻率為 50.0 MHz 時，輸入波形的起始點(diǎn)和終止點(diǎn)(以黃色顯示在左上網(wǎng)格中)處于同一電平，名義上為零伏。當(dāng)輸入頻率為 50.1 MHz 時，如左下紅色網(wǎng)格所示，起始點(diǎn)和終止點(diǎn)處于不同的級別。

FFT 計(jì)算是循環(huán)計(jì)算，最后一個點(diǎn)循環(huán)回第一個點(diǎn)，因此幅度值的變化看起來像是不連續(xù)的。這是角度調(diào)制的一種形式，由于調(diào)制邊帶而擴(kuò)展頻譜，并導(dǎo)致頻譜基線在與受激單元相鄰的頻率單元中升高;這稱為頻譜泄漏。相鄰單元中的任何信號都會與泄漏分量結(jié)合，從而改變該單元中的幅度。當(dāng)相鄰小區(qū)中的信號幅度較小時，這會導(dǎo)致最大誤差。

圖 3如果輸入頻率不是以單元為中心，則時間記錄的第一個和最后一個點(diǎn)具有不同的幅度，并且能量會擴(kuò)散或泄漏到相鄰單元中，從而改變這些單元中的幅度。

這兩種影響都可以通過對信號輸入進(jìn)行幅度調(diào)制來抵消，從而迫使端點(diǎn)為零幅度。這個過程稱為加權(quán)，調(diào)制波形稱為加權(quán)窗口。窗函數(shù)的形狀決定了頻譜響應(yīng)，包括頻譜線的形狀和任何邊帶的幅度。常用加權(quán)函數(shù)的特點(diǎn)如表1所示。

表1常用FFT加權(quán)(窗)函數(shù)的特點(diǎn)

FFT窗函數(shù)特點(diǎn)

窗式最高旁瓣 (dB)扇貝損耗 (dB)有效噪聲帶寬(單元)相干增益(dB)

長方形(無)-133.921.000.0

馮·漢恩 (Hanning)-321.421.50-6.02

漢明-431.781.37-5.35

平頂-440.013.43-11.05

布萊克曼·哈里斯-671.131.71-7.53

該表總結(jié)了每個窗口最小化旁瓣和扇貝損失的能力。請注意，有效噪聲帶寬 (ENBW) 拓寬了 FFT 濾波器單元的寬度。細(xì)胞越寬，扇貝損失越少。圖 2 所示的 3.9 dB 損耗(使用矩形加權(quán))可以通過使用平頂加權(quán)降低至 0.01 dB。

另請注意，由于頻譜泄漏，應(yīng)用加權(quán)會降低旁瓣幅度。相干增益是應(yīng)用加權(quán)函數(shù)時幅度的變化。大多數(shù)示波器供應(yīng)商都會補(bǔ)償這種衰減，以便更改所選的加權(quán)函數(shù)不會改變顯示的信號幅度。

圖 4顯示了窗函數(shù)對同一輸入信號的譜線產(chǎn)生的影響。

圖 4加權(quán)窗口的選擇會影響 FFT 單元頻率響應(yīng)的形狀。較窄的窗口可產(chǎn)生更好的頻率分辨率，而較寬的窗口可減少扇貝損耗和頻譜泄漏。

譜線變寬，如 ENBW 所示。更廣泛的響應(yīng)減少了扇貝損失，這是有道理的，因?yàn)橄噜弳卧械男盘枌⒁愿叩姆戎丿B以獲得更廣泛的響應(yīng)，從而最大限度地減少扇貝損失。加權(quán)函數(shù)還影響旁瓣的幅度。在沒有加權(quán)的情況下，最高旁瓣比頻譜峰值低 -13 dB。加權(quán)函數(shù)可通過 Blackman-Harris 加權(quán)函數(shù)將其降低至 -67 dB。

窗函數(shù)的選擇取決于用戶的需要。如果您測量的瞬態(tài)小于采集窗口，則不應(yīng)使用窗函數(shù)，因?yàn)轭l譜峰值的幅度將根據(jù)瞬態(tài)在采集窗口中的位置而變化。在這種情況下，矩形窗口(無加權(quán))是最佳選擇。較窄的窗口響應(yīng)可提供更好的頻率分辨率，而較寬的響應(yīng)(Blackman Harris 或平頂)可產(chǎn)生更準(zhǔn)確的幅度測量。如果您兩者都需要，那么馮漢恩或漢明加權(quán)是一個很好的折衷方案。大多數(shù)示波器使用 Von Hann 或 Hanning 加權(quán)作為默認(rèn)加權(quán)窗口。

頻率響應(yīng)和幅度平坦度

影響 FFT 垂直輸出電平的另一個問題是示波器或數(shù)字化儀前端的頻率響應(yīng)和幅度平坦度。請記住，信號幅度將在儀器帶寬下衰減 1 或 3 dB，具體取決于制造商的帶寬規(guī)格。此外，大多數(shù)供應(yīng)商都有頻率響應(yīng)平坦度的規(guī)范。該值通常約為 0.25 至 1.0 dB。對于特定的設(shè)置，平坦度通常是可重復(fù)的并且可以校正。使用的任何探頭也可能影響儀器的頻率響應(yīng)平坦度。

信號持續(xù)時間對 FFT 峰值幅度的影響

如果輸入信號持續(xù)時間小于完整輸入記錄長度，它也會影響 FFT 的幅度。請記住，F(xiàn)FT 的線性幅度基本上是 rms 計(jì)算，預(yù)計(jì)幅度將與相對于輸入記錄長度的輸入信號占空比成正比。圖 5顯示了對具有六個不同持續(xù)時間的信號的 FFT 峰值幅度響應(yīng)。

圖 5顯示了信號持續(xù)時間對 FFT 峰值幅度響應(yīng)的影響。

左上方網(wǎng)格中的 M1 跡線顯示了 150 mV 峰值輸入信號，填充了 500 ns 輸入記錄長度;這是參考信號。該網(wǎng)格下方是信號的 FFT，顯示峰值幅度為 150 mV。跡線 M3(左欄下方的第三個網(wǎng)格)顯示信號持續(xù)時間減少至 400 ns 或可用記錄長度的 80%。該跡線下方是峰值幅度為 120 mV 的 FFT。信號持續(xù)時間是輸入記錄長度的 80%，峰值 FFT 響應(yīng)是整個持續(xù)時間信號的 80%。信號持續(xù)時間以輸入記錄長度的 60%、40%、20% 和 10% 為步長減少，峰值 FFT 響應(yīng)呈線性變化。

FFT 垂直或幅度響應(yīng)受到許多因素的影響，在使用 FFT 時應(yīng)牢記這些因素。它與輸入信號電平成正比。輸入信號鏈中頻率響應(yīng)變化引起的輸入電平變化會導(dǎo)致 FFT 幅度響應(yīng)變化。當(dāng)信號不在 FFT 頻率單元的中心時，輸入信號的頻率可能會導(dǎo)致由扇貝損耗和頻譜泄漏產(chǎn)生的 FFT 幅度變化。這種效應(yīng)與頻率相關(guān)，并且可以通過使用加權(quán)來改善。最后，F(xiàn)FT 幅度響應(yīng)受到相對于輸入記錄長度的信號持續(xù)時間的影響。