讓我們很快地回顧一下,波恩-馮-卡曼(bvk)條件通過無限復制來人為地再現(xiàn)真實晶體的周期性,以便能夠以最簡單的方式描述電子的行為,也就是說,通過吸波。準確地說,如果 U (r)是指由向量R所定位的點上的一般彭波函數(shù)所假定的值,該函數(shù)將假設由數(shù)量轉換的點上的相同值 NI AI 在哪里 NI 類1是自然整數(shù),而 I ( I = 1 , 2 ,3)定義格的基向量的三種。圖1總結了最簡單情況下的BVK過程。

圖1:有限尺寸的晶體被無限復制

在BVK框架下,我們處于理想的環(huán)境中,因為我們正在考慮由晶體離子的同樣周期分布所產(chǎn)生的周期性勢能。在物理現(xiàn)實中,主要由于雜質(zhì)(不同的原子、空缺等,局部周期性發(fā)生了違反。)。在這種情況下,解決相應的特征值問題是困難的,如果不是不可能的話。,在存在顯示局部周期性違反的勢能的情況下,將施羅定格方程進行積分。

我們順便指出,在拓撲上最簡單的情況下,這個問題是復雜的。,在單一空間維度。我們順便介紹了玩具模型 1 正是出于上述原因。我們甚至沒有解決本征值問題,因為它很乏味,考慮到在這個問題上有很多文獻 2 .為了推導圖2中所示的周期電位的唯一傳導帶,我們只考慮了哈密頓算子的矩陣表示形式。

讓我們順便指出,選擇"不對稱方波"類型的電位,或更一般地選擇分段常數(shù)函數(shù)的電位,是一種數(shù)學技巧,使施羅定格方程具有常系數(shù),因此有一個直接的解。單調(diào)的部分由解的連接條件表示,與電位的有限不連續(xù)性相對應。這些條件返回了一個先驗方程,當用數(shù)字/圖形化方法求解時,它提供了能量的特征值。

上述論點表明,同樣的數(shù)學方法(還原為一元)應該用于局部違反勢能函數(shù)的周期性。順便說一下,1932年伊戈爾塔姆 3 以這種方式工作,但很巧妙。在解決了一元問題之后,他觀察到在任意晶體中BVK只能縱向和橫向地再現(xiàn)周期性,而在剩余的方向上,我們找到了真空的分離面。更直觀地說,讓我們看看圖3,我們在圖3中畫了 X -與分離面垂直的軸 S 從真空里取出的水晶。

沿上述軸的方向在晶體內(nèi)部移動,我們發(fā)現(xiàn)離子的周期性分布,然而,這些離子突然在 S 與… X -軸。因此,我們面臨著一種突然的局部的潛在能量的破壞。然后,塔姆根據(jù)圖3的方案重新配置了單向解,展示了新的單電子能級的存在,它是由違反周期性所產(chǎn)生的。在絕緣子的具體情況下,這種情況意味著完全沿表面運輸電荷(因而也就是電流)的可能性。 S .因此名字 拓撲絕緣體 相應的電荷狀態(tài)今天稱為 塔姆州 4 .

圖2:周期性勢能

圖3:違反 X -軸方向

感應帶碎片

晶體中電子能量級帶結構的存在在物理上是顯而易見的。讓我們把一個非相對論的電子從力中分離出來;量子機械上,它的能量可以假定0到+ba之間的任何值,這個值取決于初始條件)。如果電子被束縛在原子核上,那么能量級就被量子化了。晶體只不過是許多原子的聚集體,所以我們期望在自由電子和與原子結合的電子這兩個極端情況之間有一個中間地帶。

例如,在金屬中,單個電子是自由的,它能夠不被離子捕獲,而能量譜的波段結構概括了原子系統(tǒng)的特征,即由間隙隔開的單個能量帶代表了與原子核結合的電子的量子級。

也就是說,我們證明BVKS將晶體的能量帶分解成一組離散的水平。重要的是要注意到,這并不是一個物理意義上的量化,而只是一個數(shù)學技巧。實際上,在一元情況下,量化會違反一個關于微分方程的重要定理 5 .

在我們的玩具模型的特殊情況下,我們有一個由周期電位V(X)(圖2)產(chǎn)生的單一傳導帶,其寬度由一個非負參數(shù)C我n(具有能量的尺寸)控制,因此,VOV解讀0的極限復制了一個理想的絕緣子(一個無限高的單電池電位屏障)。我們有一個典型的半導體行為,這個參數(shù)的進一步調(diào)制模擬了金屬的電導率。讓我們迅速回顧,在這兩種情況下,電荷的運輸都是通過隧道過程進行的。

傳導帶由下列函數(shù)定義:

在哪里 ε ( k )是單電子哈密頓算子(即。,能源特征值); E 0 > 0是一個約束態(tài)的能量, A 是晶格音調(diào),而 k 是電子波的波數(shù)。我們已經(jīng)建立了好幾次(布洛赫定理),上面提到的能量特征函數(shù)是由一個與晶格具有相同周期的函數(shù)在幅度上調(diào)制的平面波:

更準確地說,調(diào)制信封 ? k ( X )內(nèi)載關于 U k ( X ),然后通過相位因子傳遞給其他細胞 EXP ( 我kx 它的動作就像一個領航波。請注意,方程(2)是布洛赫電子波的快照,因為它不包含exp類型的時間依賴性(-) 我ω ( k ) t )在哪里 ω ( k )定義傳播介質(zhì)的色散定律,用方程(1)除以減小的普朗克常數(shù)。

我們現(xiàn)在使用的是波-文-卡曼邊界條件。這涉及到分配一個偶數(shù)整數(shù) N 所以水晶的"音量"是 L = 無 ? A ,然后無限復制,在邊緣施加周期性條件:

不過, ε ( k )與第2期周期性 π/a ,所以只需將其限制在第一個布里盧因區(qū)[- π/a, π/a ]。因此:

換句話說,bvks強迫波數(shù)取離散值。此后 k 能量特征函數(shù)(2),我們有一個有限的數(shù)字 N 被允許的國家:

與…有關 l 由公式(4)給出。為了了解離散的能量水平是如何分布的,我們首先觀察到起始函數(shù) ε ( k 是均勻的,因此關于坐標軸是對稱的,在[-- π/a, 0]。這意味著, k l , 我.e., k ? N/ 2 相當于 ε ( k ),即,傳導帶的頂部。作為 l 能量水平下降,直到它們到達傳導帶的底部。其余的 k l > 0是對稱的0 k l < 0.在圖4中我們報告了 N = 10.

圖4: N = 10

在圖4中,我們選擇了一個較低的n值,用于函數(shù)(1)圖中離散級別的可視化問題。相反,在典型的現(xiàn)實描述中, N 是10個左右 8 .不過,不管 N ,國家數(shù)目 k 恰恰是 N ;它們的間隔相等,這使我們能夠定義空間中的狀態(tài)密度。 k ,詳情如下:

由于方程6概括為三維晶體,它可以改寫如下:

指數(shù)1是我們正在工作的物理空間的維度。因此,對于三維水晶,它是:

這里,V=L 3 這是水晶的體積.

坦姆-達維多夫算法

如前所述,雜質(zhì)(不同的原子,空缺)的存在可以用勢能項來建模 w ( X ? ξ )加到定期術語中 V ( X )。數(shù)量 w ( X ? ξ )是一個以…為中心的功能 ξ (雜質(zhì)存在點的橫坐標),當我們遠離它時,它很快就消失了。例如, w ( X ? ξ )以高斯為中心 ξ .或者,在我們的玩具模型電位中, w ( X ? ξ 可能是矩形脈沖。解析表達式理論上是不相關的;|給出了算法效率的必要條件。 w ( X ? ξ )| ? | V ( X ),即與周期電位相比,擾動電位的幅值必須很小。

只有在這種情況下,時間獨立攝動理論的應用 6 是允許的,只要我們知道不擾動特征函數(shù)的解析表達式,在我們的情況下,我們是布洛赫波。然而,這些表達式是未知的:我們只知道它們是調(diào)幅平面波。盡管如此,達維多夫在他的書中 7 重申塔姆在1932年進行的計算,用一個不易計算的積分替換了各州的總和。我們沒有使用連續(xù)光譜近似法來用積分來代替和(這對NVOM1是有效的,因為在這種情況下,能量水平是如此的密集,以致它們近似于連續(xù)分布)。

在我的幫助下 數(shù)學 軟件,我們做了計算 N =10區(qū)分兩個案件:1) w ( X ? ξ )是一口潛在的井;2) w ( X ? ξ 是一個潛在的障礙。第一個例子告訴我們,雜質(zhì)可以是一個正離子,以這種方式發(fā)揮吸引作用。我們的計算證實了這個假設 5 *最低水平 ε 0 "分離"產(chǎn)生了一個新的層次 W 0 ? ε 0 ,其余的大致等于未受干擾的水平。此外,從相應特征函數(shù)的行為來看,結果表明: W 0 是具有該能量的電子的約束態(tài)或定域態(tài),遵循排除原理(在圖5中,我們報告了與特征值對應的擾動特征函數(shù)的平方模塊的行為)。 W 0 ).

情況2),即在潛在屏障的情況下,最興奮的級別是"分離",現(xiàn)在沒有局部狀態(tài),相應的能量特征函數(shù)類似于浮波(圖6)。任意增加 N我們期待著以特征值為中心的非常密集的狀態(tài)的出現(xiàn),這些特征值與未受干擾的狀態(tài)"分離"。在連續(xù)光譜近似中,這相當于兩個新的波段的產(chǎn)生,這兩個波段與以前的波段之間有一個缺口。對于以潛在井為代表的雜質(zhì),我們有一個能量帶,它只呈現(xiàn)局部狀態(tài)。在潛在屏障的情況下,我們有一個"興奮"帶,也就是說,在不受干擾的傳導帶頂部,包含離角狀態(tài)。而這些正是物理上有趣的,因為它們會產(chǎn)生導電性。

圖5:擾動特征函數(shù)對應特征值的平方模量行為 W 0 .測量單位無尺寸,特征函數(shù)不規(guī)范

結論

TMAM模型的真正難點在于實現(xiàn)了一個能夠模擬晶體真空分離表面的現(xiàn)象學術語W(X---)。我們推測這樣一個術語并不存在于函數(shù)中,而是存在于分布中( 狄拉克三角函數(shù) ).

圖6:受勢能項擾動的特征函數(shù)之一的行為 w ( X ? ξ ) > 0