本文利用頻譜的 3D 模型來解密復(fù)雜的數(shù)學(xué)概念，例如希爾伯特變換和頻移特性，這些概念使得相移法得以實(shí)現(xiàn)。
本系列之前的文章介紹了生成單邊帶 (SSB) 信號的濾波法和相移法。本文將深入探討相移法，分析它如何改變輸入信號頻譜的實(shí)部與虛部。不同于之前主要從數(shù)學(xué)角度審視相移法的討論，我們將借助圖形表示來加深理解。

實(shí)信號的頻譜
考慮一個實(shí)數(shù)值的消息信號，它將被作為 SSB 波發(fā)射。實(shí)值函數(shù)的傅里葉變換呈現(xiàn)共軛對稱性，這意味著頻譜的實(shí)部是偶函數(shù)，而虛部是奇函數(shù)。圖中所示即為圖 1 的兩部分。

圖 1. 實(shí)值基帶信號頻譜的實(shí)部 (a) 和虛部 (b)。

圖 2 展示了上述頻譜的三維表示。該三維示意圖使我們能夠表示相移調(diào)制器內(nèi)不同節(jié)點(diǎn)處的頻譜。

信號頻譜的三維示意圖。

圖 2. 使用三維示意圖演示信號頻譜。

讓我們從使用該模型可視化希爾伯特變換開始。

闡釋希爾伯特變換
希爾伯特變換是相移法的核心。正如我們在前一篇文章中所學(xué)到的，它對應(yīng)于一個具有以下頻率響應(yīng)的線性濾波器：

希爾伯特變換將所有正頻率分量偏移-90度，所有負(fù)頻率分量偏移+90度，且不影響頻譜幅度。

由于希爾伯特變換將頻率分量乘以虛數(shù)單位j，因此會將實(shí)分量轉(zhuǎn)換為虛分量，反之亦然。圖3展示了圖2所示頻譜經(jīng)過希爾伯特變換后的變化。

輸入信號的頻譜、經(jīng)希爾伯特變換產(chǎn)生的空間旋轉(zhuǎn)，以及希爾伯特變換輸出信號的頻譜。

圖3. 輸入信號頻譜(a)，希爾伯特變換導(dǎo)致的象限空間旋轉(zhuǎn)(b)，希爾伯特變換輸出頻譜(c)。

由上可知，希爾伯特變換將空間的正頻部分與負(fù)頻部分分別朝相反方向旋轉(zhuǎn)90度。為避免混淆這兩部分空間旋轉(zhuǎn)的方向，我們分析幾個示例。

設(shè)點(diǎn)M(f1) = 1 + j（其中f1為正頻率），其輸入頻譜的實(shí)部與虛部均為正值。由于f1是正頻率分量，希爾伯特變換將其乘以-j，從而得到：、

由此可知，該頻點(diǎn)處的輸出應(yīng)具有正實(shí)部與負(fù)虛部。這與圖3(b)一致。

接下來考慮負(fù)頻率分量(f2)，其具有正實(shí)部與負(fù)虛部：M(f2) = 1 – j。該點(diǎn)對應(yīng)圖3(a)的負(fù)頻部分。希爾伯特變換將產(chǎn)生：

由此可知，輸出信號的實(shí)部與虛部均為正值。該結(jié)果同樣與上圖一致。

移位特性與相位調(diào)制器
理解希爾伯特變換對輸入頻譜的修正后，現(xiàn)需深化對相位調(diào)制器工作原理的認(rèn)知。為此需回顧傅里葉變換的重要特性——移位特性：時域信號乘以復(fù)指數(shù)可表述為：

其中：

x(t) 為時域信號

X(f) 為 x(t) 的傅里葉變換

ω0 為恒定頻率。

換言之，頻譜將發(fā)生恒定頻率（ω0）的偏移。

基于上述原理，現(xiàn)分析圖4所示的相位調(diào)制器框圖。

相位調(diào)制器電路

圖4. SSB相位調(diào)制法的功能框圖。

VA 和 VB 分別表示上下路徑輸出端的信號。圖中這兩點(diǎn)亦稱為節(jié)點(diǎn)A與節(jié)點(diǎn)B。

首先分析上行信號路徑。利用歐拉公式，余弦本地振蕩波 cos(ωct) 可表示為：

根據(jù)移位特性，圖4中上行乘法器將消息頻譜偏移±ωc，并將振幅幅度縮放0.5倍。其生成頻譜（未縮放幅度）如圖5(a)所示。

與此同時，輸入至下行路徑本振的正弦波可表示為：

下行路徑將消息信號的希爾伯特變換與上述復(fù)指數(shù)項(xiàng)混頻以生成VB。為直觀理解該過程，請先觀察圖5(b)所示的VB頻譜（建議在新標(biāo)簽頁打開此圖），再繼續(xù)后續(xù)分析。

圖5. 上行乘法器生成頻譜(a)，下行乘法器生成頻譜(b)，輸出加法器合成頻譜(c)。

公式6的首項(xiàng)將希爾伯特變換輸出頻譜（圖3(c)的Mh(f)）偏移至ωc中心位置，縮放因子為1/2j。除以虛數(shù)單位j對應(yīng)-90度相移，生成圖5(b)輸出頻譜的正頻部分。

除以j還會轉(zhuǎn)換實(shí)部與虛部的角色：Mh(f)的實(shí)部在節(jié)點(diǎn)B轉(zhuǎn)為虛部，虛部轉(zhuǎn)為實(shí)部。

公式6的第二項(xiàng)指數(shù)項(xiàng)將希爾伯特變換輸出頻譜偏移至-ωc，縮放因子為-1/2j = j/2。僅考慮縮放因子j時，輸出頻譜偏移+90度。在三維表示中，這等效于空間順時針旋轉(zhuǎn)一個象限。需注意：空間象限旋轉(zhuǎn)同樣會使實(shí)部虛部互換。

調(diào)制輸出頻譜
調(diào)制器電路通過疊加節(jié)點(diǎn)A與B的頻譜生成輸出信號（本例生成下邊帶信號）。若將輸出端加法器替換為減法器，則生成上邊帶。

下邊帶的振幅與極性相同，疊加后形成縮放因子為2的輸出信號（圖5(c)）。上邊帶的實(shí)部與虛部振幅相同但極性相反，疊加后相互抵消。

相位調(diào)制法的其他理解視角
本文分析了消息信號實(shí)部與虛部及其在相位調(diào)制電路中的變換。但部分相位法解釋僅考慮信號頻譜的實(shí)部。

以圖6為例（摘自Thomas H. Lee所著射頻設(shè)計經(jīng)典《CMOS射頻集成電路設(shè)計》），該圖展示了信號實(shí)部通過電路的變換過程。

僅考慮信號實(shí)部的相位法示意圖

圖6. 僅考慮輸入頻譜實(shí)部時的SSB信號相位生成法

盡管該方法簡化了電路原理說明，但完整的相位法分析應(yīng)涵蓋頻譜的實(shí)部與虛部。