解為何相位調制（PM）與頻率調制（FM）生成的波形可能近乎相同也可能截然不同——這完全取決于消息信號的性質。
盡管頻率調制（FM）和相位調制（PM）同屬角度調制范疇，兩者產生的波形卻存在差異。FM的頻偏僅取決于消息信號的幅度，而PM的頻偏則同時受消息信號幅度和頻率的影響。本文將深入探討這些差異，以深化對FM與PM波的理解。

PM波與FM波
任意消息信號的PM波與FM波可分別由公式1和公式2給出：

其中：
m(t) 表示消息信號
A_c 表示載波幅度
f_c 表示載波頻率
k_p 表示相位偏移常數
k_f 表示頻率偏移常數

正弦消息信號的調頻波與調相波
首先假設消息信號為如下正弦函數：

通過將公式1代入運算，可立即得出該消息信號的調相波表達式：隨后通過對消息信號進行積分運算導出調頻波表達式：最終生成的波形與原始消息信號可查看圖1所示。

圖1：正弦消息信號（上）、對應調相波（中）及對應調頻波（下）

需注意這些波形采用下列參數值：
f_c = 100 Hz
A_m = 1 V
f_m = 2.5 Hz
k_p = 20 rad/V
k_f = 300 Hz/V

正如本系列前文所述：當m(t)呈正斜率時調相波頻率上升，負斜率時頻率下降。為分析調頻波的頻率變化，需求解其瞬時頻率：

這里需要指出兩點：

1. 調相波頻率取決于m(t)的斜率，而調頻波頻率隨消息信號的瞬時值變化。圖1證實：當消息信號達峰值時調頻波頻率最高，信號處于谷值時頻率最低。

2. 圖1顯示：對于正弦消息信號，若未觀測原始消息信號則無法區(qū)分調相波與調頻波。但后續(xù)將證明，該結論不適用于非正弦消息信號。

瞬時頻率如何隨A_m變化？
在深入探討前，先通過上例詳細觀察瞬時頻率隨消息幅度（A_m）的變化規(guī)律。調相波的瞬時頻率可通過其瞬時角微分求得：

瞬時頻率中隨消息信號變化的部分稱為頻偏。調相波的頻偏表達式為：同理，可利用公式6給出的調頻波瞬時頻率求其頻偏：
公式8與公式9表明：調相波與調頻波的頻偏均與消息信號幅度（A_m）成正比。圖2所示波形將直觀呈現(xiàn)該關系：

圖2：上圖為A_m=1V（左）與A_m=1.25V（右）的消息信號；中圖為對應調相波；下圖為對應調頻波

圖中左列展示A_m=1V時的波形，右列為A_m=1.25V時的波形。兩組波形共用以下參數：

f_c = 100 Hz
f_m = 2.5 Hz
k_p = 20 rad/V
k_f = 300 Hz/V

通過圖2光標數據對比兩調相波的最低頻率（注：點擊圖片可查看高清大圖以便觀測）：
當A_m=1V時，根據公式10通過波形最長周期估算調相波最低頻率：

當A_m=1.25V時：頻偏比值為：

該比值接近對應消息幅度比值（1.25/1=1.25）的倒數，因此可斷定調相波頻偏與消息幅度成比例。

同理驗證調頻波頻偏與消息幅度的比例關系。取A_m=1V數據點，通過波形最長周期估算最低頻率：

當A_m=1.25V時：

頻偏比值：

f_d2 / f_d1 = 0.8 / 3.1 ≈ 0.258
該值合理趨近于預期比值1.25（對應A_m=1.25V與1V的幅度比）。

消息信號頻率的差異化影響
通過分析調頻波與調相波的頻偏表達式（公式8和9），可揭示兩者核心差異：與調頻波不同，調相波的頻偏受消息信號頻率（f_m）影響。為說明此現(xiàn)象，取兩組不同f_m值生成波形：

圖3：消息信號（上）、調相波（中）及調頻波（下）。左列：f_m=2.5Hz；右列：f_m=2Hz

由公式10可得：
當f_m=2.5Hz時，調相波頻偏為：

f_d1 = –50 Hz

當f_m=2Hz時，頻偏計算如下：

頻偏比值為：

該比值與消息信號頻率比完全一致（2/2.5 = 0.8）。

當f_m=2.5Hz時，調頻波頻偏為f_d1 = –47.09 Hz（此數值由公式13在前文算出）。當f_m=2Hz時，其頻偏為：

該結果與f_d1 = –47.09 Hz合理接近，表明調頻波頻偏不受消息頻率影響。

頻偏變化規(guī)律總結
在繼續(xù)分析前，先歸納核心結論：

1. 調頻與調相中，頻偏均與消息信號幅度（A_m）成正比（圖4所示）

圖4：消息幅度對調頻波與調相波頻偏的影響規(guī)律相同

1. 調相波頻偏還與消息頻率（f_m）成正比

2. 調頻波頻偏則不受f_m影響（圖5所示）

3. 

   
   

圖5：消息頻率對調頻波（橙）與調相波（藍）頻偏的影響對比

階躍消息信號的調頻調相波形
此前僅討論正弦消息信號的情況。若消息信號為階躍函數？圖6展示其波形：

6：階躍消息信號（上）、對應調相波（中）及調頻波（下）

圖6中消息函數在t=0.05秒處發(fā)生單位階躍躍變（0→1）：

• t<0.05秒：消息信號為0 → 未調制載波

• t>0.05秒：m(t)恒為1

中圖調相波分析（設k_p=π/2）：

• 階躍瞬間引入π/2相移

• 恒定消息信號僅改變相位不改變頻率 → 階躍后頻率不變

下圖調頻波特性：

• 單位階躍函數的積分隨時間線性增長（斜率為1）

• 載波相位參數引入(2πk_f t)項

• t>0.05秒時調頻波表達式為：

這表明階躍躍變后調頻波頻率增加了k_f。

對比圖1（正弦消息信號）與圖6的角度調制波形可見：

• 圖1中若無消息信號顯示則無法區(qū)分PM與FM波形

• 圖6中二者差異顯著
  關鍵結論：根據消息信號類型不同，調相與調頻可能生成相似或完全迥異的波形。

核心要點總結
幅度調制中，已調波包絡直接反映消息信號變化；而角度調制中，消息信號對載波的影響更為微妙，且具體作用機制因調制類型而異：

核心差異體現(xiàn)于頻偏與消息信號的關系：

• 調頻(FM)：頻偏僅受消息信號幅度影響

• 調相(PM)：頻偏同時受消息信號幅度與頻率影響

本文示例揭示了消息信號對兩類角度調制波的作用機制差異。