本文將從數(shù)學(xué)角度探討調(diào)相(PM)與調(diào)頻(FM)的關(guān)系，闡述如何利用調(diào)相調(diào)制器生成調(diào)頻信號（反之亦然）。角度調(diào)制技術(shù)分為調(diào)相(PM)與調(diào)頻(FM)兩類：本系列前文通過波形實(shí)例解析了信息信號對調(diào)相波的影響，接下來我們將從數(shù)學(xué)層面拓展討論范圍，建立兩種調(diào)制的瞬時(shí)頻率表征模型。

通過瞬時(shí)頻率概念，我們將構(gòu)建兩類信號的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而揭示兩種角度調(diào)制形式的內(nèi)在關(guān)聯(lián)。研究表明：調(diào)相與調(diào)頻具有高度關(guān)聯(lián)性，只需添加輔助電路即可實(shí)現(xiàn)調(diào)制器交叉生成另一種調(diào)制信號。

調(diào)相波：相位與頻率的數(shù)學(xué)關(guān)系
角度調(diào)制信號可表征為具有恒定振幅的正弦函數(shù)，其輻角θi隨傳輸?shù)男畔⑿盘栕兓?/span>

我們將θi稱為瞬時(shí)角度或瞬時(shí)相位。在調(diào)相(PM)中，瞬時(shí)角度隨信息信號線性變化：

其中：
fc 表示載波頻率
kp 為比例常數(shù)
m(t) 代表信息信號

圖1展示了由正弦信息信號生成的調(diào)相波：載波頻率fc=80 Hz，比例常數(shù)kp=25 rad/V。

圖1. 正弦信息信號（上圖）及其對應(yīng)的調(diào)相波（下圖）。

如圖所示，信息波形的下降沿導(dǎo)致輸出頻率降低，而上升沿則使輸出頻率升高。前文已通過多個實(shí)例說明信息信號上升/下降沿如何影響調(diào)相波頻率。

此現(xiàn)象的另一解釋視角是：當(dāng)信息信號隨時(shí)間增大時(shí)，其在2πfct產(chǎn)生的相位項(xiàng)（見公式2）基礎(chǔ)上疊加了遞增項(xiàng)，導(dǎo)致調(diào)制波相位更快完成完整周期，表現(xiàn)為頻率升高。換言之，在m(t)的正斜率區(qū)間調(diào)相波呈現(xiàn)壓縮特性。

反之，當(dāng)信息信號隨時(shí)間減小時(shí)，其引入的負(fù)相位變化會抵消部分2πfct項(xiàng)產(chǎn)生的正相位變化，使調(diào)制波完成完整周期所需時(shí)間延長，導(dǎo)致頻率降低。即：在m(t)的負(fù)斜率區(qū)間調(diào)相波呈現(xiàn)拉伸特性。

為深入理解該原理，考慮載頻fc=100 Hz時(shí)的正弦函數(shù)：

其中φ(t)表示附加相位偏差。圖2展示了該正弦波在三種不同φ(t)條件下的1/4周期波形：
條件1：φ(t) = 0
條件2：φ(t) = 90 – 100t
條件3：φ(t) = 90 + 100t

圖2. 公式3所述波形在三種不同φ(t)條件下的1/4周期圖示。

圖中藍(lán)色曲線（φ(t) = 0）代表未調(diào)制波，其1/4周期完整占據(jù)0至2.5 ms區(qū)間。

紅色曲線（φ(t) = 90 + 100t）對應(yīng)信息信號隨時(shí)間增大的調(diào)相波。此時(shí)φ(t)產(chǎn)生的正相位變化與2πfct項(xiàng)相位變化疊加，導(dǎo)致0至2.5 ms區(qū)間內(nèi)容納超過1/4個周期。

綠色曲線（φ(t) = 90 – 100t）代表相位項(xiàng)遞減的調(diào)相波。φ(t)的負(fù)相位變化部分抵消2πfct項(xiàng)的正相位變化，致使0至2.5 ms區(qū)間內(nèi)包含不足1/4個周期。

瞬時(shí)頻率
頻率為fc、振幅為Ac、初始相位為φ0的未調(diào)制信號，可用以恒定角速度2πfc旋轉(zhuǎn)的相量表示（圖3a）。角度調(diào)制信號則表現(xiàn)為振幅恒為Ac、但角速度隨時(shí)間變化的旋轉(zhuǎn)相量（圖3b）。

圖3. 未調(diào)制信號(a)與角度調(diào)制信號(b)的相量表示

現(xiàn)在深入分析角度調(diào)制波。如何表征其旋轉(zhuǎn)頻率？當(dāng)θi變化2π弧度時(shí)，對應(yīng)相量完成整周旋轉(zhuǎn)。因此，從t到(t+Δt)時(shí)段內(nèi)的平均頻率（赫茲）可通過下式求得：

對于頻率為fc、初始相位為φ0的未調(diào)制載波，該方程可導(dǎo)出：由此可見，未調(diào)制載波的平均頻率恒等于fc。對于角度調(diào)制信號，平均頻率取決于觀測時(shí)段內(nèi)信息信號的取值。但當(dāng)公式4中的Δt趨近于零時(shí)，所得頻率可解釋為旋轉(zhuǎn)相量的瞬時(shí)頻率fi(t)。此時(shí)方程可改寫為θi的時(shí)間導(dǎo)數(shù)形式：

由該方程可得，對應(yīng)相量的角速度恒等于2πfi(t) rad/s。

運(yùn)用瞬時(shí)頻率概念可解釋圖1調(diào)相波的行為特性：將公式2的θi代入瞬時(shí)頻率方程后表明——信息信號隨時(shí)間增大時(shí)輸出頻率升高，反之則降低。

這表明：當(dāng)信息信號隨時(shí)間增大時(shí)，輸出頻率上升；反之當(dāng)信息信號減小時(shí)，輸出頻率下降。

PM與FM信號表征
理解瞬時(shí)相位和瞬時(shí)頻率基礎(chǔ)后，可用二者統(tǒng)一描述PM與FM方案。將瞬時(shí)相位寫作：

其中?(t)表示相位偏差，則公式1描述的角度調(diào)制波可表示為：

（嚴(yán)格遵循要求：

這表明瞬時(shí)相位是由2πfct項(xiàng)設(shè)定的中心值與?(t)之和。兩種角度調(diào)制形式中，?(t)均取決于信息信號。對于PM，?(t)與信息信號成正比：

其中kp為比例常數(shù)。若m(t)為電壓量，則kp單位為rad/V（弧度/伏特）。

公式9所述調(diào)制波的瞬時(shí)頻率由瞬時(shí)相位的導(dǎo)數(shù)決定：

瞬時(shí)頻率中隨信息信號變化的部分稱為頻率偏移：在調(diào)頻(FM)系統(tǒng)中，頻率偏移與信息信號成正比：

其中kf為頻率偏移常數(shù)。若m(t)為電壓量，則kf單位為Hz/V（赫茲/伏特）。

對上述方程積分可得?(t)，代入公式8即得調(diào)頻信號方程：

需注意：積分通常會產(chǎn)生常數(shù)項(xiàng)，但假設(shè)未調(diào)制波在t=0時(shí)相位角為零，故可消除該常數(shù)項(xiàng)。

關(guān)于常數(shù)項(xiàng)，需說明比例常數(shù)kp有多種命名：在不同文獻(xiàn)中可稱為相位偏差常數(shù)、調(diào)制器相位靈敏度、相位調(diào)制指數(shù)或簡稱調(diào)制指數(shù)。同理，頻率偏移常數(shù)kf亦稱調(diào)制器頻率靈敏度。

FM與PM的轉(zhuǎn)換關(guān)系
當(dāng)輸入信號滿足特定關(guān)系時(shí)，調(diào)頻與調(diào)相調(diào)制器可產(chǎn)生相同輸出。對比公式14與調(diào)相方程：

由公式14和15可得，兩種調(diào)制方法產(chǎn)生相同輸出需滿足：

其中：
mf(t) 為調(diào)頻調(diào)制器輸入信號
mp(t) 為調(diào)相調(diào)制器輸入信號

公式16表明：若mp(t)是mf(t)的積分，則調(diào)相與調(diào)頻電路輸出相同。簡言之，在調(diào)相器輸入端添加積分器即可生成調(diào)頻信號（圖4）。

圖4. 利用調(diào)相器生成調(diào)頻波公式16亦表明：若調(diào)頻調(diào)制器輸入信號等于調(diào)相調(diào)制器輸入信號的導(dǎo)數(shù)，兩者輸出相同。這意味著對信息信號微分后輸入調(diào)頻調(diào)制器，即可生成調(diào)頻信號（圖5）。圖5. 通過調(diào)頻調(diào)制器生成調(diào)相波例如圖6左上部分所示的方波信息信號m(t)：

圖6. 左上：方波信息信號；左下：對應(yīng)調(diào)頻波；右上：未調(diào)制鋸齒波；右下：對應(yīng)調(diào)相波

左下象限顯示該方波信息對應(yīng)的調(diào)頻波（fc=5 Hz, kf=1.59 Hz/V）。右上象限為鋸齒波，右下象限展示其在kp=10 rad/V時(shí)的調(diào)相波。

二者并置時(shí)調(diào)制波形完全一致。由于方波積分可得鋸齒信號，此現(xiàn)象符合預(yù)期。

結(jié)論
本文通過數(shù)學(xué)分析深化了對角度調(diào)制（PM與FM）的理解?；谒矔r(shí)頻率概念，我們探究了調(diào)相與調(diào)頻方法的緊密關(guān)聯(lián)。期望本文能助您深入理解這些調(diào)制技術(shù)及其產(chǎn)生信號的時(shí)域特性。