什么是Zero Forcing 技術(shù)？

在上一篇文章中，我們對通信信道模型有了初步了解。一些常用的模型比如ZF、MMSE等算法，被用于信道估計(jì)與均衡。

在這一篇文章我將解釋迫零（zero-forcing，ZF）技術(shù)。它在概念上和數(shù)學(xué)上都可能是一種最簡單的模型，但它有一個嚴(yán)重的缺陷，叫做“噪聲放大”。但在很多情況下，這些技術(shù)是為了簡單而使用的，就學(xué)習(xí)信道建模理論而言，這是一個很好的學(xué)習(xí)起點(diǎn)。(你可能已經(jīng)有問題了，比如“為什么它被稱為迫零?” 迫零的實(shí)際意義是什么?為什么這項(xiàng)技術(shù)會導(dǎo)致噪音放大?把這些問題都記在腦子里。有些問題會在數(shù)學(xué)過程中自動得到解答)。

我將從最理想/最簡單的情況開始，擴(kuò)展到更復(fù)雜但更現(xiàn)實(shí)的模型，如下所示。

l 無噪聲相同Tx和Rx天線數(shù)

l 有噪聲相同Tx和Rx天線數(shù)

l 無噪聲不同Tx和Rx天線數(shù)

l 有噪聲不同Tx和Rx天線數(shù)

一、無噪聲相同Tx和Rx天線數(shù)

有許多實(shí)際情況下使用相同數(shù)量的Tx天線和相同數(shù)量的Rx天線，但很少有情況下沒有噪聲。但是我會從簡單的數(shù)學(xué)過程開始，讓它更容易理解。

讓我們從最簡單和幾乎理想的情況開始，Tx天線的數(shù)量與Rx天線的數(shù)量相同，并且在信道中沒有噪聲。更具體地說，我們假設(shè)是2 × 2 MIMO的情況。這意味著兩個Tx天線和兩個Rx天線。

在這種情況下，信道模型可以如下描述(如果您不熟悉該表達(dá)式是如何產(chǎn)生的，請參閱信道模型概述部分)。需要注意的重要一點(diǎn)是在這種情況下通道矩陣H是一個方陣。此外，你會注意到方程中沒有噪聲項(xiàng)，因?yàn)槲覀兗僭O(shè)它們是無噪聲的。

這是這個信道的系統(tǒng)方程并且是信道模型的終點(diǎn)。足夠簡單嗎？

現(xiàn)在讓我們假設(shè)我們需要找到從這個信道模型找出傳輸數(shù)據(jù)的方法。這是接收器設(shè)計(jì)的目標(biāo)。

假設(shè)我們已經(jīng)有了關(guān)于信道矩陣(H)的所有信息，現(xiàn)在的問題就是用x來解下面的方程，也就是在下面的方程中求出x。(你可能會問我們怎么知道“H”，但我們就假設(shè)它已經(jīng)給我們了。這是另一個大的主題，應(yīng)該作為一個單獨(dú)的頁面來涵蓋)。

由于Tx和Rx天線的數(shù)目相同，H為方陣。從上面得到“x”很簡單，就像你可能從初等線性代數(shù)課程中學(xué)到的那樣。

本案例的解決過程可以總結(jié)如下。

它可能看起來很簡單，但在某些特殊情況下，可以用這種方法解決問題。條件總結(jié)如下。

二、有噪聲相同Tx和Rx天線數(shù)

現(xiàn)在讓我們考慮添加了Noise的情況。在這種情況下，由于噪聲項(xiàng)，我們不能直接求解方程。噪聲項(xiàng)只能通過統(tǒng)計(jì)方法進(jìn)行估計(jì)，這個估計(jì)過程可以描述如下。

最后的方程會變成這樣。

三、無噪聲不同Tx和Rx天線數(shù)

現(xiàn)在我們來看一個非方陣信道矩陣的例子。我們將研究以下案例作為示例。如你所見，我們有兩個發(fā)射天線和四個接收天線，這意味著發(fā)射天線和接收天線的數(shù)量是不一樣的。

到目前為止，您應(yīng)該能夠?yàn)榻o定的任何配置構(gòu)建信道矩陣。如果沒有，請嘗試更多的實(shí)踐，為各種發(fā)射機(jī)和接收機(jī)組合創(chuàng)建一個信道矩陣。這種情況下的信道矩陣如下。

如你所見，信道矩陣不是方形的。我們有兩個變量(未知數(shù))我們要算出來，但我們有四個方程。這就是線性代數(shù)課上所謂的"過定"情況。在這種情況下，我們不能有任何解析解(精確解)，因?yàn)樾诺谰仃嚨?strong>逆不存在。

在這種情況下，您不能得到任何精確解(精確答案)，但是您可以通過各種技術(shù)得到近似答案。在這種情況下，我們使用的常見技術(shù)之一是“最小二乘誤差（LSE）”方法，其總體邏輯如下。

讓我們先看看我們知道什么，不知道什么?！?/span>y”是一個已知的值(矢量)，因?yàn)樗墙邮仗炀€接收/測量的。我們也假設(shè)H是已知的。x現(xiàn)在是未知的，這就是我們要求的。

現(xiàn)在讓我們嘗試一個有趣的事情。因?yàn)樵谶@種情況下，沒有解析解來求x。讓我們假設(shè)我們做一個猜測，并把任何猜測的數(shù)字代進(jìn)去?，F(xiàn)在我們有兩個部分，一個是y，它來自直接測量，另一個是Hx，它是由H和猜測值x計(jì)算出來的。因?yàn)樵谶@種情況下x只能是近似值，如果你取y和Hx的差值，你總會得到一個非零值。我們稱這個值為誤差。如果我們用數(shù)學(xué)形式來表示，就會變成這樣。

繼續(xù)對x進(jìn)行猜測，并代入猜測的x，計(jì)算誤差值。如果你不斷嘗試這個幾乎無限次，得到猜測的x值，產(chǎn)生最少的e(誤差)，你可以稱它為這個方程的最佳近似答案。但如果你做這種盲目的猜測，那你永遠(yuǎn)也找不到答案。

讓我們用數(shù)學(xué)方法來解決這個問題，而不是做無休止的瘋狂(盲目)猜測。我們的目標(biāo)是找到使e最小的x。通過兩邊平方，我們可以得到一個數(shù)學(xué)形式，這個值的最小值(或最大值)可以用解析方法找到。(如果你不熟悉最小二乘誤差法，你的第一個問題可能是“為什么我們需要得到方程的平方?”這是一個非常好的問題和重要的問題。但我不想詳細(xì)解釋，因?yàn)槟菚x我們的話題太多。然而，我強(qiáng)烈建議你試著閱讀一些關(guān)于“最小二乘”或“最小二乘誤差”方法的材料)。

現(xiàn)在我們原來的問題歸結(jié)為求出一個二次函數(shù)的最小值x，如下所示。

從高等數(shù)學(xué)中，你會想起任何二次函數(shù)。函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)(切線斜率)在最小(或最大)位置為0。

通過一個漫長而乏味的過程(為了不讓你感到無聊，我不會去做所有的步驟)，它會給你如下所示的最終答案。重要的是你可以通過y和H得到x的最佳近似值。有人可能不熟悉另一個符號'H'在上標(biāo)。它是厄米特矩陣符號。如果你能保證信道矩陣的所有元素都是實(shí)數(shù)，你可以使用'轉(zhuǎn)置'矩陣，但它不能覆蓋信道矩陣有任何復(fù)數(shù)元素的情況。厄密特矩陣既能處理實(shí)矩陣，又能處理復(fù)數(shù)矩陣，因此使用厄密特矩陣是安全的。

盡管這看起來是一個漫長、令人困惑、可怕、乏味的過程，但這是最簡單的方法之一。這是一個簡單的做法，但是在特定的情況下卻會引起一些問題。所以他們開發(fā)了一種更復(fù)雜但更穩(wěn)健的方法，叫做“MMSE”。