1.IIR濾波器的原理

1.1 概述

《數(shù)字信號處理》作為一門通信、電子、信息等本科專業(yè)基礎(chǔ)課程，在《信號與系統(tǒng)》課程的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)離散信號與離散時間系統(tǒng)，尤其是離散傅里葉變換（DFT）和快速傅里葉變換（FFT）、數(shù)字濾波器、多速率信號處理等在通信、雷達(dá)等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。

無限脈沖相應(yīng)（Infinite Impulse Response ，IIR）濾波器與（Finite Impulse Response ，F(xiàn)IR）濾波器構(gòu)成了兩種常用的數(shù)字濾波器，這兩者既有聯(lián)系，也有區(qū)別。

首先，IIR濾波器具有很高的濾波效率，在相同幅頻響應(yīng)條件下，所需的濾波器階數(shù)明顯比FIR濾波器低。其次，IIR濾波器的設(shè)計，可以借鑒模擬濾波器的設(shè)計成果。此外，IIR濾波器可以用較少的硬件資源（主要是乘加運算的DSP資源）獲得較好的濾波器幅頻特性。

需要注意的是，IIR濾波器的一個顯著特點是不具備嚴(yán)格的線性相位特性，相對于FIR濾波器而言應(yīng)用范圍較窄，只有在不需要嚴(yán)格線性相位特性的情況下，可以利用IIR濾波器實現(xiàn)數(shù)字濾波。

數(shù)字濾波器通常由一個系統(tǒng)函數(shù)、差分方程、方框圖或流圖來表示：

其基本運算單元、方框圖及流圖為：

例如給定一個二階濾波器：，則其方框圖結(jié)構(gòu)與流圖結(jié)構(gòu)如下圖所示。

在流圖結(jié)構(gòu)中，我們還需要弄清楚以下幾個基本概念：

• 節(jié)點：

• 源節(jié)點：只有輸出、沒有輸入的的節(jié)點
• 阱節(jié)點（輸出節(jié)點）：只有輸入支路而沒有輸出支路，它一般代表系統(tǒng)的輸出變量，故也稱為輸出節(jié)點。
• 網(wǎng)絡(luò)節(jié)點：分支節(jié)點或加法器

• 支路：只有一個輸入，由一個或多個輸出的節(jié)點

• 節(jié)點的值=所有輸入支路的值之和

• 支路的值=支路起點處的節(jié)點值×傳輸系數(shù)

知乎話題：如何通俗易懂地理解FIR/IIR濾波器？

1.2IIR濾波器的原理及特性

LLR濾波器具有以下結(jié)構(gòu)及特點：

IIR濾波器的特點：

• 系統(tǒng)的單位抽樣相應(yīng)h(n)無限長 理解：由于本步驟的輸出會作為下一步驟的輸入，無限遞歸下去，所以一個時刻的影響就是無限的，也就是“無限沖激響應(yīng)”。
• 系統(tǒng)函數(shù)H(z)在有限z平面（ 0<|z|<∞）上有極點存在 LSI系統(tǒng)因果穩(wěn)定性：一個LSI系統(tǒng)是因果穩(wěn)定系統(tǒng)的必要與充分條件是系統(tǒng)函數(shù)H(z)必須是在從單位圓|z|=1到|z|<∞的整個z平面內(nèi)（0≤|z|≤∞）收斂。即：系統(tǒng)函數(shù)H(z)的全部極點必須在Z平面的單位圓以內(nèi)。
• 存在輸出到輸入的反饋，遞歸型結(jié)構(gòu) 在物理世界的時間系統(tǒng)中，因環(huán)境噪聲等不可控因素，IIR濾波器將可能導(dǎo)致所設(shè)計系統(tǒng)不穩(wěn)定，反復(fù)遞歸振蕩。
• 如果只有不為0，其他，則稱為全極點型的IIR濾波器或自回歸（AR）系統(tǒng)，如果由兩個或多個，則稱為零-極點型的IIR濾波器或自回歸滑動平均（ARMA）系統(tǒng)。
• IIR濾波器結(jié)構(gòu)：直接I型、直接II型、級聯(lián)型、并聯(lián)型和格型結(jié)構(gòu)。
• 單位沖擊相應(yīng)h(n)為實數(shù)。

1.3 IIR濾波器的結(jié)構(gòu)

1.3.1 直接I型

對于差分方程：如果先實現(xiàn)各的加權(quán)和（），再實現(xiàn)各的加權(quán)和（），則稱之為直接I型。

1.3.2直接II型

將直接I型結(jié)構(gòu)的兩個延時鏈子系統(tǒng)的次序進(jìn)行交換，并將有相同輸出的中間兩延時鏈加以合并，即可得到直接II型結(jié)構(gòu)（典范型結(jié)構(gòu)）。

直接型的共同缺點

• 對于高階濾波器，系數(shù)a_k和b_k分別對濾波器的極點與零點的控制作用不明顯，即對頻率響應(yīng)的控制作用不明顯，因而調(diào)整頻率響應(yīng)比較困難。
• 極點對系數(shù)的變化過于靈敏，易出現(xiàn)不穩(wěn)定或較大誤差
• 運算的累積誤差較大：乘法運算的量化誤差，造成系統(tǒng)輸出端噪聲功率大

1.3.3 級聯(lián)型

1.3.4并聯(lián)型

2.IIR濾波器的設(shè)計方法

程佩青《數(shù)字信號處理教程》（第四版簡明版）第6章總結(jié)的IIR濾波器設(shè)計方法

顯然，在數(shù)字化時代，利用MATLAB、FPGA、DSP等軟硬件來設(shè)計濾波器，才能應(yīng)用到產(chǎn)品中！

3.IIR濾波器的MATLAB設(shè)計

MATLAB軟件提供了豐富的濾波器設(shè)計方法，例如Signal Processing Toolbox提供了FIR、IIR、單速率和多速率濾波器設(shè)計、分析和實現(xiàn)的案例，可以用于設(shè)計參考。

除了函數(shù)，我們也可以利用filterDesigner設(shè)計。命令行鍵入filterDesigner ，回車。

進(jìn)入濾波器設(shè)計界面，設(shè)計一個IIR濾波器。

在界面的左側(cè)，顯示當(dāng)前濾波器信息?！绊憫?yīng)類型”用于指定濾波器的作用?！霸O(shè)計方法”包含IIR和FIR，用于指定濾波器的類型。設(shè)置濾波器的階數(shù)，設(shè)定頻率的單位可以采用歸一化或Hz、kHz、MHz等。參數(shù)設(shè)置完畢，點擊“設(shè)計濾波器”，可通過工具欄查看所設(shè)計濾波器的幅值響應(yīng)、相位響應(yīng)、群延遲響應(yīng)、零極點圖等。并可在左上角查看當(dāng)前濾波器信息。

設(shè)計確定后，可對濾波器系數(shù)進(jìn)行量化。設(shè)置量化參數(shù)，濾波器算法選擇“定點”，系數(shù)字長設(shè)為16。

需要注意的是，在生成.coe文件時，需要滿足定點、單節(jié)和直接型的FIR，才能支持Xilinx FPGA所需的.coe文件。我們也可以將所設(shè)計濾波器導(dǎo)出生成.m文件，以供應(yīng)用。

此外，我們可以應(yīng)用designfilt設(shè)計濾波器，再用filter對數(shù)據(jù)進(jìn)行濾波。

例如，設(shè)計一個低通IIR濾波器。

4.IIR濾波器的FPGA實現(xiàn)

IIR濾波器的FPGA實現(xiàn)比較復(fù)雜，需要應(yīng)用到除法器。在利用FPGA實現(xiàn)IIRA濾波器前，我們需要將MATLAB設(shè)計的IIR濾波器滿足設(shè)計需求后，將系數(shù)進(jìn)行量化。

示例：采用cheby2函數(shù)設(shè)計一個階數(shù)為7（級數(shù)為8）的帶通濾波器，采樣頻率為2000Hz、截至頻率為500Hz、阻帶衰減為60dB，設(shè)計一個IIR濾波器。

c=fvtool(b,a)，將濾波器可視化。

為方便FPGA實現(xiàn)，我們需要將系數(shù)進(jìn)行量化定點。對于IIR濾波器的FPGA設(shè)計，可以參考杜勇的《數(shù)字濾波器的MATLAB與FPGA實現(xiàn)》第5章。在實際應(yīng)用中，很少用IIR濾波器去做設(shè)計，而是更多的應(yīng)用FIR濾波器設(shè)計。

最后，我們需要將處理結(jié)果進(jìn)行對比，確保設(shè)計一致。