1. 自適應(yīng) FIR 濾波器基礎(chǔ)知識

自適應(yīng)濾波器的一些經(jīng)典應(yīng)用包括系統(tǒng)識別、通道均衡、信號增強(qiáng)和信號預(yù)測。建議的應(yīng)用程序是降噪，這是一種信號增強(qiáng)。下文描述了此類應(yīng)用程序的一般案例。

當(dāng)信號x（k）因噪聲n1（k）損壞時(shí)，信號n2（k）與噪聲相關(guān)。當(dāng)算法收斂時(shí)，輸出信號 e（k）將是信號的增強(qiáng)版本。

平均方形誤差 （F[e [k]= [|E[e（k）|2]）是重量參數(shù)的二次函數(shù)。此屬性很重要，用于自適應(yīng)過濾器，因?yàn)樗挥幸粋€(gè)通用的最小值。這意味著它適用于許多類型的自適應(yīng)算法，并將導(dǎo)致一個(gè)體面的收斂行為。相比之下，IIR 過濾器需要更復(fù)雜的算法和對此問題的分析。

有許多自適應(yīng)算法可用于信號增強(qiáng)，如牛頓算法、最陡峭的下降算法、最小平均方 （LMS） 算法和遞歸最小方塊 （RLS） 算法。我們選擇使用 LMS 算法，因?yàn)樗怯?jì)算成本最低的算法，并提供了一個(gè)穩(wěn)定的結(jié)果。

2 LMS算法

下面的方程描繪了 LMS 算法。

1. 濾波：
   y （k） = XT（k） W （k）

2. 錯(cuò)誤估計(jì)：
   e （k） = d （k） - y （k）

3. 濾波器系數(shù)更新：
   g （k）=2e （k）x （k）
   W （k+1） = W （k）+ug （k）
   其中 k 是算法的迭代次數(shù) ，y(k)是濾波器輸出，x(k)是輸入信號組成的一組向量，w(k)是濾波器系數(shù)向量，e(k)是誤差信號，d(k)是期望信號，u 是收斂因子（步長），W(k+1) 是下一次迭代的濾波器抽頭權(quán)重。在這個(gè)算法中，g(k) 是一個(gè)重要的值。它是估計(jì)的梯度（E[e2(k)] 在抽頭權(quán)重上的偏微分）或當(dāng)前誤差信號的平方的投影，e2(k) 在濾波器抽頭權(quán)重上。當(dāng)算法收斂時(shí)，g(k) 預(yù)計(jì)是一個(gè)非常小且均值為零的數(shù)。
   步長 (u) 必須在 0 < u < 1/Lmax 范圍內(nèi)，其中 Lmax 是 R = E[X(k)TX(k)] 的最大特征值（R 的屬性之一是 R 應(yīng)該是非負(fù)實(shí)數(shù)）。實(shí)際上，當(dāng) Lmin 遠(yuǎn)小于 Lmax 時(shí)，建議 u 遠(yuǎn)小于 1/Lmax。該算法收斂所需的最小步數(shù)與 Lmax / Lmin 成正比。