2 數(shù)學(xué)模型的建立
    因為倒立擺系統(tǒng)本身是一個自不穩(wěn)定的系統(tǒng)，因此實驗建模存在一定的困難。然而，經(jīng)過謹(jǐn)慎的假設(shè)，忽略掉一些次要因素，就能使倒立擺系統(tǒng)成為一個典型的運動的剛體系統(tǒng)，使之在慣性坐標(biāo)系內(nèi)應(yīng)用經(jīng)典力學(xué)理論就能建立系統(tǒng)的動力學(xué)方程。下面采用牛頓一歐拉方法建立直線型一級倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。
2．1 微分方程的推導(dǎo)
    在忽略空氣阻力和各種摩擦后，可將直線一級倒立擺系統(tǒng)抽象成小車和勻質(zhì)桿組成的系統(tǒng)，如圖l所示。

    假設(shè)M為小車質(zhì)量；m為擺桿質(zhì)量；b為小車摩擦系數(shù)；
l為擺桿轉(zhuǎn)動軸心到桿質(zhì)心的長度；I為擺桿慣量：F為加在小車上的力；x為小車位置；φ為擺桿與垂直向上方向的夾角；
θ擺桿與垂直向下方向的夾角圖2示出系統(tǒng)中小車和擺桿的受力分析圖。其中，N和P為小車與擺桿相互作用力的水平和垂直方向分量腳。值得注意的是：在實際倒立擺系統(tǒng)中檢測和執(zhí)行裝置的正負(fù)方向已確定，因而矢量方向定義如圖2所示，圖示方向為矢量正方向。

    分析小車水平方向所受的合力，可得方程為：
    MX=F—bi—N
    由擺桿水平方向的受力進行分析，可得：

   
    式(2)代入式(1)，可得系統(tǒng)的第1個運動方程為：

   
    為了推出系統(tǒng)的第2個運動方程，對擺桿垂直方向上的合力進行分析，由此可得方程為：

   
    方程中力矩的方向，由于θ=π+φ，cosφ=-cosφ，sinφ=-sinθ，故等式前有負(fù)號。合并式(4)和式(5)，簡化得到第2個運動方程：

    
    設(shè)θ=π+φ(φ是擺桿與垂直向上方向之間的夾角，單位rad)，假設(shè)φ與1相比很小，即φ<<1，則可以進行近似

   
2．2 狀態(tài)空間方程
    由方程組(8)對x，φ解代數(shù)方程，整理后得：

   
2．3 實際系統(tǒng)模型
    實際系統(tǒng)模型參數(shù)：M=1．096 Kg；m=0．109 Kg；b=0．1 N／m/s；l=0．25 m；I=0．0034 kg·m·m；采樣頻率T=0．005 s。
    以小車加速度作為輸入的系統(tǒng)狀態(tài)方程：

   
3 狀態(tài)空間極點配置
    對于直線一級倒立擺的極點配置轉(zhuǎn)化來說：要按上述系統(tǒng)設(shè)計控制器，則要求具有較短，約3 s的調(diào)整時間和合適的阻尼比ζ=0．5。要使系統(tǒng)具備能控、能觀且易驗證。步驟為：計算特征值。根據(jù)要求，設(shè)調(diào)整時間為3 s，并留有一定的余量，選擇期望的閉環(huán)極點：是一對具有ζ=
0．5，ωn=4的主導(dǎo)閉環(huán)極點。μ1，μ2位于主導(dǎo)閉環(huán)極點的左邊，其影響較小，因此期望的特征根方程為：

4 仿真驗證
    建立直線一級倒立擺的仿真模型如圖3所示?！癎LlIPState—Space”為直線一級倒立擺的狀態(tài)空間模型。雙擊圖3中的“Poles Control”模塊，打開圖4中的設(shè)置窗口。

    把計算得到的K值輸入到上面的窗口。可得圖4所示的仿真運行結(jié)果。

    由圖5可見，在存在干擾的情況下，系統(tǒng)在3 s內(nèi)基本上可以恢復(fù)到新的平衡位置。

5 實時控制
    將仿真得到的K參數(shù)輸入到實際系統(tǒng)的控制模塊中，可得圖6所示實時控制曲線。在給定倒立擺干擾后，系統(tǒng)響應(yīng)圖7所示。

6 結(jié)語
    采用極點配置法設(shè)計的用于直線型一級倒立擺系統(tǒng)的控制器，可使系統(tǒng)在很小的振動范圍內(nèi)保持平衡，小車振動幅值約為4×10-3m，擺桿振動幅值約0．05 rad，系統(tǒng)穩(wěn)定時間約3 s。