2 HopfieId網(wǎng)絡(luò)的能量函數(shù)
    為將TSP問題映射成神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的動態(tài)過程，Hopfield采取置換矩陣的表示方法，用N×N個神經(jīng)元組成Hopfield人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)表示商人訪問N個城市。
    網(wǎng)絡(luò)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時各神經(jīng)元的狀態(tài)對應(yīng)置換矩陣各元素的值(“1”或“0”)。用uxi表示神經(jīng)元(x，i)的輸出，相應(yīng)的輸入用Vxi表示。
    若城市x在i位置上被訪問，則Vxi=1，否則Vxi=0。Hop-field定義如下形式的能量函數(shù)：
   

   
式中，A、B、C、D是實系數(shù)。dxy為城市x與y之間的距離。
    式中前3項是問題的約束項。最后1項是優(yōu)化目標(biāo)項。利用動態(tài)方程：
   
式中，VT表示V的轉(zhuǎn)置。
    求得A、B、C、D和d描述的連接矩陣和及偏置，的表達(dá)式：

    Hopfield把能量函數(shù)的概念引入神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，從而開創(chuàng)求解優(yōu)化問題的新方法。但該算法會以大百分比生成無效解，因此需進(jìn)一步改進(jìn)。

3 改進(jìn)算法與仿真
3．1 改進(jìn)算法1
    Aiyer等人從理論上證明Hopfield網(wǎng)絡(luò)不能生成有效解的原因，并提出一個新的連接矩陣：

外部輸入
    可從理論上證明該算法的有效性，試驗也驗證它幾乎100％可獲得有效解。利用上述改進(jìn)算法對Hopfield的10城市問題進(jìn)行模擬試驗，已知其最短路徑為2．690 6。模擬試驗采用兩種神經(jīng)元狀態(tài)更新函數(shù)，一種采用S型函數(shù)，即
   
    另一種采用如下定義的軟限幅函數(shù)：
   
    它是線性化近似的一種合理選擇。圖1給出軟限幅函數(shù)及雙曲正切函Uo取0．02時的曲線圖。對于每種情況，從起始條件出發(fā)模擬運行200次，每次模擬在達(dá)到下列兩條件之一時終止運行：(1)網(wǎng)絡(luò)中的每個神經(jīng)元均在[0．9，1]或[0，0．1]之間取值，分別對應(yīng)神經(jīng)元的“激活”(取值落在[0．9，1]中)或“抑制”狀態(tài)(取值落在[0，0．1]中)，并且矩陣的每行每列恰有一個非零元素；(2)運行迭代次數(shù)大于10 000次。注意，沒有以dE／dt=0判別迭代結(jié)束。因為滿足dE／dt=0的點不一定是E的極小點或最小點，也可能是拐點。其次，即使是E的極小點，繼續(xù)迭代有可能跳出這個極小點。取A=B=8，A1=7．75，D=2，步長δt=0．02，測試結(jié)果如表1和圖1所示。由測試結(jié)果可知，軟限幅的效果明顯優(yōu)于硬限幅，因為軟限幅與線性化近似極為相似，但所需的收斂次數(shù)較多。
    研究表明，在S型函數(shù)UO=2情況下，網(wǎng)絡(luò)給不出任何有效的解答。因為網(wǎng)絡(luò)中的神經(jīng)元無法收斂于其穩(wěn)態(tài)(“激活”或“抑制”)。

3．2 改進(jìn)算法2
    Aiyer通過TSP網(wǎng)絡(luò)的動態(tài)分析修正TSP的連接矩陣，從而獲得有效解，但其表達(dá)式過于復(fù)雜，影響優(yōu)化效果。簡化該能量函數(shù)：
    首先檢查式(1)的前3項，其中，第3項僅在網(wǎng)絡(luò)輸出全為0時起約束作用，否則前2項已保證第3項成立。對前2項作如下修改：
   
    則第3項完全可省去。將優(yōu)化目標(biāo)項寫成：

    或
    也可滿足優(yōu)化要求。則TSP的能量函數(shù)簡化為：
   
    下面以式(13)作為研究對象，其對應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)連接矩陣和外部輸入分別是：
   
    該算法可從理論上證明其有效性，仿真研究如下：取A=B=3，D=1，步長δt=0．05，對Uo=0．02和軟限幅兩種情況進(jìn)行仿真，仿真終止條件與改進(jìn)算法2相同。測試的統(tǒng)計結(jié)果如表2和圖2所示。

    從測試結(jié)果可以看出，該方法獲得的最優(yōu)解的個數(shù)明顯的多于改進(jìn)算法1。軟限幅的效果明顯優(yōu)于sigmold函數(shù)的效果。但所需的收斂次數(shù)較多。這一點與改進(jìn)算法1是一致的。在使用軟限幅時獲得最優(yōu)解的概率大于95％，只是所需迭代次數(shù)稍多。

4 結(jié)束語
    對兩種求解TSP的改進(jìn)算法進(jìn)行仿真研究，結(jié)果表明他們具有非常好的優(yōu)化效果，在10城市問題上可近似100％的獲得最優(yōu)解。
    另外，該算法還具有對參數(shù)敏感度低的優(yōu)點。改進(jìn)算法的缺點是所需迭代次數(shù)較多。當(dāng)采用大步長迭代時，可降低收斂所需的迭代次數(shù)，但會影響優(yōu)化效果。
    這種影響對Uo=0．02的情況不明顯，例如，在δt=0．5時，其優(yōu)化效果與δt=0．05時幾乎相同，所需迭代次數(shù)可降到450次左右。而對于軟限幅的情況，步長的影響就明顯了，δt= 0．5時，優(yōu)化效果與圖中Uo=0．02的情況差不多。下一步的工作擬采用變步長的方法，估計可大大降低所需的迭代次數(shù)。