倒立擺是日常生活中許多重心在上、支點在下的控制問題的抽象模型，本身是一種自然不穩(wěn)定體，它在控制過程中能有效地反映控制中許多抽象而關鍵的問題，如系統(tǒng)的非線性、可控性、魯棒性等問題。對倒立擺系統(tǒng)的控制就是使小車以及擺桿盡快地達到預期的平衡位置，而且還要使它們不會有太強的振蕩幅度、速度以及角速度，當?shù)沽[系統(tǒng)達到期望位置后，系統(tǒng)能克服一定范圍的擾動而保持平衡。作為一種控制裝置，它具有形象直觀、結構簡單、便于模擬實現(xiàn)多種不同控制方法的特點，作為一個被控對象它是一個高階次、非線性、多變量、強耦合、不穩(wěn)定的快速系統(tǒng)，只有采取行之有效的方法才能使它的穩(wěn)定效果明了，因此對倒立擺的研究也成為控制理論中經(jīng)久不衰的研究課題。

　　1 一級倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學模型

　　對于倒立擺系統(tǒng)來說，如果忽略了空氣阻力和各種摩擦之后，可將直線一級倒立擺系統(tǒng)抽象成沿著光滑導軌運動的小車和通過軸承連接的勻質(zhì)擺桿組成，如圖1所示。其中，小車的質(zhì)量M=1.32 kg，擺桿質(zhì)量m=0.07 kg，擺桿質(zhì)心到轉動軸心距離l=0.2 m，擺桿與垂直向下方向的夾角為θ，小車滑動摩擦系數(shù)，fc=0.1。

　　倒立擺控制系統(tǒng)數(shù)學模型的建立方法一般有利用牛頓力學的分析方法和分析力學中的拉格朗日方程建模兩種。本文采用的是拉格朗日方程建模。

　　一級倒立擺系統(tǒng)的拉格朗日方程應為：

　　式中：L是拉格朗日算子;V是系統(tǒng)動能;G是系統(tǒng)勢能。

　　式中：D是系統(tǒng)耗散能;fi為系統(tǒng)在第i個廣義坐標上的外力。

　　一級倒立擺系統(tǒng)的總動能為：

　　一級倒立擺系統(tǒng)有4個狀態(tài)變量，分別是

　　，根據(jù)式(7)寫出系統(tǒng)狀態(tài)方程，并在平衡點處進行線性化處理，得到系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型如下：

　　2 倒立擺性能分析

　　系統(tǒng)的能控性是控制器設計的前提，所以在設計前對系統(tǒng)進行能控性分析，根據(jù)能控性矩陣T0=[B，AB，A2B，A3B]，利用Matlab中的rank命令，可以得出rank(T0)=4。由此可知，系統(tǒng)是完全可控的，因此可以對系統(tǒng)進行控制器的設計，使系統(tǒng)穩(wěn)定。

　　3 LQR控制器的設計

　　3.1 LQR控制器原理

　　線性二次型調(diào)節(jié)器的控制對象是線性系統(tǒng)，這個線性系統(tǒng)必須是狀態(tài)空間的形式，即：

　　，Y=Cx+Du。通過確定最佳控制量U*=R-1BTPX=-KX的矩陣K，使性能指標

　　的值極小。其中，加權矩陣Q和R是用來平衡狀態(tài)變量和輸入變量的權重;P是Riccati方程的解。這時求解Riccati代數(shù)方程：

　　就可獲得P值以及最優(yōu)反饋增益矩陣K值：

　　LQR用于單級擺的原理圖如圖2所示。