Adaptive and Optimal Chaotic oscillation control of electric power system 


WANG Bao-hua1，2 ZHANG Qiang2 YANG Cheng-wu1　YANG Wei1

（1． School of Power Engineering，Nanjing University of Science 
and Technology，Nanjing 210094，China；
2．Department of Electric Power Engineering，Nanjing Institute of
 Technology，Nanjing 210013，China）

　　Abstract：The electric power system is likely to emerge chaotic oscillation or instability under stronger periodic load perturbation．Adaptive and optimal controller has been designed to restrain chaotic oscillation when the magnitude of the periodic load perturbation and the model of the electric system is uncertain．Lyapunov stability theory is used to prove this control method enable the electric system asymptotical stability. The performance of the controller has been evaluated by numerical simulation．It is concluded that such a controller can drive chaotic or unstable trajectory of power system under stronger periodic load perturbation to the initial position，i.e.，the controller can restrain chaotic oscillation and make power system obtain asymptotical stability．
　　Key words：electric power system；chaos control；asymptotical stability；adaptive

1 引言
　　電力系統(tǒng)作為一個典型的非線性系統(tǒng)，在周期性負荷擾動作用下，當周期性負荷的幅值滿足一定條件時，就會發(fā)生混沌振蕩^[1-3]，甚至會使電力系統(tǒng)失去穩(wěn)定性。因此，為保證電力系統(tǒng)在周期性負荷擾動的作用下仍然能穩(wěn)定運行，就必須消除混沌振蕩現(xiàn)象。由于非線性反饋控制方法能夠補償系統(tǒng)模型的非線性，因而能夠抑制混沌，這已經(jīng)在許多控制系統(tǒng)中得到應用^[4-5]，同時非線性反饋控制還可以實現(xiàn)電力系統(tǒng)的穩(wěn)定控制^[6]，因此可以利用非線性反饋控制來消除混沌，穩(wěn)定系統(tǒng)。然而該方法要求系統(tǒng)必須精確建模，否則控制器無法對系統(tǒng)的非線性進行補償，另外即使控制器對系統(tǒng)的非線性進行了補償，在控制器作用下系統(tǒng)不會發(fā)生混沌振蕩，但是由于周期性負荷擾動仍然存在，系統(tǒng)就不可能回到初始平衡點，而是在某一個穩(wěn)定的周期軌道上運行^[9]。變量反饋控制法^[7]通過調(diào)節(jié)反饋系數(shù)來減小系統(tǒng)非線性項的影響，抑制混沌，使系統(tǒng)進入混沌吸引子中固有的不穩(wěn)定周期軌道上，而且該方法要求首先確定混沌吸引子中的不穩(wěn)定周期軌道。而對電力系統(tǒng)而言，我們希望其受擾后能夠在控制器的作用下回到初始平衡點或者新的平衡點上，因此要尋求新的控制方法，使得系統(tǒng)不論受到多大幅值的周期擾動，無論系統(tǒng)的模型是否精確，在控制器的作用下均能回到初始或新的平衡點上，這就需要控制器能夠估計周期性擾動的幅值。本文利用非線性最優(yōu)控制方法與自適應控制相結合，設計了自適應最優(yōu)控制器，并利用Lyapunov穩(wěn)定性理論證明了受控的閉環(huán)系統(tǒng)能夠保持漸近穩(wěn)定，同時利用數(shù)值仿真，校驗了該控制器的控制效果以及對周期性負荷擾動幅值的逼近情況，理論和仿真都說明了控制器的有效性。

2 簡單電力系統(tǒng)在周期性負荷擾動下的動力學行為
　　簡單互聯(lián)電力系統(tǒng)接線圖^[6]如圖1所示，其中：1為系統(tǒng)1的等值發(fā)電機；2為系統(tǒng)2的等值發(fā)電機；3為系統(tǒng)1的等值主變壓器；4為系統(tǒng)2的等值主變壓器；5為負荷；6 為斷路器；7為系統(tǒng)聯(lián)絡線。

　　具有周期性負荷擾動的簡單電力系統(tǒng)數(shù)學模型如下^[6]：
 
　　　　　　 ?。?）
式中：δ(t) 為發(fā)電機轉子運行角：w(t)為發(fā)電機相對轉速；p_m和p_s分別為發(fā)電機機械功率和電磁功率；H為等值轉動慣量；D為等值阻尼系數(shù)；P_e為擾動功率幅值；β為擾動功率頻率。
 
    當假設 a、γ、ρ不變即發(fā)電機的電磁功率、系統(tǒng)的阻尼和機械功率不變，而F變化時，上述系統(tǒng)變成了一個含參數(shù)F的非線性系統(tǒng)，當F不同即周期性負荷擾動的幅值不同時，系統(tǒng)呈現(xiàn)出不同的狀態(tài)。若系統(tǒng)無周期性負荷擾動，則系統(tǒng)運行于穩(wěn)定的平衡點；文獻[2]詳細說明了F變化時，系統(tǒng)的運行狀態(tài)，系統(tǒng)可能運行于穩(wěn)定的周期軌道，也可能運行于包含有許多不穩(wěn)定周期軌道的混沌狀態(tài)；甚至失去穩(wěn)定^[8]。
3 電力系統(tǒng)混沌振蕩的自適應最優(yōu)控制
3.1 非線性最優(yōu)控制器設計
　　假設系統(tǒng)為精確建模，系統(tǒng)的等值阻尼系數(shù)D，發(fā)電機的機械功率P_m以及擾動功率幅值P_e已知，也就是說γ、ρ和F已知。受控的閉環(huán)系統(tǒng)如下式所示。
　　
　　對該系統(tǒng)采用二次型最優(yōu)控制方法，使
　　
式中，Q、R分別對應于狀態(tài)量的權矩陣和控制量的權系數(shù)。
 
    如果系統(tǒng)為精確建模，且干擾的周期性負荷的幅值已知，由控制器（6）與原系統(tǒng)的構成的閉環(huán)系統(tǒng)可知，控制器將補償系統(tǒng)的非線性和外部干擾，并增加了系統(tǒng)的阻尼，因而將抑制混沌，保證系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定。
3.2 自適應最優(yōu)控制器設計
    由于系統(tǒng)的不精確建模，假設系統(tǒng)中等值阻尼系數(shù)D、發(fā)電機機械功率P_m、擾動功率幅值P_e等一些參數(shù)不確定，即γ、ρ和F不確定，則最優(yōu)控制器中γ、ρ和F這些參數(shù)由自適應控制律來實現(xiàn)。同時設由最優(yōu)控制律得到的最優(yōu)反饋增益系數(shù)K₁=K₂=-1,并將△δ(t)=δ(t)

式中K₃,K_4,K₅均為大于零的自適應控制系數(shù)。
　　 為證明閉環(huán)系統(tǒng)在控制器（7）作用下能保持漸近穩(wěn)定，構造如下的Lyapunov函數(shù)：
　　
    于是，閉環(huán)系統(tǒng)（3）在控制器（7）作用下可以保持漸近穩(wěn)定，即當電力系統(tǒng)受擾進入混沌狀態(tài)甚至失去穩(wěn)定時，其也能在控制器作用下回到初始平衡點。 

4 數(shù)值仿真分析
    式（1）中的參數(shù)分別取為：H=100，P_s=100，D=2，P_m=20，β=1，即a=1，γ=0.02，ρ=0.2。由文獻[8]知，當P_e=25.93（F=P_e/H=0.2593），系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，如圖2（a）（b）的前100s所示；當P_e=25.94（F=0.2594)時，系統(tǒng)不僅處于混沌狀態(tài)，而且在t=137s時已經(jīng)失去穩(wěn)定，如圖3（a）、（b）的137s所示。