1 概述
    如今的低功耗微控制器(μC)也開始集成原先只存在于大型微處理器、ASIC和DSP中的外設(shè)功能，使我們有可能以很低的功耗實現(xiàn)復(fù)雜的算術(shù)運算。本文討論一種快速傅立葉變換(FFT)應(yīng)用，并在一個含有單周期硬件乘法器的低功耗μC上實現(xiàn)該應(yīng)用。這個FFT應(yīng)用實時計算一路輸入電壓(圖l中VIN)的頻譜。為完成該任務(wù)，用一片模數(shù)轉(zhuǎn)換器(ADC)對VIN進行采樣，獲得的采樣傳送給μC。然后,μC對這些采樣執(zhí)行256點FFT運算,獲得輸入電壓的頻譜。為便于檢測，μC將計算出的頻譜數(shù)據(jù)傳送給PC，由PC實時顯示出來。
    該FFT應(yīng)用的固件針對MAXQ2000系列中的一款16位、低功耗μC用C語言編寫。有興趣的讀者可以下載該項目的固件和電路原理圖(http：∥www．maxim -ic.corn.cn/images/appnotes/3722/3722Firm -ware.zip)。編寫FFT代碼絕非易事。低功耗μC的一些局限又進一步使該任務(wù)復(fù)雜化。
    存儲器：我們所選的μC有2 kB的RAM。已經(jīng)知道該算法需要用到2N個16位變量來存儲FFT數(shù)據(jù)，這樣，μC可以執(zhí)行N最高為512的FFT。然而，固件的其他部分也要用到一些RAM。因此，在此項目中，限制N于256。若采用16位變量來表示每個值的實部和虛部，F(xiàn)FT數(shù)據(jù)總共需要1 024字節(jié)的RAM。

    速度：低功耗μC盡管具有高MI/s/mA性能，仍然需要一些優(yōu)化手段來使運行FFT的指令數(shù)盡可能少。好在本應(yīng)用所用的C編譯器(IAR的Em-bedded Workbeneh for MAXQ，見www.iar.com)可提供多種級別的優(yōu)化和設(shè)置。高效地使用硬件乘法器可使代碼優(yōu)化到可以接受的水平。
    無浮點能力：所選的μC不具備浮點能力(低功耗產(chǎn)品一般都不具備浮點能力)。因此，所有運算都必須采用定點算法。為了表示小數(shù)，固件采用帶符號的Q 8.7表示法。這樣，在固件中假定：
    ●第O位至第6位代表小數(shù)部分；
    ●第7位至第14位代表整數(shù)部分；
    ●第15位代表符號位(二的補碼)。
    這樣的安排對于加法和減法沒有影響，但在做乘法時必須注意將數(shù)據(jù)按照Q8.7格式對齊。

   
    所選的數(shù)據(jù)表示法還要適應(yīng)FFT算法可能遇到的最大數(shù)值，同時又要提供足夠的精度。例如，我們的ADC可提供帶符號的8位采樣，以二的補碼表示。如果輸入為最大幅度(對于帶符號8位采樣為127)的直流電壓，則其能譜全部包含于X(0)中，用Q8.7表示為32 512。這個數(shù)值能夠用單個帶符號的16位數(shù)據(jù)表示。

2 固件
    以下部分討論在低功耗μC上執(zhí)行Radix-2FFT的固件實現(xiàn)。信號采樣由ADC讀出后被存儲在x_n_re數(shù)組中。這個數(shù)組代表X(n)的實部。虛部存儲在x_n_im數(shù)組中，在開始運行FFT前初始化為零。完成FFT后，計算結(jié)果取代原始采樣數(shù)據(jù)，被存儲在x_n_re和x_n_im中。
2.1 獲取采樣
    FFT算法假定采樣是以固定的取樣頻率獲得的。在為FFT獲取采樣時如果不加小心將會產(chǎn)生一些問題。例如，采樣間隔的抖動就會給FFT結(jié)果引入誤差，應(yīng)盡力減小。

    清單1.兩種ADC采樣偽碼算法
    ADC采樣循環(huán)中的判決語句會造成采樣間隔的抖動。例如，系統(tǒng)從ADC讀取帶符號的8位采樣，并將其存儲在一組16位變量中。程序清單1中給出了兩種偽碼算法，執(zhí)行ADC讀取-存儲功能。算法l給出的方法會造成采樣間隔的抖動，因為負采樣比正采樣需要更多的時間來讀取并存儲。
2.2 三角函數(shù)表
    本FFT算法通過查表(LUT)而非計算得到正弦或余弦函數(shù)值。程序清單2給出了對于正弦和余弦LUT的聲明。實際固件的注釋中包含了自動生成這些LUT的源代碼，可由程序調(diào)用。兩個LUT均含有N/2分量，因為旋轉(zhuǎn)因子的索引號變化范圍為0至N/2-1(見圖2)。

    這些LUT中的數(shù)組被聲明為const，強制編譯器將它們存儲于代碼空間而非數(shù)據(jù)空間。由于LUT數(shù)值須采用Q8.7表示法，它們由正弦和余弦的實際值乘以27后得到。
2.3 位反轉(zhuǎn)
    位反轉(zhuǎn)排序(N已知)可在運行時通過計算、查表或直接利用展開循環(huán)編寫。所有這些方法都需要在源代碼的尺寸和運行速度間進行折衷。本FFT應(yīng)用利用展開循環(huán)進行位反轉(zhuǎn)，其源代碼較長，但運行速度快。程序清單3顯示了該展開循環(huán)的實現(xiàn)。本應(yīng)用固件的注釋中包含了用于程序自動生成展開循環(huán)的源代碼。

    清單3.用于實現(xiàn)N=256的位反轉(zhuǎn)的展開循環(huán)
2.4 Radix-2 FFT算法
    采樣按照位反轉(zhuǎn)方式重新排序后就可進行FFT運算了。本Radix-2 FFT應(yīng)用的固件通過三個主循環(huán)執(zhí)行圖2所示的蝶型運算。外循環(huán)計數(shù)log2(N)級FFT運算。內(nèi)循環(huán)執(zhí)行每一級的蝶型運算。

    FFT算法的核心部分是執(zhí)行蝶型運算的一小塊代碼。程序清單4給出了這一塊代碼，遺憾的是，它是本應(yīng)用中唯一“不可移植”的固件。宏MUL_1和MUL_2利用C的硬件乘法器執(zhí)行單指令周期乘法運算。這些宏的內(nèi)容專用于MAXQ2000，可在實際固件中全部看到。
2.5 復(fù)數(shù)的極坐標轉(zhuǎn)換
    為了便于確定VIN頻譜的幅度，必須將復(fù)數(shù)形式的X(K)轉(zhuǎn)換為極坐標形式。實現(xiàn)該轉(zhuǎn)換的固件示于程序清單5。幅度值取代了原始的FFT結(jié)果，因為固件不再需要這些數(shù)據(jù)。

    頻譜幅度通過一個二維LUT查表得到。第一索引為頻譜實部的高4位(MSB)，第二索引為頻譜虛部的高4位。為得到這些數(shù)據(jù)，可將帶符號的16位數(shù)據(jù)右移11次。在從頻譜的實部和虛部取得索引號前，需首先將它們轉(zhuǎn)換為絕對值。因此，符號位為
零。
    頻譜的幅度是關(guān)于X(N/2)對稱的，因此只需將前(N/2)+1個頻譜數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為極坐標形式。還有，我們可以看到，對于實數(shù)輸入采樣，X(0)和X(N/2)的虛部總為零，因此這兩條譜線的幅度被單獨計算。本項目實際固件的注釋中包含了用于自動生成該LUT的源代碼，可由程序調(diào)用來計算X(k)的幅度。
2.6 Hamming或Hann窗
    此項目固件還包括了對輸入采樣加Hamming或Hann窗的LUT(Q8.7格式)。加窗函數(shù)可有效降低對時域采樣X(n)的舍入操作所引起的頻譜泄漏。Hamming和Hann窗函數(shù)分別如式l和2所示。

   
    程序清單6給出了實現(xiàn)這些函數(shù)的代碼。同樣，本項目實際固件的注釋中包含了用于自動生成這些LUT的源代碼，可由程序調(diào)用來實現(xiàn)這些窗函數(shù)。

3 測試結(jié)果
    為了測試該FFT應(yīng)用的性能，固件將X(K)幅度通過μC的UART端口上傳給PC。專門編寫的FFTGraph軟件(隨該項目固件一起提供)用于從PC串口讀取這些幅值，并以圖形方式實時顯示頻譜。圖3顯示了μC以200 kS/s采樣四種不同輸入信號并處理后，由FFT Graph所顯示出來的結(jié)果。