摘要：通信原理是一門具有很強物理意義的專業(yè)理論課，因其內容抽象而繁雜，給教學帶來了一定的困難?；谡辖虒W內容的目的，本文探討了將眾多調制方式(包括模擬調制和數(shù)字調制)統(tǒng)一為正交調制模型的教學方案。為了在滿足教學要求的前提下降低教學難度，提出了用MATLAB進行仿真演示的教學方法。教學實踐證明，該教改方案不僅達到了有效整合課程內容的目的，而且通過使用信息工具將抽象知識具體化、直觀化的這一途徑使得教學質量得到了提高。
關鍵詞：向量空間；標準正交基；信號空間；調制解調；MATLAB

    2009年1月，教育部高教司設立了“利用信息技術工具改造課程”項目，“用MATLAB和建模實踐改造工科線性代數(shù)課程”是其中一個子項目。而“需求牽引”和“技術推動”正是此項目改革的動力。是的，后續(xù)課程的需求是什么?采用MATLAB軟件如何增強教學?這是當前線性代數(shù)課程教育者必須思考的。
    我校作為參與此項目院校之一，教改也取得了顯著成果，得到了專家、教師和學生的支持，給予很高的評價，但是如何將線性代數(shù)在工科教育中的重要作用進一步發(fā)揮出來呢?工科線性代數(shù)改革的主要目的不是在于課程自身，而是對后續(xù)課程產(chǎn)生輻射，推動各種有關的后續(xù)課乃至整個教學計劃的改革和現(xiàn)代化。
    基于此，本文針對通信原理課程內容雜而多，難教難學的特點，以此課程中調制內容為例，探討了現(xiàn)有教學中存在的問題，提出了將線性代數(shù)中向量空間及標準正交基的知識與調制內容進行深度結合，并將MATLAB運用于教學的解決方案。

1 通信原理課程教學現(xiàn)狀
    通信原理課程是通信工程、電子信息工程等本科專業(yè)的專業(yè)基礎課。在實際教學中，本科院校一般都是選用國內一些優(yōu)秀教材，這些教材內容選取大同小異。一般由隨機過程、信道與噪聲、模擬調制系統(tǒng)、數(shù)字基帶傳輸系統(tǒng)、數(shù)字頻帶傳輸系統(tǒng)、模擬信號的數(shù)字傳輸系統(tǒng)、數(shù)字信號的最佳接收、同步原理、差錯控制編碼這些內容組成。由于其具有很強的理論性、系統(tǒng)性和物理性，內容雜而多，很多學生反映“亂”，而就每一章來說，能聽懂，會做題，但沒有課程的整體思路?，F(xiàn)以調制部分的教學為例，討論難教難學的原因。原因一，調制方式多、數(shù)學表達式多。在大多數(shù)通信原理教材中將調制分為兩部分，一部分是模擬調制，包括有AM、DSB、SSB、VSB等；另一部分是數(shù)字調制，包括有二進制或多進制的ASK、FSK、PSK以及QAM、MSK、GMSK等。不同的調制方式有著不同的數(shù)學表達式。盡管在教學中不斷強調，不論是模擬調制還是數(shù)字調制都是圍繞幅度調制、頻率調制、相位調制3類基本調制展開的，本質是一樣的。但是在理論學習過程中，眾多的調制方式、數(shù)學表達式仍然讓學生感到混亂、難理解。原因二，知識抽象，有很強的物理性。調制在實際中有廣泛的應用，但是學生學習這部分常常會感到，即使能將每個調制方式的表達式記住，卻不知如何用；題目中已知條件給了不少，卻弄不清楚是什么意思；面對實際問題，不知如何分析，如何實現(xiàn)。這些都是南于知識抽象，不理解公式和物理量的物理意義所造成的。如何解決或改善上述兩個問題呢?首先，如果能將紛雜的調制方式統(tǒng)一為一個數(shù)學模型，換句話說，就是可以用一個通用的數(shù)學模型分析所有模擬和數(shù)字調制方式，那么可以改善甚至解決第一個問題。其次，如果能將MATLAB用于教學，通過仿真將抽象知識直觀化、具體化，那么可以解決上述第二個問題。以下討論具體解決問題的方案。首先介紹調制方式的數(shù)學模型如何統(tǒng)一。

2 調制數(shù)學模型的統(tǒng)一
    為解決調制方式多，數(shù)學表達式繁雜給教學帶來的困難，現(xiàn)將線性代數(shù)中向量空間和標準正交基概念引入，通過闡述向量空間和信號空間的關系，將標準正交基和通信原理課程中的調制內容結合起來，實現(xiàn)調制方式數(shù)學模型的統(tǒng)一。
2．1 向量空間與信號空間的聯(lián)系
    向量空間就是線性代數(shù)中一個核心概念。掌握有限維向量空間，將其擴展到信號空間，這一點對于應用數(shù)學研究者是非常重要的。
2．1．1 向量空間
    根據(jù)向量空間定義，可以獲知以下信息：1)向量空間是滿足某種運算關系的向量的集合：2)在n維向量空間中線性無關的n個向量構成的向量集合就是向量空間的一個基；3)基是生成向量空間的最基本的向量集合，空間中的任意一個向量都可以由基線性組合得到；4)在Euclid空間引入標準正交基對于揭示空間結構、簡化表述非常有利。

    此概念具有非常直觀的幾何意義。例如在二維向量空間中的體現(xiàn)如圖1所示。其中向量e1=[1，0]T，e2=[0，1]T。根據(jù)標準正交基的定義可知，e1、e2是二維向量空間的一個標準正交基。那么，二維向量空間中的任意一個向量都可以由e1、e2線性組合得到。如x=k1e1+k2e2，其中是實常數(shù)。
2．1．2 信號空間
    根據(jù)信號空間定義可知，信號空間是由信號構成的Hilbert空間或線性空間。也就是說，信號空間也是滿足一定條件的集合，其元素是信號。如前所述，向量空間是由向量構成的線性空間。由此可以看出：信號空間與向量空間本質相同，均是滿足一定條件的集合，只是集合中的元素不同。若將向量空間中的元素向量換成信號，便是信號空間。那么，向量空間中基的概念可以推廣到信號空間：1)兩兩正交且能量均為1的信號集合是信號空間的標準正交基或歸一化正交基。2)由基組合而成的信號組成的集合便是信號空間。換言之，信號空間中的任意一個信號都可以由基組合得到。當信號空間中的基給定時，空間中信號的位置完全由組合系數(shù)構成的向量決定。
    根據(jù)函數(shù)正交和正交函數(shù)集定義可知，sin(ωct)和cos(ωct)互為正交函數(shù)，由上述討論顯然可以看出，sin(ωct)和cos(ωct)可以看作二維信號空間的一組標準正交基，那么二維信號空間中的任意一個信號s(t)均可以由基線性組合得到。
2．2 正交調制原理
    在通信中，基帶信號不能直接送入實際信道進行傳輸，為了更好地適應信號傳輸通道的頻率特性，必須用基帶信號對載波進行調制來完成信號傳輸。在通信發(fā)展的過程中，隨著技術的不斷進步，衍生出很多種調制解調方式，它們之間的不同之處在于用待傳輸信號去控制載波的不同參數(shù)，例如載波的幅度、頻率、相位或者它們的組合。已知已調信號的一般數(shù)學表達式為：
   
    根據(jù)上面討論可知，sin(ωct)和cos(ωct)是二維信號空間的一組標準正交基，那么(2)式顯然可以理解為：已調信號s(t)是sin(ωct)和cos(ωct)線性組合。另外在(3)式中可以看到，I(t)、Q(t)包含了調制信號的幅度信息和相位信息。這就意味著，只要確定了I(t)、Q(t)，便可以實現(xiàn)各種調制方式。因此，調制過程，等價于根據(jù)待傳輸?shù)幕鶐盘柅@得同相分量I(t)和正交分量Q(t)后，對基函數(shù)cos(ωct)、sin(ωct)進行線性組合的過程。進一步，解調的過程即為從已調信號中提取I(t)、Q(t)并由其生成基帶信號的過程。
2．3 常見調制方式的同相分量和正交分量
    表1給出常見調制方式的同相分量I(t)和正交分量Q(t)。其中AM、DSB、SSB和FM所對應的m(t)為模擬基帶信號，2ASK、2FSK、2PSK、MSK和QAM所對應的m(t)為數(shù)字基帶信號。數(shù)字基帶信號，Tb為碼元寬度。

    通過表中討論可以看出，通過標準正交基的概念將正交調制模型引入通信原理課程教學中，不僅將線性代數(shù)知識和專業(yè)課深度結合，而且可以將模擬調制和數(shù)字調制內容進行整合，降低了教與學的難度，使得通信原理課程知識結構更加簡單明了，在深化線性代數(shù)教學改革的同時也推動了通信原理課程改革。

3 MATLAB用于調制內容教學
    為了解決上述第二個問題給教學帶來的困難，可以利用MATLAB軟件的特點將其用于教與學，增強教學效果。
3．1 MATLAB用于“教”
    通過上述討論可知，紛雜的調制方式可以統(tǒng)一成一個正交數(shù)學模型，不同的調制方式僅僅對應著不同I(t)、Q(t)。那么，在課堂上教師可以用MATLAB為學生演示正交調制原理下各種調制方式所對應參量。帶來的好處就是將抽象知識具體化、直觀化，使得學生更容易接受這部分內容，同時激發(fā)了學生學習興趣。圖2就是用MATLAB軟件仿真實現(xiàn)QPSK調制方式時獲得的時域波形圖、頻譜圖及各參量波形示意圖。

3．2 MATLAB用于“學”
    為了加強教的效果，教師可以以課程設計等形式要求學生通過正交調制數(shù)學模型編寫MATLAB程序，來實現(xiàn)多種調制方式。這樣做有什么好處呢?1)學生先經(jīng)過理論分析，然后再仿真實現(xiàn)，在這個過程中會遇到問題多種問題，那么分析問題、解決問題是學生必然要經(jīng)歷的過程。當學生通過理論指導完成仿真實現(xiàn)時，不僅加深了他們對調制概念的理解，更好的掌握調制理論，了解調制解調的本質，而且反過來又幫助學生驗證了理論的正確性，在激發(fā)學生學習興趣的同時提高學生學習效率。2)結合實際問題，學生完成了調制理論向工程化的轉變。例如，在一個通用的硬件平臺上，用軟件實現(xiàn)不同調制，這正是調制解調在軟件無線電領域的一個工程應用。培養(yǎng)了學生提出問題、分析問題、解決問題以及工程應用的能力。3)為學生本科畢業(yè)設計積累了素材。

4 結束語
    本文在完成了“用信息工具改造線性代數(shù)課程”的教學改革基礎上，針對通信原理課程教學中存在的問題，以調制內容為例提出了將線性代數(shù)中的標準正交基概念引入和將MATIAB用于教學的解決方案。需要說明的是，此方案通過在我校本科電子信息工程專業(yè)進行了試行，根據(jù)教學效果及后續(xù)畢業(yè)設計結果來看，文中提到兩個問題均有顯著的改善，但是要取得更好的教學效果，我們還有大量的工作要做。技術推動、需求牽引是一切科學技術發(fā)展的動力。教育教學也只有如此，才能面向未來，通信原理課程也不例外。