一、引言

　　DFT(離散傅里葉變換)作為將信號(hào)從時(shí)域轉(zhuǎn)換到頻域的基本運(yùn)算，在各種數(shù)字信號(hào)處理中起著核心作用，其快速算法FFT(快速傅里葉變換)在無(wú)線(xiàn)通信、語(yǔ)音識(shí)別、圖像處理和頻譜分析等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。用大規(guī)模集成電路FPGA(現(xiàn)場(chǎng)可編程門(mén)陣列)來(lái)實(shí)現(xiàn)FFT算法時(shí)，需要重點(diǎn)考慮的不再是算法運(yùn)算量，而是算法的復(fù)雜性、規(guī)整性和模塊化，因?yàn)樗惴ǖ暮?jiǎn)單性和規(guī)整性將更適合大規(guī)模集成，更方便于版圖設(shè)計(jì)，而算法的模塊化更有利于FFT處理器的靈活擴(kuò)展。組合數(shù)FFT算法和CORDIC(坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)數(shù)字計(jì)算機(jī))算法結(jié)合起來(lái)，在計(jì)算長(zhǎng)點(diǎn)數(shù)、可擴(kuò)展FFT時(shí)具有較大的優(yōu)越性［1，2］。而面向高速、大容量數(shù)據(jù)流的FFT的實(shí)時(shí)處理，可以通過(guò)VLSI(超大規(guī)模集成電路)器件的并行處理或多級(jí)流水線(xiàn)處理等來(lái)達(dá)到。特別是多級(jí)流水線(xiàn)處理的FFT結(jié)構(gòu)使得基于FPGA器件的FFT處理器完成不同點(diǎn)數(shù)的FFT計(jì)算時(shí)可以通過(guò)增減模塊級(jí)數(shù)很容易地實(shí)現(xiàn)。

　　二、組合數(shù)N=r1r2點(diǎn)混合基FFT原理

　　計(jì)算N點(diǎn)DFT：

式中k=0，1，…，N-1。

　　若N=r1r2的組合數(shù)，可將n(n＜N)表示為

　　

式(2)的意

義在于，計(jì)算組合數(shù)N=r1r2點(diǎn)DFT，等價(jià)于先求出r?2組r?1點(diǎn)的DFT，其結(jié)果經(jīng)過(guò)對(duì)應(yīng)旋轉(zhuǎn)因子的相位旋轉(zhuǎn)后，再計(jì)算r1組r2點(diǎn)的DFT。實(shí)際應(yīng)用中，DFT往往用它的快速算法FFT實(shí)現(xiàn)，因而式(2)中的r1點(diǎn)DFT和r2點(diǎn)DFT都用r1點(diǎn)FFT和r2點(diǎn)FFT實(shí)現(xiàn)。

　　三、可擴(kuò)展FFT處理器實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)

　　根據(jù)式(2)的FFT算法原理設(shè)計(jì)FFT處理器的可擴(kuò)展結(jié)構(gòu)如圖1所示。

　　采用流水線(xiàn)模塊化級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)，把FFT處理器劃分成短點(diǎn)數(shù)FFT、級(jí)間混序RAM和相位旋轉(zhuǎn)等功能模塊，設(shè)計(jì)的各功能模塊可以重復(fù)利用，通過(guò)復(fù)用或增減各功能模塊可以靈活改變FFT處理器的計(jì)算規(guī)模，而且不增加設(shè)計(jì)量。在圖1結(jié)構(gòu)中，當(dāng)Li＝1時(shí)，就演變成了基2 FFT；當(dāng)Li＝2時(shí)，就演變成了基4 FFT；同理，當(dāng)Li≠Lj時(shí)，就演變成了高組合數(shù)的混合基FFT。

　　1.短點(diǎn)數(shù)FFT陣列結(jié)構(gòu)
　

－Tukey算法結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)時(shí)，有大量的復(fù)數(shù)乘法實(shí)際上轉(zhuǎn)化為加減運(yùn)算，所以用陣列結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)不但具有速度快的優(yōu)點(diǎn)，而且所用器件資源也減少很多，通過(guò)對(duì)陣列結(jié)構(gòu)短點(diǎn)數(shù)FFT進(jìn)行時(shí)分復(fù)用，可以提高運(yùn)算單元的使用效率。

　　2.相位旋轉(zhuǎn)運(yùn)算單元

　　實(shí)現(xiàn)短點(diǎn)數(shù)FFT級(jí)間相位旋轉(zhuǎn)，采用ROM存儲(chǔ)旋轉(zhuǎn)因子與數(shù)據(jù)復(fù)乘的傳統(tǒng)方法，不僅涉及乘法運(yùn)算，而且會(huì)消耗大量存儲(chǔ)器資源。

　　利用CORDIC算法實(shí)現(xiàn)組合數(shù)FFT級(jí)間數(shù)據(jù)的相位旋轉(zhuǎn)，把乘法轉(zhuǎn)化成加減法運(yùn)算，適合FPGA的大規(guī)模集成?？梢栽O(shè)計(jì)出統(tǒng)一結(jié)構(gòu)的CORDIC處理器模塊，重復(fù)利用于不同級(jí)間實(shí)現(xiàn)相位旋轉(zhuǎn)，而且其控制邏輯非常簡(jiǎn)單。

　　(1)CORDIC算法原理
　　
如果旋轉(zhuǎn)角度θ可以分解成n個(gè)小角度φi之和，即：

公式:

　　
　　
(2)CORDIC處理器結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

　　本文提出了一種流水線(xiàn)CORDIC處理器結(jié)構(gòu)的解決方案。實(shí)現(xiàn)式子(4)的迭代運(yùn)算時(shí)采用補(bǔ)碼移位和補(bǔ)碼加減運(yùn)算，可以減少大量求補(bǔ)運(yùn)算，其迭代結(jié)構(gòu)如圖2所示。

前者在于左移補(bǔ)零的位數(shù)的不同，這樣，只需要改變n0k0的放大倍數(shù)(改變左移低位補(bǔ)零的位數(shù))，就可以把同一方向向量功能模塊級(jí)聯(lián)到圖1 FFT處理器的不同級(jí)間來(lái)計(jì)算CORDIC處理器的MSBi，這就大大地減小了重復(fù)設(shè)計(jì)，其迭代結(jié)構(gòu)如圖3所示。

3.RAM結(jié)構(gòu)及其級(jí)間數(shù)據(jù)混序用流水線(xiàn)讀/寫(xiě)RAM地址發(fā)生器的設(shè)計(jì)

　　設(shè)計(jì)的RAM，每個(gè)存儲(chǔ)單元為32 bit，高16位為復(fù)數(shù)的實(shí)部，低16位為復(fù)數(shù)的虛部。輸入輸出數(shù)據(jù)接口用RAM設(shè)計(jì)為乒乓結(jié)構(gòu)，用兩塊相同的RAM交替讀出或交替寫(xiě)入數(shù)據(jù)，這樣就放寬了對(duì)I/O操作速度的要求，使得外圍電路可以不必工作于FPGA系統(tǒng)時(shí)鐘。

　　級(jí)與級(jí)之間數(shù)據(jù)混序用RAM設(shè)計(jì)為讀/寫(xiě)RAM，對(duì)RAM同一存儲(chǔ)單元用兩個(gè)時(shí)鐘完成一次讀/寫(xiě)操作，即用流水線(xiàn)讀/寫(xiě)同一塊RAM來(lái)實(shí)現(xiàn)級(jí)與級(jí)之間的數(shù)據(jù)混序。此結(jié)構(gòu)取代了用兩塊RAM完成數(shù)據(jù)混序的乒乓結(jié)構(gòu)的傳統(tǒng)方法，不涉及存儲(chǔ)器之間的讀寫(xiě)切換，控制邏輯非常簡(jiǎn)單，而且消耗的存儲(chǔ)器資源節(jié)省一半，這是實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)可靈活擴(kuò)展的高速FFT處理器的關(guān)鍵和難點(diǎn)。可以通過(guò)理論推導(dǎo)，求得第i級(jí)FFT與第i-1級(jí)FFT級(jí)間混序用RAM的奇次讀/寫(xiě)地址為

　　
的基礎(chǔ)上向左循環(huán)移位，位長(zhǎng)為L(zhǎng)i-Li-1位；同時(shí)，后者又表示在前者的基礎(chǔ)上向左循環(huán)移位，位長(zhǎng)為L(zhǎng)i-Li-1位，從而形成地址的循環(huán)移位規(guī)律。把Li-1=Li和Li-1FFT以及混合基FFT級(jí)間數(shù)據(jù)混序用流水線(xiàn)讀/寫(xiě)RAM地址發(fā)生器。

　　4.8×4×2點(diǎn)組合數(shù)FFT處理器的實(shí)驗(yàn)結(jié)果及其分析

　　我們利用FPGA實(shí)現(xiàn)的各功能模塊按圖1實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)組裝了8×4×2點(diǎn)組合數(shù)FFT處理器，通過(guò)仿真驗(yàn)證了其設(shè)計(jì)的正確性后，又在FPGA實(shí)驗(yàn)板上對(duì)它進(jìn)行了硬件驗(yàn)證，其實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證平臺(tái)如圖4所示。

　　硬件驗(yàn)證時(shí)采取的實(shí)驗(yàn)方法是，用相同的抽樣頻率fs等間隔地抽取不同頻率單頻正弦信號(hào)相同點(diǎn)數(shù)64點(diǎn)，即固定FFT的頻率分辨率fr，利用設(shè)計(jì)的64點(diǎn)FFT處理器計(jì)算其幅度譜，觀察其幅度譜中直流分量譜線(xiàn)和諧波分量譜線(xiàn)間隔大小的變化，把實(shí)驗(yàn)結(jié)果和理論分析結(jié)果進(jìn)行對(duì)照，以確認(rèn)FFT處理器工作的正常與否。

　　系統(tǒng)時(shí)鐘工作在 40.861 MHz 時(shí)，抽樣頻率為 40.861/2=20.4305 MHz，抽樣周期為1/20.4305 MHz="48".9 ns，抽取64個(gè)點(diǎn)的時(shí)間是48.9×64＝3.13μs。因?yàn)槊總€(gè)采樣數(shù)據(jù)間隔時(shí)間是48.9μs，所以用設(shè)計(jì)的流水線(xiàn)方式工作的6

4點(diǎn)FFT處理器計(jì)算其幅度譜的譜線(xiàn)間隔也為48.9 ns。當(dāng)輸入單頻正弦信號(hào)的頻率約為638.454 kHz時(shí)，其周期為1/638.454 kHz＝1.567μs。用20.4305 MHz頻率抽樣，3.13μs時(shí)間內(nèi)剛好在正弦信號(hào)的2個(gè)周期內(nèi)抽取64點(diǎn)，輸入單頻正弦信號(hào)的頻率是頻率分辨率319.227 kHz的2倍，直流分量為幅度譜的第1根譜線(xiàn)，一次諧波分量為幅度譜的第3根譜線(xiàn)，其理論計(jì)算結(jié)果波形如圖5所示，實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果波形及其的局部放大波形如圖6和圖7所示。

　　從示波器上可以看出，橫坐標(biāo)單元格間隔為1μs，F(xiàn)FT變換周期間隔約為3格，即約為3μs，抽取了信號(hào)波形的2個(gè)周期，64點(diǎn)FFT計(jì)算時(shí)間也約為3μs。

　　輸入單頻正弦信號(hào)的頻率是頻率分辨率319.227 kHz的2倍，直流分量為幅度譜的第1根譜線(xiàn)，一次諧波分量為幅度譜的第2根譜線(xiàn)。由于幅度譜的譜線(xiàn)間隔為48.9 ns，也就是說(shuō)，直流分量和一次諧波分量間隔約為100 ns。從示波器上可以看出，橫坐標(biāo)單元格間隔為100 ns，直流分量和一次諧波分量間隔約為100 ns，和理論分析結(jié)果一致。

　　四、結(jié)論
　　
本文以高組合數(shù)混合基DFT算法為基礎(chǔ)，設(shè)計(jì)并用FPGA實(shí)現(xiàn)了變換點(diǎn)數(shù)可靈活擴(kuò)展的流水線(xiàn)FFT處理器。輸入/輸出數(shù)據(jù)速率為20 MHz時(shí)，讀/寫(xiě)RAM工作在40 MHz時(shí)鐘，計(jì)算出1 024點(diǎn)FFT的運(yùn)算時(shí)間約為52μs。本設(shè)計(jì)采用模塊化設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)，便于系統(tǒng)調(diào)試和實(shí)現(xiàn)，而且各設(shè)計(jì)模塊可以重復(fù)利用，避免重復(fù)相同的設(shè)計(jì)，從而縮短芯片設(shè)計(jì)開(kāi)發(fā)時(shí)間，更易于FFT處理器的結(jié)構(gòu)擴(kuò)展。整個(gè)FFT設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)新穎，實(shí)現(xiàn)容易，具有一定實(shí)用價(jià)值。

　　參考文獻(xiàn)

　?。?］程佩清.數(shù)字信號(hào)處理教程［M］.北京：清華大學(xué)出版社，2001.

　　［2］侯伯亨，顧新.VHDL硬件描述語(yǔ)言與數(shù)字邏輯電路設(shè)計(jì)［M］.西安：西安電子科技大學(xué)出版，1999.

　?。?］Stephan W.Mondwurf.BENEFITS OF THE CORDIC-ALGORITHM IN A VERSATILE COFDM MODULATOR/DEMODULATOR DESIGN［A］. Fourth IEEE International Caracas Conference on Devices, Circuits and Systems［C］.Aruba, April 17~19, 2002.

　?。?］趙忠武，陳禾，韓月秋.基于FPGA的32位浮點(diǎn)FFT處理器的設(shè)計(jì)［J］.電訊技術(shù)，2003，43（6）.

　?。?］Y.Ma，L.Wanhammar.A Hardware efficient control of memory addressing for high performance FFT processors［J］.IEEE transactions on signal processing, 2000,48(3):917~921.

　?。?］J.E.Volder.The CORDIC Trigonometric Computing Technique［J］. IRE Trans. on Electronic Computers,1959,8(3):330~334.

　?。?］韓穎，王旭，吳嗣亮.FPGA實(shí)現(xiàn)高速FFT處理器的設(shè)計(jì)［Ｊ］.電訊技術(shù)，2003，43（2）：74~78.

　?。?］A.M.Despain.Fourier Transform Computers Using CORDIC Iterations［J］.IEEE Trans.on Computers,1993,C-23(10):993~1001.