首先我們來看為什么要使用補(bǔ)碼運(yùn)算法：

因?yàn)槿四X可以知道第一位是符號(hào)位, 在計(jì)算的時(shí)候我們會(huì)根據(jù)符號(hào)位, 選擇對真值區(qū)域的加減. (真值的概念在本文最開頭). 但是對于計(jì)算機(jī), 加減乘數(shù)已經(jīng)是最基礎(chǔ)的運(yùn)算, 要設(shè)計(jì)的盡量簡單. 計(jì)算機(jī)辨別"符號(hào)位"顯然會(huì)讓計(jì)算機(jī)的基礎(chǔ)電路設(shè)計(jì)變得十分復(fù)雜! 于是人們想出了將符號(hào)位也參與運(yùn)算的方法. 我們知道, 根據(jù)運(yùn)算法則減去一個(gè)正數(shù)等于加上一個(gè)負(fù)數(shù), 即: 1-1 = 1 + (-1) = 0 , 所以機(jī)器可以只有加法而沒有減法, 這樣計(jì)算機(jī)運(yùn)算的設(shè)計(jì)就更簡單了.

于是人們開始探索 將符號(hào)位參與運(yùn)算, 并且只保留加法的方法. 首先來看原碼: 計(jì)算十進(jìn)制的表達(dá)式: 1-1=0

1 - 1 = 1 + (-1) = [00000001]原 + [10000001]原 = [10000010]原 = -2 。如果用原碼表示, 讓符號(hào)位也參與計(jì)算, 顯然對于減法來說, 結(jié)果是不正確的.這也就是為何計(jì)算機(jī)內(nèi)部不使用原碼表示一個(gè)數(shù). 為了解決原碼做減法的問題, 出現(xiàn)了反碼: 計(jì)算十進(jìn)制的表達(dá)式: 1-1=0 表達(dá)式1 - 1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原 + [1000 0001]原= [0000 0001]反 + [1111 1110]反 = [1111 1111]反 = [1000 0000]原 = -0

發(fā)現(xiàn)用反碼計(jì)算減法, 結(jié)果的真值部分是正確的. 而唯一的問題其實(shí)就出現(xiàn)在"0"這個(gè)特殊的數(shù)值上. 雖然人們理解上+0和-0是一樣的, 但是0帶符號(hào)是沒有任何意義的. 而且會(huì)有[0000 0000]原和[1000 0000]原兩個(gè)編碼表示0. 于是補(bǔ)碼的出現(xiàn), 解決了0的符號(hào)以及兩個(gè)編碼的問題: 表達(dá)式1-1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原 + [1000 0001]原 = [0000 0001]補(bǔ) + [1111 1111]補(bǔ) = [0000 0000]補(bǔ)=[0000 0000]原 。這樣0用[0000 0000]表示, 而以前出現(xiàn)問題的-0則不存在了.而且可以用[1000 0000]表示-128:

接下來我們來看補(bǔ)碼運(yùn)算原理：

在計(jì)算機(jī)里，如果我們要計(jì)算5-3的值，我們既可以用5減去3，也可以用5加上13。這是為什么呢?

這就像我們的鐘表，它從1點(diǎn)走到12點(diǎn)之后，又回到了1點(diǎn)。我們的計(jì)算機(jī)也是，從0走到15之后，再往下走就又回到了0，就像我們轉(zhuǎn)了一個(gè)圈一樣。我們從5這個(gè)位置往回退3個(gè)格，就完成了5-3這個(gè)計(jì)算。我們也可以從5這個(gè)位置往前走，一直走到15，這時(shí)我們走了10個(gè)格，然后我們繼續(xù)往前走，走到0，然后到1，然后就走到了2。這樣，我們往前走了13個(gè)格之后，也到了2這個(gè)位置。

所以說，在我們這個(gè)計(jì)算機(jī)中，減3和加13是一樣的。而3+13=16，我們說在模16的系統(tǒng)下，3和13是互補(bǔ)的。

這樣，我們計(jì)算5-3就可以換成5+13。3的二進(jìn)制表示為0011，5的二進(jìn)制表示為0101。這樣，0101-0011就可以表示為0101+(-0011)。

我們在計(jì)算機(jī)中都是把負(fù)數(shù)用其補(bǔ)碼表示，-0011的補(bǔ)碼就是10000-0011(即16-3，也就是13)。10000-0011=1+1111-0011=1+(1111-0011)=1+1100=1101。

我們總說補(bǔ)碼是“按位取反再加一”，看了上面這個(gè)式子相信大家就會(huì)明白了，其實(shí)就是把10000-0011換成了1111-0011再加1的形式。然后，0101-0011就換成了0101+1101，它們計(jì)算出來的結(jié)果為10010。由于我們的計(jì)算機(jī)只有四個(gè)bit，所以結(jié)果為0010。即，在模16的計(jì)算機(jī)中，5-3=5+13=2。