簡介

在本系列的第一篇文章中1，我考察了濾波器相位與濾波器實現(xiàn)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的關(guān)系。 在第二篇文章中2，我考察了低通和高通響應(yīng)濾波器傳遞函數(shù)的相位偏移。 這篇文章將重點討論帶通響應(yīng)。 雖然濾波器主要針對幅度響應(yīng)而設(shè)計，但在一些應(yīng)用中，相位響應(yīng)可能非常重要。

出于考察目的，有源濾波器的傳遞函數(shù)實際上是濾波器傳遞函數(shù)和放大器傳遞函數(shù)的級聯(lián)(見圖1)。

帶通傳遞函數(shù)

把低通原型的分子改為 ，結(jié)果將把濾波器變成一個帶通函數(shù)。 這會在傳遞函數(shù)內(nèi)引入一個零點。 分子中的一個s得到一個零點，分母中的一個s得到極點。 零點將產(chǎn)生頻率上升響應(yīng)，而極點將產(chǎn)生頻率下降響應(yīng)。

二階帶通濾波器的傳遞函數(shù)變?yōu)椋?/p>

此處的ω為濾波器增益峰值化時的頻率(F0 = 2 π ω0)。

H0為電路增益(Q峰值化)，定義為：

其中，H為濾波器實現(xiàn)的增益。

對帶通響應(yīng)來說，Q有特殊意義。 它是濾波器的選擇性。 定義為：

其中，F(xiàn)L和FH為響應(yīng)比最大值相差–3 dB時的頻率。

濾波器的帶寬(BW)定義為：

可以證明，諧振頻率(F0)為FL和FH的幾何平均值，這就意味著，F(xiàn)0在對數(shù)尺度上將出現(xiàn)在FL和FH二者的中點。

另需注意的是，在對數(shù)尺度上，帶通響應(yīng)的波裙在F0左右始終是對稱的。

帶通濾波器對各種Q值的幅度響應(yīng)如圖2所示。在此圖中，中心頻率的增益歸一化為1 (0 dB)。 

 雖然本文主要關(guān)注相位響應(yīng)，但了解下濾波器幅度響應(yīng)也很有用。

這里需要提醒一下。 帶通濾波器有兩種定義方式。 窄帶情況為經(jīng)典定義，如上文所示。 然而，在某些情況下，如果高、低截止頻率相差很大，則帶通濾波器采用獨立的高通和低通部分進(jìn)行構(gòu)造。 這里所說的相差很大是說至少相差2個倍頻程(頻率×4)。 這就是寬帶情況。 本文中，我們主要關(guān)注窄帶情況。 對于寬帶情況，可將濾波器視為獨立的高通和低通部分。

雖然帶通濾波器可用巴特沃茲、貝塞爾或切比雪夫等標(biāo)準(zhǔn)響應(yīng)定義，但它們也通常按照其Q和F0定義。

帶通濾波器的相位響應(yīng)為：

請注意，不存在單極點帶通濾波器。

圖3從中心頻率的1%到中心頻率的100倍對公式6進(jìn)行估值。 中心頻率的相移為0°。 中心頻率為1，Q等于0.707。 此Q與前一篇文章中使用的Q相同，但該篇文章中我們使用的是α。記住，α = 1/Q。

觀察后發(fā)現(xiàn)，此曲線的形狀基本上與低通(和相應(yīng)的高通)的曲線形狀相同。 但是，本例中相移從中心頻率下方90°開始，在中心頻率處趨于0°，最后結(jié)束于中心頻率上方–90°。

在圖4中，我們考察了在Q不斷變化時帶通濾波器的相位響應(yīng)。觀察傳遞函數(shù)可以發(fā)現(xiàn)，相位變化可能發(fā)生在相對較大的頻率范圍內(nèi)，變化的范圍與電路的Q成反比。 同樣，在觀察后發(fā)現(xiàn)，曲線的形狀與低通(和高通)響應(yīng)相同，僅范圍有差異。 

放大器傳遞函數(shù)

之前的部分顯示，傳遞函數(shù)基本上就是單極點濾波器的傳遞函數(shù)。 雖然放大器的相移通常被忽視，但它可影響復(fù)合濾波器的整體傳遞。 本文隨機(jī)選擇了AD822用于濾波器的仿真。 這樣選擇的部分原因是為了最大程度地降低對濾波器傳遞函數(shù)的影響。 這是因為，放大器相移的頻率明顯高于濾波器本身的轉(zhuǎn)折頻率。 AD822的傳遞函數(shù)如圖5所示，其信息直接取自數(shù)據(jù)手冊。

示例1： Q = 20的1 kHz 2極點帶通濾波器

第一個示例開始時是作為帶通設(shè)計的濾波器。 我們隨意選擇了一個1 kHz的中心頻率和數(shù)值為20的Q。由于Q在較高的一側(cè)，因此我們將使用雙放大器帶通(DABP)配置。 同樣，這是隨意選擇的。

我們使用參考1的設(shè)計公式。相應(yīng)的電路如圖6所示： 

本文中我們主要關(guān)注相位，但我認(rèn)為考察下幅度響應(yīng)也很有用。 

 圖8所示為相位響應(yīng)： 

 應(yīng)當(dāng)注意，DABP配置為同相。 圖8與圖3一致。

示例2： 從1 kHz、3極點0.5 dB切比雪夫低通到帶通濾波器的轉(zhuǎn)換

濾波器原理以低通原型為基礎(chǔ)，低通原型可以其他形式表示。 本例使用的原型是1 kHz、3極點、0.5 dB切比雪夫濾波器。 選擇切比雪夫濾波器是因為，如果響應(yīng)不正確，它可以顯示得更清楚。 例如，通帶中的紋波將不會排成一行。 在本例中，巴特沃茲濾波器可能過于寬松。 選擇3極點濾波器是為了能夠轉(zhuǎn)換一個極點對和單個極點。

LP原型的極點位置(來自參考1)為：

第一級為極點對，第二級為單極點。 請注意，用α表示兩個完全不同的參數(shù)的做法是不可取的。 左側(cè)的α和β為復(fù)平面上的極點位置。 這些是轉(zhuǎn)換算法中使用的值。 右側(cè)的α為1/Q，這正是物理濾波器設(shè)計等式所希望看到的。

現(xiàn)在，低通原型被轉(zhuǎn)換成了帶通濾波器。 參考1中列出的一系列等式用于轉(zhuǎn)換。 原型濾波器的每個極點都將轉(zhuǎn)換成一個極點對。 因此，轉(zhuǎn)換完成時，3極點原型將擁有6個極點(3個極點對)。 此外，原點處將有6個零點。 不存在單極點帶通。

轉(zhuǎn)換過程的部分工作是指定可合成的濾波器的3 dB帶寬。 在這種情況下，該帶寬將被設(shè)為500 Hz。 產(chǎn)生的轉(zhuǎn)換結(jié)果如下：

實際上，先將更低的增益和Q部分放入串中可能很有用，因為這可最大程度地提高信號電平處理能力。 前兩級存在增益要求的原因在于，相對于總濾波器中心頻率，它們的中心頻率將會衰減(也就是說，它們將在其他部分的波裙上)。

由于結(jié)果得到的Q適中(小于20)，因而將選用多級反饋拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。 我們使用參考1中多路反饋帶通濾波器的設(shè)計方程設(shè)計濾波器。 圖9顯示了濾波器本身的原理圖。

圖10. 1 kHz、6極點、0.5 dB切比雪夫帶通濾波器的相位響應(yīng)

 圖10中可以看到完整濾波器的相移。 曲線圖單獨顯示了第一部分的相移(第1部分)、前兩個部分的組合相移(第2部分)，以及完整濾波器的相移(第3部分)。 這些曲線顯示了“實際”濾波器部分的相移，其中包括放大器的相移和濾波器拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的反相。

圖10中有幾點細(xì)節(jié)需要注意。第一，相位響應(yīng)具有累積性。 第一部分顯示了180°的相位變化(濾波函數(shù)的相移，忽視了濾波器拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的相移)。 第二部分顯示了因具有兩部分而產(chǎn)生的360°相位變化，每個部分180°。 記住，360° = 0°。 第三部分顯示了540°的相移，每個部分180°。 還應(yīng)注意，在高于10 kHz的頻率處，我們開始看到相位因放大器響應(yīng)而輕微滾降。 還可以看出，滾降也具有累積性，會隨著每個部分而增大。

在圖11中我們可以看到完整濾波器的幅度響應(yīng)。

結(jié)論

本文討論的是帶通濾波器的相移。 在前面幾篇文章中，我們考察了與濾波器拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)相關(guān)的相移以及低通和高通拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的相移。 在后續(xù)文章中，我們將考察陷波濾波器和全通濾波器。 在最后一期，我們將總結(jié)并考察相移如何影響濾波器的瞬態(tài)響應(yīng)，同時還會考察群延遲、脈沖響應(yīng)、階躍響應(yīng)，以及它們對信號的意義。