1.前言

波特圖是一種非常流行的確定動態(tài)系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法。然而，有時波特圖并不是一個簡單的穩(wěn)定性指標(biāo)。

圖 1 顯示了 TI 的 TPS40425 同步降壓轉(zhuǎn)換器的波特圖。在此應(yīng)用中，在降壓轉(zhuǎn)換器的輸出端使用了一個 π 濾波器。

圖 1：具有輸出 π 濾波器的降壓轉(zhuǎn)換器的波特圖

由于 π 濾波器中使用的鐵氧體磁珠在負(fù)載電流范圍內(nèi)具有不同的電感，因此在不同負(fù)載條件下測量的波特圖差異很大。在空閑時，測量的波特圖具有多個 0db 增益交叉。在這種情況下很難應(yīng)用相位裕度和增益裕度標(biāo)準(zhǔn)。相反，我使用了奈奎斯特穩(wěn)定性準(zhǔn)則。

奈奎斯特穩(wěn)定性準(zhǔn)則著眼于笛卡爾坐標(biāo)系中開環(huán)系統(tǒng)的奈奎斯特圖，其中 s = jω。假設(shè)開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為 F(s)，奈奎斯特圖是 F (jω) 傳遞函數(shù)的圖，其中 ω 從 -∞ 到 +∞。穩(wěn)定性是通過查看 (-1,0j) 點的包圍數(shù)來確定的。如果 (-1,0j) 被 F(s) 逆時針環(huán)繞的次數(shù)等于 F(s) 的右半平面極點，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。在本例中，如果降壓轉(zhuǎn)換器沒有右半平面極點，則 (-1,0j) 的圈數(shù)表示穩(wěn)定性。

伯德圖是線性非時變系統(tǒng)的傳遞函數(shù)對頻率的半對數(shù)坐標(biāo)圖，其橫軸頻率以對數(shù)尺度（log scale）表示，縱坐標(biāo)幅值或相角采用線性分度，利用伯德圖可以看出系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。伯德圖一般是由二張圖組合而成， 伯德圖由兩張圖組成：①G(jω)的幅值(以分貝，dB表示)-頻率(以對數(shù)標(biāo)度)對數(shù)坐標(biāo)圖，其上畫有對數(shù)幅頻曲線；②G(jω)的相角-頻率(以對數(shù)標(biāo)度)對數(shù)坐標(biāo)圖，其上畫有相頻曲線。

奈奎斯特圖，是一種線性控制系統(tǒng)的頻率特性圖，對于一個連續(xù)時間的線性非時變系統(tǒng)，將其頻率響應(yīng)的增益及相位以極坐標(biāo)的方式繪出。奈奎斯特圖上每一點都是對應(yīng)一特定頻率下的頻率響應(yīng)，該點相對于原點的角度表示相位，而和原點之間的距離表示增益，因此奈奎斯特圖將振幅及相位的Bode 圖綜合在一張圖中。 一般的系統(tǒng)有低通濾波性的特性，高頻時的頻率響應(yīng)會衰減，增益降低，因此在奈奎斯特圖中會出現(xiàn)在較靠近原點的區(qū)域。

我們可以從測量的 Bode 圖導(dǎo)出 Nyquist 圖。我先保存數(shù)據(jù)，我使用的分析儀提供以分貝為單位的幅度和以度為單位的相位的數(shù)據(jù)，如圖 2 所示。不同的頻率分析儀提供不同的格式。有頻率分析儀可以提供復(fù)數(shù)數(shù)據(jù)。

圖 2：頻率分析儀從波特圖測量中保存的數(shù)據(jù) 

等式 1 將幅度和相位轉(zhuǎn)換為復(fù)數(shù)：

(1)                                                                                                                                                

其中 M n是幅度，θ n是測量的 F(s) 的相位，其中 s = j2πf n。

應(yīng)用公式 1 后，我在笛卡爾坐標(biāo)系中繪制了復(fù)數(shù)。圖 3 中顯示的曲線是從 100Hz 到 1MHz 的頻率。這是從 0Hz 到 +∞Hz 的繪圖的一個很好的近似值。從 -∞Hz 到 0Hz 的圖是從 100Hz 到 1MHz 在笛卡爾坐標(biāo)中水平鏡像的圖。我將圖中從 -∞Hz 到 0Hz 的部分添加到圖 3 并形成圖 4。

圖 3：從 100Hz 到 1MHz 頻率的波特圖導(dǎo)出的奈奎斯特圖

圖 4：從 -1MHz 到 -100Hz 和 100Hz 到 +1MHz 的 Bode 圖導(dǎo)出的 Nyquist 圖

單位增益圓周圍的路徑與系統(tǒng)穩(wěn)定性最相關(guān)。我放大了靠近單位增益圓的區(qū)域。由于該系統(tǒng)是電壓模式降壓轉(zhuǎn)換器，我知道直流增益超過 90dB，相位從 0 度開始。我可以在完整的 Nyquist 圖中在較低頻率處近似繪制該圖，如圖 5 所示。

圖 5：系統(tǒng)空閑時從 -∞Hz 到 +∞Hz 的近似奈奎斯特圖

沿著 -∞Hz 的箭頭，我們可以看到 Nyquist 圖沒有環(huán)繞 (-1,0j) 點。系統(tǒng)穩(wěn)定。我繪制了一個半徑為 0.766 且以 (-1,j0) 為中心的藍(lán)色圓圈。如果奈奎斯特圖沒有進(jìn)入這個藍(lán)色圓圈，則相位裕度大于 45 度，增益裕度應(yīng)大于 12dB。

按照相同的程序，圖 6 顯示了滿載時的奈奎斯特圖。沿著箭頭，我們可以看到奈奎斯特圖也沒有環(huán)繞 (-1,0j) 點。并且這個奈奎斯特圖在安全圈之外，如前所述。

圖 6：系統(tǒng)滿載時從 -∞Hz 到 +∞Hz 的近似奈奎斯特圖

當(dāng) Bode 圖無法直接表示穩(wěn)定性時，請考慮使用 Nyquist 圖。在這篇文章中向我們展示了如何將測量的 Bode 圖轉(zhuǎn)換為 Nyquist 圖以及如何使用 Nyquist 穩(wěn)定性標(biāo)準(zhǔn)來判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。