引言

在分析、設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)的過程中,數(shù)學(xué)模型的建立至關(guān)重要。依靠數(shù)學(xué)模型,可以對(duì)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特性和輸入輸出關(guān)系有進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)。實(shí)驗(yàn)室電加熱鍋爐溫控系統(tǒng)在經(jīng)過一系列的參數(shù)調(diào)整之后可以完成對(duì)溫度的較好控制,但在實(shí)際應(yīng)用中,由于溫度變化是個(gè)緩慢的過程,有一定的滯后性,這就使得溫控系統(tǒng)參數(shù)的調(diào)節(jié)往往需要較長的時(shí)間。

通過建立數(shù)學(xué)模型和仿真即能快速地將參數(shù)變化和溫度變化趨勢對(duì)應(yīng)起來,仿真結(jié)果相較于實(shí)驗(yàn)結(jié)果更快速,因此,溫控系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的研究對(duì)于實(shí)際系統(tǒng)參數(shù)設(shè)定及調(diào)整具有重要意義。

1數(shù)學(xué)建模方法

數(shù)學(xué)模型是對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的定量描述,在解決實(shí)際問題的過程中,首先要建立被控對(duì)象的數(shù)學(xué)模型,簡稱"建模",系統(tǒng)建模主要有機(jī)理分析建模和系統(tǒng)辨識(shí)兩大類方法。

機(jī)理分析建模方法是利用物理、化學(xué)等定律,推導(dǎo)出能夠描述系統(tǒng)特性及內(nèi)在結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)表達(dá)式,即機(jī)理模型。在系統(tǒng)結(jié)構(gòu)不太復(fù)雜的情況下,機(jī)理建模具有一定的優(yōu)勢,更能反映系統(tǒng)各環(huán)節(jié)間的相互聯(lián)系,體現(xiàn)局部環(huán)節(jié)的輸入及輸出關(guān)系,便于找到問題的癥結(jié)所在。當(dāng)然,由于機(jī)理建模往往需要對(duì)系統(tǒng)的運(yùn)行進(jìn)行簡化和假設(shè),所建模型與實(shí)際系統(tǒng)之間難免存在誤差。

系統(tǒng)辨識(shí)是現(xiàn)代控制理論中的重要分支,通過辨識(shí)建模是建立在大量實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)基礎(chǔ)之上的。辨識(shí)建模就是通過估計(jì)系統(tǒng)的重要參數(shù),建立模仿真實(shí)系統(tǒng)運(yùn)行的模型。依據(jù)某一準(zhǔn)則,從一組模型中篩選出一個(gè)與數(shù)據(jù)擬合得最好的模型,進(jìn)而描述研究對(duì)象的靜態(tài)或動(dòng)態(tài)特性。

系統(tǒng)辨識(shí)建模只與系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系有關(guān),且依賴于被控對(duì)象正常運(yùn)行或?qū)嶒?yàn)時(shí)所得數(shù)據(jù),因此,建模被控對(duì)象必須能夠進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。

通過辨識(shí)所得模型難以有效反映系統(tǒng)的內(nèi)在信息及系統(tǒng)本質(zhì)。經(jīng)典的系統(tǒng)辨識(shí)方法有:脈沖響應(yīng)法、階躍響應(yīng)法、頻率響應(yīng)法、最大似然法和最小二乘法等,其中,最經(jīng)典、應(yīng)用最廣泛的是最小二乘法。

機(jī)理建模和辨識(shí)建模都存在一定的優(yōu)缺點(diǎn),最有效的方法是將二者結(jié)合起來。人們?cè)诮r(shí),可由機(jī)理分析提出模型結(jié)構(gòu),比如系統(tǒng)的類型或階次等,為了準(zhǔn)確地描述系統(tǒng)的定量關(guān)系以及避免建模誤差,則采用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)確定出模型參數(shù)。

2數(shù)學(xué)模型的建立

2.1機(jī)理模型的建立

本文以PCT-Ⅱ型過程控制實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)中的電加熱鍋爐為控制對(duì)象,鍋爐采用不銹鋼材質(zhì)。加熱層(內(nèi)膽)和冷卻層(外套)都設(shè)有溫度傳感器,傳感器選用Cu50。由于機(jī)理模型能夠反映溫控系統(tǒng)各環(huán)節(jié)間的聯(lián)系及內(nèi)在屬性,所以,首先對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行機(jī)理建模。

由熱力學(xué)第一定律的內(nèi)容可列寫如下微分方程:

式中,O為單位時(shí)間內(nèi)電阻絲產(chǎn)生的熱量:c、c水分別為鍋爐加熱絲及水的質(zhì)量:7、7水分別為加熱絲及水的比熱容:l0、l0'分別為加熱前、后內(nèi)膽水溫:s為不銹鋼傳熱系數(shù):S為傳熱面積。

u為鍋爐加熱絲電壓,由于O與u之間呈非線性的關(guān)系,因此,需采用將非線性近似線性化的方法,即選取一個(gè)平衡點(diǎn)(O,u0),在該點(diǎn)處做曲線的切線,得K'=AO/Au。

于是,上述微分方程可寫為:

式中,l為加熱鍋爐時(shí)間常數(shù),l=c7/(sS+7水c水):Al為溫度差,Al=l0'-l0:K為加熱鍋爐傳熱系數(shù),K=K'/(sS+7水c水)。

在零初始條件下,對(duì)上式進(jìn)行拉氏變換,所得傳遞函數(shù)即可描述爐內(nèi)溫度變量對(duì)輸入電壓變量響應(yīng)關(guān)系:

2.2機(jī)理模型基礎(chǔ)上辨識(shí)建模

由于加熱鍋爐的內(nèi)膽溫度與外套溫度之間存在耦合,耦合關(guān)系的改變會(huì)導(dǎo)致傳遞函數(shù)的改變,且耦合系數(shù)隨爐內(nèi)溫度變化呈較強(qiáng)的非線性特性,所建數(shù)學(xué)模型的適應(yīng)對(duì)象范圍小,所以,在機(jī)理建模的基礎(chǔ)上進(jìn)行較簡單的多變量系統(tǒng)辨識(shí),假設(shè)系統(tǒng)的模型在某個(gè)較小范圍內(nèi)不變,通過采集數(shù)據(jù),完成系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立。

具體實(shí)驗(yàn)過程如下:設(shè)定內(nèi)膽的初始電壓為18(內(nèi)膽設(shè)定范圍0~75,對(duì)應(yīng)0~220V),加熱內(nèi)膽水溫至穩(wěn)定不變。保持外套電壓開度不變,輸入階躍信號(hào),將內(nèi)膽電壓給定由18升至25,設(shè)定采樣周期為20s,記錄內(nèi)膽水溫值變化過程,直到采樣值保持穩(wěn)定,停止實(shí)驗(yàn)。內(nèi)膽水溫?cái)?shù)據(jù)記錄如下:60 .7 ,62 .0 , 63.0,64.2 ,65.0,66.0,66.8 ,67.0,67.6,68.1,68.3,68.8 ,6 9.1,69.4 ,69.7,70.3,70.7,71.1,71.6,71.9 ,72.3,72.6,72.8 ,73.0,73.2 ,73 .5,73.7,73.8,73.9,74.1,74.1,74.2,74.3,74.4,74.4 ,74.5,74.6,74.6 ,74.6 ,74.6。

由機(jī)理建模所得數(shù)學(xué)模型,我們可以假設(shè)對(duì)象的傳遞函數(shù)為一階,利用MATLAB仿真軟件的線擬合工具箱對(duì)所采集到的數(shù)據(jù)進(jìn)行線性擬合,得到輸出溫度擬合曲線如圖1所示。

進(jìn)而求得模型各參數(shù)的值,并得到傳遞函數(shù)為:

3數(shù)學(xué)模型的仿真應(yīng)用

得到系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型之后,就可以完成PID調(diào)節(jié)器參數(shù)的整定,該溫控系統(tǒng)主要是對(duì)比例參數(shù)KP、積分時(shí)間常數(shù)TI這兩個(gè)參數(shù)的調(diào)整。根據(jù)所得傳遞函數(shù)選擇若干組KP、TI參數(shù)值,通過MATLAB仿真,比較各組參數(shù)下仿真曲線響應(yīng)速度及超調(diào)量,如圖2所示。

由圖2可知,實(shí)線所對(duì)應(yīng)的KP、TI參數(shù)值對(duì)該模型下的控制效果較好,因此,將該組數(shù)據(jù)作為實(shí)驗(yàn)溫控系統(tǒng)PID參數(shù)整定的初始值,在實(shí)驗(yàn)中,將內(nèi)膽水溫設(shè)定值由62℃變化至73℃時(shí),由組態(tài)界面觀測內(nèi)膽水溫變化曲線如圖3所示。

由圖3可以看出,依據(jù)數(shù)學(xué)建模所得參數(shù)對(duì)實(shí)際溫控系統(tǒng)具有指導(dǎo)作用,內(nèi)膽水溫調(diào)節(jié)時(shí)間較短,基本可以做到無超調(diào),控制效果較好。

4結(jié)語

本文通過對(duì)溫控系統(tǒng)特性的分析對(duì)控制對(duì)象完成了機(jī)理數(shù)學(xué)模型的建立,在此基礎(chǔ)上,采用系統(tǒng)辨識(shí)建模方法,根據(jù)采集到的大量實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),對(duì)各參數(shù)值進(jìn)行了確定及修正,最終確定了數(shù)學(xué)模型。有了精確的數(shù)學(xué)模型,通過對(duì)不同PID控制參數(shù)下傳遞函數(shù)的MATLAB仿真,確定了實(shí)驗(yàn)最佳KP、TI初始值。實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明,該組參數(shù)能夠獲得較小的超調(diào)量和較短的調(diào)節(jié)時(shí)間,數(shù)學(xué)模型的建立及仿真能夠?qū)?shí)際系統(tǒng)參數(shù)設(shè)置及調(diào)節(jié)起到指導(dǎo)作用。