在微型計(jì)算機(jī)中，所有信息(如數(shù)值、符號(hào)和圖像等)均以二進(jìn)制形式存儲(chǔ)、傳輸和計(jì)算。由于二進(jìn)制數(shù)冗長(zhǎng)、不方便讀寫和辨認(rèn)，因此，現(xiàn)代微型計(jì)算機(jī)也支持編程時(shí)使用書寫長(zhǎng)度更短的十六進(jìn)制數(shù)和十進(jìn)制數(shù)，同時(shí)也為各種非數(shù)值信息提供了相應(yīng)的數(shù)值編碼(即用數(shù)值表示非數(shù)值信息)方法。

數(shù)制

計(jì)算機(jī)應(yīng)用中，最常用的數(shù)制有二進(jìn)制(Binary)、十六進(jìn)制(Hexadecimal)和十進(jìn)制(Decimal)。本文將介紹這三種進(jìn)制的數(shù)值表示方法，以及它們之間的轉(zhuǎn)換方法。

1.進(jìn)制數(shù)的表示和計(jì)算

二進(jìn)制數(shù)由數(shù)字0和1表示，十進(jìn)制數(shù)由數(shù)字0~9表示，而十六進(jìn)制數(shù)則由數(shù)字0~9以及大寫或小寫的英文字母A、B、C、D、E和F表示。表1-1給出了部分二進(jìn)制數(shù)、十進(jìn)制數(shù)和十六進(jìn)制數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

數(shù)值通常以其數(shù)制的英文名稱的開頭字母(大、小寫均可)為后綴，例如：10B、7FH和39D分別為二進(jìn)制、十六進(jìn)制和十進(jìn)制數(shù)。十進(jìn)制數(shù)的后綴字母D可以省略。進(jìn)行加法計(jì)算時(shí)，二進(jìn)制數(shù)、十進(jìn)制數(shù)和十六進(jìn)制數(shù)分別遵循“逢二進(jìn)一”“逢十進(jìn)一”和“逢十六進(jìn)一”的原則。例如：1B+01B=10B;09D+1D=10D;09H+1H=0AH。

2.進(jìn)制的轉(zhuǎn)換

任意一個(gè)數(shù)an?1an?2…a0.a?1a?2…a?m，無(wú)論其以何種進(jìn)制表示，都可以按照下式轉(zhuǎn)換成對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)N：

式中，b為基數(shù)，二進(jìn)制數(shù)、十進(jìn)制數(shù)和十六進(jìn)制數(shù)的基數(shù)分別為2、10和16;ai為數(shù)的第i位，是在0~(b-1)范圍內(nèi)的自然數(shù);bi為該數(shù)第i位的權(quán)值;n和m分別為該數(shù)整數(shù)部分和

小數(shù)部分的位數(shù)?？梢?jiàn)，將任意進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)是一個(gè)加權(quán)求和的過(guò)程。例如，十六進(jìn)制數(shù)0FAH=(0FH×161+0AH×160)=(15×16+10×1)=250D=250。

二進(jìn)制數(shù)、十六進(jìn)制數(shù)和十進(jìn)制數(shù)之間的轉(zhuǎn)換方法如圖1-10所示。將十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)和十六進(jìn)制數(shù)時(shí)，應(yīng)重復(fù)進(jìn)行除法，直到余數(shù)為0為止，并且各次除法所得的余數(shù)中，最先得到和最后得到的余數(shù)分別為轉(zhuǎn)換結(jié)果的最低位和最高位，其他依此類推。

圖1-10進(jìn)制轉(zhuǎn)換方法示意圖

數(shù)據(jù)在計(jì)算機(jī)中的表示

數(shù)據(jù)可以分為無(wú)符號(hào)數(shù)和有符號(hào)數(shù)兩類，其中無(wú)符號(hào)數(shù)的所有二進(jìn)制位都是數(shù)值位，處理起來(lái)比較簡(jiǎn)單;而有符號(hào)數(shù)有正負(fù)之分，在計(jì)算機(jī)中表示和處理起來(lái)相對(duì)復(fù)雜。本節(jié)重點(diǎn)介紹幾種常用有符號(hào)數(shù)的表達(dá)方式。

1.真值和機(jī)器數(shù)

計(jì)算機(jī)只能以二進(jìn)制形式處理數(shù)據(jù)，包括代表數(shù)值正或負(fù)的符號(hào)“+”和“-”也只能用二進(jìn)制數(shù)表示。在現(xiàn)代計(jì)算機(jī)中，通常將二進(jìn)制數(shù)的最高位作為符號(hào)位以表示數(shù)的正負(fù)，該位為0代表正號(hào)，為1代表負(fù)號(hào)。這種將符號(hào)進(jìn)行數(shù)值化表示的數(shù)被稱為機(jī)器數(shù)，而其對(duì)應(yīng)的原始數(shù)據(jù)被稱為真值。

2.原碼

原碼就是機(jī)器數(shù)。通常用[X]原表示數(shù)據(jù)X的原碼。例如，真值+18和-18所對(duì)應(yīng)的8位機(jī)器數(shù)分別是[+18]原=00010010B和[-18]原=10010010B。另外計(jì)算機(jī)中存在+0和-0，[+0]原=00000000B、[-0]原=10000000B。

需要注意，在計(jì)算機(jī)中，數(shù)據(jù)所含二進(jìn)制位的個(gè)數(shù)是有限的，受到CPU字長(zhǎng)的限制。因此，將真值轉(zhuǎn)換成機(jī)器數(shù)時(shí)，必須預(yù)先明確機(jī)器數(shù)的位數(shù)。這一點(diǎn)，在處理反碼和補(bǔ)碼時(shí)也同樣要注意到。

在本書后面的章節(jié)中，若不做特別聲明，則默認(rèn)CPU的字長(zhǎng)和數(shù)據(jù)的位數(shù)均為8位。

3.反碼

正數(shù)的反碼和原碼相同。負(fù)數(shù)反碼的最高位(即符號(hào)位)為1，其余位各位為原碼各位按位取反。數(shù)據(jù)X的反碼用[X]反表示。例如：[+18]反=00010010B;[-18]反=11101101B。+0和-0的反碼不同，[+0]反=00000000B、[-0]反=11111111B。

4.補(bǔ)碼

正數(shù)的補(bǔ)碼與原碼相同，通過(guò)以下兩種方法可以得到負(fù)數(shù)X的補(bǔ)碼：

1)[X]補(bǔ)=[X]反+1。

2)[X]補(bǔ)=2n+X。其中，n是二進(jìn)制數(shù)的位數(shù);2n為n位二進(jìn)制數(shù)的“?！?可以理解為n位二進(jìn)制數(shù)所能表示的不同的數(shù)的個(gè)數(shù))。

對(duì)一個(gè)字長(zhǎng)為n的CPU，若X>0，則(2n+X)的結(jié)果是X。因?yàn)椋珠L(zhǎng)為n的CPU只能完成n位二進(jìn)制運(yùn)算。當(dāng)加法結(jié)果大于模2n時(shí)，將產(chǎn)生進(jìn)位，使得運(yùn)算結(jié)果中超出模的部分被舍棄掉，而被舍棄掉的部分的數(shù)值大小為2n，進(jìn)一步可知，對(duì)于任意整數(shù)m，(2n+m×X)的結(jié)果也是X。在數(shù)學(xué)上，這種情況被稱為“同余”，即兩個(gè)整數(shù)a和b除以同一個(gè)整數(shù)K后所得的余數(shù)相同，被稱為a和b對(duì)于模K“同余”，記作：a(mod K)=b(mod K)。對(duì)于n位的CPU來(lái)說(shuō)，在進(jìn)行加減計(jì)算時(shí)，對(duì)于模2n同余的兩個(gè)數(shù)之間并沒(méi)有差別。

另外，設(shè)X和Y為整數(shù)，則補(bǔ)碼還有以下運(yùn)算規(guī)則：

1){[X]補(bǔ)}補(bǔ)=[X]原

2)[X+Y]補(bǔ)=2n+(X+Y)=2n+2n+(X+Y)=(2n+X)+(2n+Y)=[X]補(bǔ)+[Y]補(bǔ)

3)[X-Y]補(bǔ)=2n+(X-Y)=2n+2n+(X-Y)=(2n+X)+[2n+(-Y)]=[X]補(bǔ)+[-Y]補(bǔ)

若補(bǔ)碼為8位二進(jìn)制數(shù)，則[-18]補(bǔ)=28+X=256-18=238=11101110B。另外，也可以計(jì)算正

數(shù)的補(bǔ)碼。例如：+18的8位二進(jìn)制補(bǔ)碼為[+18]補(bǔ)=28+18=18(mod 256)=18，需要說(shuō)明的是，該計(jì)算過(guò)程的最后一個(gè)等號(hào)是成立的，因?yàn)?位二進(jìn)制數(shù)計(jì)算過(guò)程中，第7位(最高位)的進(jìn)位無(wú)法保存將被舍棄掉。

另外，根據(jù)補(bǔ)碼的計(jì)算方法可知，+0和-0的補(bǔ)碼相同，[-0]補(bǔ)=[+0]補(bǔ)=00000000B。

在現(xiàn)代微型計(jì)算機(jī)中，有符號(hào)數(shù)會(huì)自動(dòng)被計(jì)算機(jī)轉(zhuǎn)換成補(bǔ)碼，并以補(bǔ)碼的形式存放和參與計(jì)算。在補(bǔ)碼計(jì)算過(guò)程中，符號(hào)位也參與計(jì)算，即便如此，也能得到正確的計(jì)算結(jié)果，并且引入補(bǔ)碼后，可以將減法運(yùn)算轉(zhuǎn)換為補(bǔ)碼的加法運(yùn)算。

常用編碼

在計(jì)算機(jī)中，常用的編碼有BCD碼和ASCII碼。

1.BCD碼

BCD碼的英文表達(dá)為Binary Coded Decimal。顧名思義，BCD碼是用二進(jìn)制編碼的十進(jìn)制數(shù)，只能由0~9的數(shù)字構(gòu)成，并且按照十進(jìn)制的“逢十進(jìn)一”法則進(jìn)行運(yùn)算。BCD碼又分為壓縮BCD碼和非壓縮BCD碼兩種，其中：壓縮BCD碼用4位二進(jìn)制數(shù)表示1位十進(jìn)制數(shù);而非壓縮BCD碼用8位二進(jìn)制數(shù)表示1位十進(jìn)制數(shù)。另外，因?yàn)榘凑毡?-1可以方便地進(jìn)行4位二進(jìn)制數(shù)與1位十六進(jìn)制數(shù)的轉(zhuǎn)換，并且與二進(jìn)制數(shù)相比，十六進(jìn)制數(shù)更易于書寫和記憶，所以，在實(shí)際應(yīng)用中通常將BCD碼表示為十六進(jìn)制數(shù)。

2.ASCII碼

除了數(shù)值信息外，計(jì)算機(jī)還需處理字符、按鍵等非數(shù)值信息。而這些非數(shù)值信息也必須以二進(jìn)制數(shù)的方式進(jìn)行編碼處理。ASCII碼是美國(guó)信息交換標(biāo)準(zhǔn)代碼(American Standard Code for Information Interchange)的簡(jiǎn)稱，是一種應(yīng)用廣泛的編碼方法。

每個(gè)ASCII編碼均由7位二進(jìn)制數(shù)構(gòu)成，ASCII碼表包含128個(gè)字符的ASCII碼。這些字符可以分成兩類，包括：①圖形字符，這類字符可以打印和顯示，如鍵盤上的英文字母“A”“B”和標(biāo)點(diǎn)符號(hào)“，”“?！钡?②控制類字符，這類字符不能被打印和顯示，主要用于計(jì)算機(jī)的控制操作，如PC鍵盤上的鍵和鍵等。