0引言

行星齒輪傳動系統(tǒng)因傳動效率高、傳動比大、傳動平穩(wěn)以及緊湊的結(jié)構(gòu)特性,被廣泛應(yīng)用于直升飛機主減速器。然而,傳動時非線性因素不可避免,這使得傳動過程中的動態(tài)響應(yīng)變得復(fù)雜多變。振動已經(jīng)成為導(dǎo)致高速齒輪傳動發(fā)生破壞失效的一種主要形式,因此,基于齒輪動力學(xué)的振動可靠性分析也越發(fā)重要。

在工程實際中,由于制造、加工、裝配等誤差、磨 損、潤滑、工作環(huán)境等因素變化,齒輪傳動系統(tǒng)中充滿諸多不確定性因素,這些因素嚴(yán)重影響了齒輪傳動系統(tǒng)的運動特性和可靠性。因此,國內(nèi)外學(xué)者進行了大量研究,孫志禮等人^[1]以振動周期內(nèi)隨機振幅超限為失效準(zhǔn)則,基于超越法將動力學(xué)與可靠性聯(lián)系起來,定義了隨機參數(shù)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的振動響應(yīng)可靠度。 Nejad等人^[2]基于ISO齒輪設(shè)計規(guī)范提出了一種長期疲勞損傷評估方法,該方法采用荷載持續(xù)時間分布法和兩種動態(tài)模型確定風(fēng)電傳動系統(tǒng)齒輪的可靠性和失效壽命概率。陳川^[3]在研究風(fēng)電齒輪箱傳動系統(tǒng)的可靠性模型時,運用條件概率思想,將激振力頻率與系統(tǒng)固有頻率關(guān)聯(lián)起來構(gòu)建可靠性模型,計算了各零部件的振動可靠性,進而建立了串聯(lián)系統(tǒng)可靠性模型,并進一步求解了風(fēng)電齒輪箱傳動系統(tǒng)的振動可靠性。wang等人^[4]建立了單級直齒輪副區(qū)間參數(shù)動力學(xué)模型,研究了嚙合剛度、輸入轉(zhuǎn)矩、傳動誤差和齒隙等隨機參數(shù)對齒輪傳動系統(tǒng)振動速度區(qū)間和傳動可靠性的影響。

上述齒輪可靠性分析中,系統(tǒng)的運動狀態(tài)鮮被考慮在內(nèi)。在行星齒輪傳動過程中,由于各種非線性因素的存在,系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)復(fù)雜多變。尤其是復(fù)雜的混沌運動,不僅會降低動力傳遞時的穩(wěn)定性,還會加劇齒輪的磨損,這將導(dǎo)致系統(tǒng)可靠性和使用壽命的降低,甚至引發(fā)工程事故。消除或避免齒輪傳動時的混沌運動區(qū)間,降低振動噪聲,提高傳動系統(tǒng)平穩(wěn)性、可靠性和使用壽命,一直是齒輪動力學(xué)分析的主要 目的[5]。LLE作為衡量動力學(xué)特征的一個重要指標(biāo),能有效識別系統(tǒng)的運動狀態(tài),這為本文所提出的齒輪振動可靠性模型提供了理論基礎(chǔ)。本文綜合考慮了熱效應(yīng)、齒側(cè)間隙、時變嚙合剛度、嚙合阻尼、綜合傳動誤差等因素,建立行星齒輪傳動系統(tǒng)的純扭轉(zhuǎn)非線性動力學(xué)模型。充分考慮齒輪傳動系統(tǒng)的運動狀態(tài),將系統(tǒng)的混沌運動定義為失效形式,通過LLE構(gòu)建行星齒輪振動可靠性模型,將激勵頻率、溫度、時變嚙合剛度、嚙合阻尼視為隨機因素,采用MCS法計算行星齒輪傳動系統(tǒng)的振動可靠度,并進一步分析隨機變量均值和標(biāo)準(zhǔn)差對可靠性的敏感程度,為齒輪振動可靠性設(shè)計和優(yōu)化提供指導(dǎo)建議。

1行星齒輪非線性動力學(xué)模型

1.1 運動微分方程

如圖1所示,行星系統(tǒng)由一個太陽輪s、行星輪pn (n=1,2,3,… ,N)、內(nèi)齒圈r、行星架c組成。令i=spn, rpn,spn和rpn分別表示太陽輪和行星輪、內(nèi)齒圈和行星輪之間的相互關(guān)系,θs、θpn、θr、θc分別為相應(yīng)部件的扭轉(zhuǎn)位移。

時變嚙合剛度k_i(t)和靜態(tài)傳遞誤差e_i(t)可由一階諧波Fourier級數(shù)表示:

式中:k_mi為平均嚙合剛度;k_i為剛度波動系數(shù);w_e為嚙合頻率;φ_i為嚙合相位差;E_i為嚙合誤差幅值;?_i為初始嚙合誤差相位。

齒輪的嚙合阻尼比可表示為:

式中:ξi為阻尼系數(shù);令q=p,g表示主動齒輪和從動齒輪,M_q為等效質(zhì)量。

采用集中質(zhì)量建立行星齒輪扭轉(zhuǎn)動力學(xué)模型,系統(tǒng)動力學(xué)微分方程為:

式中:T_in為輸入扭矩;T_out為輸出扭矩;I_s、I_pn、I_r、I_c分別為太陽輪、第n個行星輪、齒圈以及行星架的轉(zhuǎn)動慣量;r_c為行星架半徑;r_bs、r_bpn、r_br分別為太陽輪、第n個行星輪、齒圈的基圓半徑;m_pn為行星輪的質(zhì)量;α'_i為熱變形后的壓力角;F_i為動態(tài)嚙合力,F_i=k_i(t) ?(x_i,b_i)+ci?(x●_i,b_i)。

?(x_i,b_i)為齒輪副的相對位移函數(shù),可表示為:

式中:b_i為半齒側(cè)間隙。

由于熱效應(yīng)對齒輪的運動特性有著顯著影響,因此有必要將溫度的影響考慮在內(nèi)^[6]。考慮熱效應(yīng)半齒側(cè)間隙可表示為^[7]:

式中:b₀為固定半齒側(cè)間隙;Δb_i為由溫度引起的間隙;ΔT為齒輪溫升;γ為齒輪的線性膨脹系數(shù);m為齒輪的模數(shù);α_i為壓力角;α'_i為熱變形后的壓力角;z_q為齒輪的齒數(shù)。

x_spn和x_rpn分別為太陽輪和內(nèi)齒圈與第i個行星輪作用線上的相對位移:

式中:e_spn(t)為太陽輪和行星輪之間的靜態(tài)傳遞誤差函數(shù);e_rpn(t)為行星輪和內(nèi)齒圈之間的靜態(tài)傳遞誤差 函數(shù)。

為解決各激勵參數(shù)之間數(shù)量級相差過大的問題,需對行星齒輪動力學(xué)微分方程進行無量綱化處理。引入無量綱時間變量?和位移標(biāo)尺bc對動力學(xué)模型無量綱化,?=w_nt,t為時間;固有頻率w_n=√k_mspn(1/M_s+1/M_pn),其中,k_mspn為太陽輪與行星輪之間的平均嚙合剛度, M_s和M_pn分別為太陽輪和行星輪等效質(zhì)量。無量綱激勵頻率Ω=w_e/w_n,無量綱齒側(cè)間隙b_i=b_i/b_c,無量綱相對位移x_i=x_i/b_c,無量綱速度x●_i=x_i/b_cwn,無量綱加速度x●●_i=x_i/b_cw²_n,無量綱綜合傳遞誤差e_i=e_i/b_c。無量綱化處理后的動力學(xué)方程可參考文獻[8]。

1.2 動力學(xué)分析

最大李雅普諾夫指數(shù)(LLE)是衡量動力學(xué)特征的一個重要指標(biāo),能有效識別系統(tǒng)的運動狀態(tài)^[9]。LLE 識別系統(tǒng)運動狀態(tài)的方法為:當(dāng)LLE>0時,系統(tǒng)處于混沌狀態(tài);反之,系統(tǒng)則處于周期或擬周期運動狀態(tài)。

以行星齒輪傳動系統(tǒng)隨ΔT變化的運動特性為例,取系統(tǒng)參數(shù)如下:激勵頻率Ω=1,太陽輪和行星輪齒側(cè)間隙b_spn=4 μm,行星輪和內(nèi)齒圈的齒側(cè)間隙b_rpn=4 .5μm,阻尼系數(shù)ξi=0.1,綜合傳遞誤差幅值E_i=3μm,剛度波動系數(shù)k_i=0.25。圖2為系統(tǒng)隨ΔT變化的分岔圖和LLE圖。當(dāng)ΔT處于[0℃ ,39.5℃)區(qū)間時,系統(tǒng)以混沌運動狀態(tài)為主,并伴隨著短暫的周期運動,此區(qū)間的 LLE曲線整體大于零并出現(xiàn)小部分區(qū)間小于零。當(dāng)ΔT在[39.5℃ ,100℃]時,系統(tǒng)在多處發(fā)生逆倍化分岔,由7周期運動→4周期運動→2周期運動→1周期運動,在此區(qū)間內(nèi)LLE的值小于零?？梢?LLE可以很好地反映出系統(tǒng)在不同參數(shù)下的運動狀態(tài),這為本文所提出的振動可靠性模型提供了理論依據(jù)。

2行星齒輪振動可靠性靈敏度分析

2.1 可靠度定義與靈敏度分析方法

在以往的研究中,Jan N. Fuhg等人研究了結(jié)合彈塑性摩擦力模型Duffing型振子的行為,提出將LLE 作為非線性模型的可靠性指標(biāo),求解系統(tǒng)可靠性^[10]。 LLE作為非線性動力學(xué)的全局分岔分析方法之一,廣泛應(yīng)用于齒輪動力學(xué)分析^[11],可作為行星齒輪振動可靠性分析的評價指標(biāo)。本文采用劉夢軍等人提出的方法求解系統(tǒng)的LLE^[12],根據(jù)LLE識別系統(tǒng)是否處于混沌運動的判斷方法,系統(tǒng)的極限狀態(tài)函數(shù)可定義為:

式中:LEE(x)表示輸入隨機變量x時對應(yīng)的LLE值。

采用Monte Carlo方法近似計算失效概率:

式中:N_MC為總樣本;I_F(?)為失效域指數(shù)函數(shù),I_F(?)=1表示行星齒輪系統(tǒng)振動失效,I_F(?)=0表示行星齒輪系統(tǒng)可靠。

通常表示為:

對于統(tǒng)計獨立的隨機變量,可靠性靈敏度表示為失效概率P_f對基本隨機變量x_i的分布參數(shù)θx^(k)_i (包含均值μ_xi和標(biāo)準(zhǔn)差σ_xi)的偏導(dǎo)^[13]:

式中:X_i為第i個隨機變量;θx^(k)_i為分布參數(shù),k表示分布參數(shù)的個數(shù);?x (x)為隨機變量x_i的概率密度函數(shù);E(?)為期望算子。

可靠性靈敏度的估計值?P f/?θx^(k)_i為:

式中:N為總樣本數(shù);x_j為第j個樣本;I_F(x_j)為極限狀態(tài)函數(shù)。

無量綱處理后的均值μxj和標(biāo)準(zhǔn)差σxj的靈敏度可表示為:

2.2 可靠性靈敏度分析

本文以某型直升機主減速器的行星齒輪系統(tǒng)為研究對象,行星齒輪個數(shù)為3,系統(tǒng)的基本參數(shù)如表1所示。

行星齒輪長時間工作將導(dǎo)致溫度的升高,當(dāng)溫度升高時,齒側(cè)間隙也會隨之減小,也從側(cè)面反映了間隙對系統(tǒng)振動特性的影響,但在對齒輪可靠性分析當(dāng)中卻很少考慮此因素。因此,本文將激勵頻率Ω、剛度波動系數(shù)Ki、阻尼系數(shù)ξi、溫度ΔT視為隨機參數(shù),且符合正態(tài)分布,采用經(jīng)驗法選取變異系數(shù),均值和標(biāo)準(zhǔn)差如表2所示。給定齒側(cè)間隙b_sp=4 μm,b_rp=4.5 μm,綜合傳遞誤差幅值E_i=3μm。

本文設(shè)計變量有4個,總樣本N_MC=8×104,采用MCS對系統(tǒng)可靠性求解,所求得的失效概率為P_f=7.125×10^-3。由圖3可得,這4個隨機變量的均值對系統(tǒng)的可靠性有著積極的影響,這說明隨著隨機變量均值的增加,系統(tǒng)的可靠性也在增加,其中ΔT的影響程度最大,ξ次之,隨后是K和Ω。而隨機變量的標(biāo)準(zhǔn)差均對系統(tǒng)的可靠性有著消極的影響,隨著隨機變量標(biāo)準(zhǔn)差的增大,系統(tǒng)可靠性會降低,且各隨機變量標(biāo)準(zhǔn)差的影響程度先后排序與均值相同。綜上分析,建議在齒輪振動可靠性設(shè)計中重點關(guān)注阻尼系數(shù)和溫度以及與溫度相關(guān)的齒側(cè)間隙,嚴(yán)格控制其精度。

3結(jié)論

1)本文基于行星齒輪傳動系統(tǒng)的動力學(xué)模型,將混沌運動視為系統(tǒng)的失效形式,以LLE作為可靠性指標(biāo)構(gòu)建極限狀態(tài)函數(shù),為行星齒輪振動可靠性分析提供了一種新的方法。

2)溫度和阻尼系數(shù)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差對系統(tǒng)的可靠性影響程度較大,在進行行星齒輪系統(tǒng)振動可靠性設(shè)計和優(yōu)化時應(yīng)重點考慮溫度(溫度與齒側(cè)間隙的關(guān)系)和阻尼系數(shù)對系統(tǒng)可靠性的影響,嚴(yán)格控制其精度。

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2024年第19期第7篇