了解如何通過添加抖動來改善模擬到數(shù)字轉(zhuǎn)換系統(tǒng)的性能，從而消除量化誤差和失真

有時，電子噪聲可能是一件好事。在本文中，我們將探討一種名為“抖動”（Dithering）的技術(shù)，該技術(shù)通過在信號中添加適當(dāng)?shù)脑肼暢煞謥砀纳颇?shù)（A/D）轉(zhuǎn)換系統(tǒng)的性能。

什么是抖動？

大多數(shù)電子工程師都熟悉限制電子電路中噪聲水平的方法。濾波是一種常見的技術(shù)，可用于消除噪聲成分或至少限制其帶寬。在某些應(yīng)用中，如降噪耳機和低噪聲放大器（LNAs）的降噪功能，我們甚至可以測量主要的噪聲成分并從系統(tǒng)輸出中減去它，以達(dá)到所需的性能。

然而，在模數(shù)轉(zhuǎn)換系統(tǒng)中，我們需要噪聲來改善電路性能。這種信號處理技術(shù)被稱為抖動，它故意在模數(shù)轉(zhuǎn)換器（ADC）的輸入端（在采樣和量化之前）添加一個具有適當(dāng)概率密度函數(shù)（PDF）和功率譜密度（PSD）的噪聲信號，以改善系統(tǒng)的某些性能方面。圖1展示了抖動系統(tǒng)的簡化框圖（該圖表示一種稱為非減式抖動的類型）。

圖 1.顯示抖動系統(tǒng)的框圖的示例圖。圖片由ADI公司提供

第一次了解抖動時，人們可能會覺得在某些情況下，一定程度的噪聲竟然是有幫助的，這似乎有些違反直覺。抖動技術(shù)可以應(yīng)用于三個不同的目的：

1. 通過打破量化誤差與輸入信號之間的統(tǒng)計相關(guān)性來改善理想量化器的性能

2. 隨機化非理想模數(shù)轉(zhuǎn)換器（ADC）上的微分非線性（DNL）誤差模式，以提高無雜散動態(tài)范圍（SFDR）性能

3. 通過對緩慢變化的信號進行平均來增加測量分辨率

在本文中，我們將討論抖動如何通過打破量化誤差與輸入信號之間的統(tǒng)計相關(guān)性來改善理想量化器的性能，但在那之前，我們需要先回顧一下ADC量化噪聲的基本知識。

ADC量化誤差的高級基礎(chǔ)

模數(shù)轉(zhuǎn)換器（ADC）通過幾個離散電平來表示連續(xù)的模擬值范圍，這本身就會引入一種稱為量化誤差的誤差。為了全面理解這種誤差，已經(jīng)進行了大量研究。事實上，研究歷史可以追溯到1948年W. R. Bennett的論文《Quantized Signals的頻譜》。如今，人們已廣泛了解，在一定條件下，量化誤差可以建模為在±LSB/2（LSB表示轉(zhuǎn)換器的最低有效位）之間均勻分布的加性噪聲。

此外，量化噪聲被視為白噪聲（即在Nyquist帶寬dc到fs/2內(nèi)均勻分布），其總功率等于LSB2/12。這種平坦頻譜的特性基于量化誤差樣本之間不相關(guān)的假設(shè)。

在本文中，我們將這種量化誤差模型稱為“量化噪聲模型”。雖然稍后我們會討論該模型并非總是有效，但對于許多實際應(yīng)用而言，它仍然足夠準(zhǔn)確。以下示例展示了為何處理數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換器的電子工程師喜歡這一模型！

10位與12位ADC：多少位才足夠？

考慮一個應(yīng)用場景，其中ADC的參考電壓為2V。假設(shè)ADC輸入信號的噪聲為1mV RMS（均方根）。對于10位ADC，其LSB（最低有效位）為2^(2/10) = 1.95mV，因此，噪聲的RMS值等于0.51 LSB。

根據(jù)量化噪聲模型，我們知道量化操作會引入RMS噪聲，其值為LSB/√12 = 0.29 LSB。

可以看出，量化噪聲與輸入信號原有的噪聲相當(dāng)。為了計算系統(tǒng)的總噪聲功率，我們需要將這兩個噪聲源的功率相加：

對上述值開方后，得到總噪聲的RMS值為0.59 LSB。如果這一噪聲水平在我們的應(yīng)用中不可接受，我們可以通過增加ADC的分辨率來降低量化噪聲。例如，使用12位ADC時，輸入噪聲的RMS值為2.05 LSB。與輸入噪聲相比，量化噪聲（0.29 LSB）現(xiàn)在幾乎可以忽略不計。在此示例中，總噪聲的RMS值為2.07 LSB?？磥恚?2位系統(tǒng)為該應(yīng)用提供了足夠的分辨率。

了解了信號中的總噪聲后，我們可以在交流（AC）應(yīng)用中確定信噪比（SNR），或在測量應(yīng)用中確定最小可檢測信號。這里的關(guān)鍵點是，噪聲模型使我們能夠輕松地考慮量化過程對系統(tǒng)噪聲性能的影響。

另外值得一提的是，上述討論隱含地假設(shè)ADC增加的主要噪聲是量化噪聲。事實并非總是如此。隨著ADC分辨率的增加，量化噪聲變得越來越小。在某個點上，量化噪聲與ADC內(nèi)部電路產(chǎn)生的熱噪聲和閃爍噪聲等電子噪聲相比變得可以忽略不計。這是當(dāng)今高分辨率ΔΣ（增量-求和）ADC的情況。如果量化噪聲可以忽略不計，則應(yīng)考慮ADC的峰到峰輸入?yún)⒖荚肼晛矸治鱿到y(tǒng)的噪聲性能。

量化誤差的頻率成分

量化噪聲模型的一個含義是，誤差與輸入不相關(guān)。為了更好地理解這一點，請考慮圖2中的波形。

圖2.?示例波形。圖片由?Franco Maloberti?提供

圖2解析

上圖的左曲線描繪了兩個周期的10位量化正弦波。右曲線顯示了量化誤差。在此示例中，采樣頻率與輸入頻率的比率為150。通過視覺檢查可以確認(rèn)，量化誤差是周期性的（一個周期由橙色矩形指示）。此外，輸入信號與量化誤差信號之間存在相關(guān)性。由此我們知道，周期性信號的頻率成分主要集中在信號基頻的倍數(shù)上。這意味著雖然量化噪聲模型期望誤差具有平坦的頻率譜，但量化誤差卻包含一些強烈的頻率分量。

這是一個普遍問題：如果輸入是正弦波，且采樣頻率是輸入頻率的倍數(shù)，則量化誤差與輸入信號相關(guān)。圖3中給出了另一個示例。

圖3.顯示相關(guān)噪聲 （a） 和不相關(guān)噪聲 （b） 的示例圖。圖片由ADI公司提供

頻譜分析

左圖顯示了當(dāng)輸入為2 MHz正弦波且采樣頻率為80 MSPS時，理想12位ADC的頻譜。右圖則顯示了同一ADC在相同采樣頻率下對2.111 MHz正弦波的頻譜。正如預(yù)期，當(dāng)采樣頻率與輸入頻率的比值為整數(shù)時，輸出會產(chǎn)生輸入頻率的不同諧波。對于左圖，系統(tǒng)的無雜散動態(tài)范圍（SFDR）僅為77 dBc。通過稍微改變輸入頻率，諧波分量消失，我們得到一個看似平坦的噪聲基底。

請注意，在這兩種情況下，量化誤差的RMS值是相同的，導(dǎo)致信噪比（SNR）為74 dBc（12位ADC可獲得的理論值）。對于這兩種情況，RMS誤差都與量化噪聲模型預(yù)測的值（LSB/√12）一致；然而，左圖中的誤差頻率譜并不平坦。

上述諧波分量是量化過程的產(chǎn)物，與ADC電路的性能無關(guān)。這突出了ADC測試中的一個重要注意事項：如果輸入信號是采樣頻率的精確子倍數(shù)，則對單音正弦波進行快速傅里葉變換（FFT）測試得到的頻譜將受到量化過程產(chǎn)物的影響。

綜上所述，如果量化誤差與輸入相關(guān)，我們不能假設(shè)ADC僅增加輸入信號的噪聲基底。在這種情況下，量化噪聲模型不再有效，量化過程可能會在輸出頻譜中產(chǎn)生顯著的諧波分量。通常，我們更希望誤差能量分布在較寬的頻帶內(nèi)，而不是集中在某些特定頻率上。

量化低幅度信號

量化低幅度信號也可能導(dǎo)致量化誤差與輸入信號之間產(chǎn)生相關(guān)性。數(shù)字音頻系統(tǒng)是一個低幅度信號可能成為問題的典型應(yīng)用場景。假設(shè)ADC的輸入幅度降低到0.75 LSB，如圖4所示。

圖4.?示例圖顯示了ADC輸入壓降的幅度。

量化后的信號特性

如你所見，量化后的信號僅取三個不同的值，并呈現(xiàn)出類似方波的形狀。我們知道，方波的頻譜包含基頻的不同諧波。在上面的例子中，輸入是一個1.11 kHz的正弦波，采樣頻率為400 kHz（故意選擇遠(yuǎn)高于奈奎斯特采樣定理所要求的頻率）。輸出的快速傅里葉變換（FFT）結(jié)果如圖5所示。

圖5.?顯示 FFT 幅度與頻率關(guān)系的圖表。

諧波分量的存在

盡管輸入頻率（1.11 kHz）不是采樣頻率（400 kHz）的子倍數(shù)，但頻譜中仍包含顯著的諧波分量。在圖6提供的頻譜放大圖中，這些諧波分量更加清晰可見。

圖6.?頻譜的放大版本。

抖動技術(shù)的優(yōu)勢

為了研究抖動技術(shù)，我們向上述信號添加具有三角分布的噪聲，然后對其進行量化。三角抖動概率密度函數(shù)（pdf）的寬度被設(shè)定為2 LSB。波形如圖7所示。

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圖7.?具有三角形分布并量化的噪聲相加后的示例波形。

頻域中的表現(xiàn)

在時間域中，看起來信息似乎丟失了，但在頻域中情況如何呢？新量化信號的頻譜（上圖中的紅色曲線）如圖8所示。

圖8.?新量化信號的頻譜。

抖動技術(shù)的優(yōu)勢

抖動技術(shù)消除了諧波分量。事實上，諧波分量的能量被分散到了更寬的頻帶中。因此，當(dāng)我們應(yīng)用抖動技術(shù)時，預(yù)期噪聲基底會略有上升。除此之外，添加到輸入中的抖動噪聲也會導(dǎo)致噪聲基底的增加。

上述例子清楚地展示了抖動技術(shù)在頻譜分析應(yīng)用中的優(yōu)勢。但值得注意的是，即使不將信號轉(zhuǎn)換到頻域，我們也能從抖動技術(shù)中受益。例如，在數(shù)字音頻中，由于抖動而產(chǎn)生的無特征背景噪聲的增加，在感知上遠(yuǎn)比量化器引入的人工諧波更可接受。

抖動噪聲的益處

量化噪聲模型的一個含義是量化誤差與輸入不相關(guān)。當(dāng)情況并非如此時，量化操作會引入一種被稱為“量化失真”的失真。通過添加抖動噪聲，可以消除量化誤差與輸入之間的相關(guān)性，從而消除量化操作產(chǎn)生的諧波分量。這樣，抖動技術(shù)可以改善理想量化器的性能。如上所述，抖動技術(shù)還用于多種其他目的。在本系列的下一篇文章中，我們將進一步深入討論這個話題。

最后，值得一提的是，在大多數(shù)系統(tǒng)中，輸入信號已經(jīng)包含足夠的噪聲，因此不需要添加額外的抖動噪聲來打破量化噪聲與輸入之間的相關(guān)性。此外，ADC的輸入?yún)⒖荚肼暱赡茏阋援a(chǎn)生相同的抖動效果。