窗函數(shù)的選擇

摘要：在信號(hào)分析時(shí)，我們一般會(huì)截取有限的波形數(shù)據(jù)做傅里葉變換，這個(gè)截?cái)噙^(guò)程會(huì)產(chǎn)生泄漏，導(dǎo)致功率擴(kuò)散到整個(gè)頻譜范圍，產(chǎn)生大量“霧霾數(shù)據(jù)”，無(wú)法得到正確的頻譜結(jié)果。雖然知道加窗可以抑制泄漏，但復(fù)雜的窗函數(shù)表達(dá)式及抽象的主瓣旁瓣描述方法，另人更加迷惑，下面我們拋棄公式用通俗易懂的方式介紹窗函數(shù)的選擇。

1. 加窗與窗函數(shù)

在數(shù)字信號(hào)處理中，常見(jiàn)的有矩形窗、漢寧窗、海明窗和平頂窗，這里不再贅述窗函數(shù)的表達(dá)式，只討論窗函數(shù)的使用，下圖直觀地描述了信號(hào)加窗的過(guò)程及窗函數(shù)基本特征。

圖 1 信號(hào)加窗后頻率普?qǐng)D

直觀地，在時(shí)域上看，加窗其實(shí)就是將窗函數(shù)作為調(diào)制波，輸入信號(hào)作為載波進(jìn)行振幅調(diào)制(簡(jiǎn)稱調(diào)幅)。矩形窗對(duì)截取的時(shí)間窗內(nèi)的波形未做任何改變，即只是截?cái)嘈盘?hào)原樣輸出。而其它三種窗函數(shù)都將時(shí)間窗內(nèi)開(kāi)始和結(jié)束處的信號(hào)調(diào)制到了零。

更普遍地，絕大部分窗函數(shù)形狀都具有類似從中間到兩邊逐漸下降的形狀，只是下降的速度等細(xì)節(jié)上有所區(qū)別。這個(gè)特征體現(xiàn)了加窗的目的——降低截?cái)嘁鸬男孤?，所有窗函?shù)都是通過(guò)降低起始和結(jié)束處的信號(hào)幅度，來(lái)減小截?cái)噙呇靥幮盘?hào)突變產(chǎn)生的額外頻譜。

2. 窗函數(shù)的選擇

從圖 1中很明顯看出，加窗后信號(hào)時(shí)域的變化顯著，由于后續(xù)的處理一般是進(jìn)行傅里葉變換，所以我們主要分析加窗對(duì)傅里葉變換結(jié)果的影響。傅里葉變換后主要的特征有頻率、幅值和相位，而加窗對(duì)相位的影響是線性的，所以一般不用考慮，下面討論對(duì)頻率和幅值的影響。

加窗對(duì)頻率和幅值的影響是關(guān)聯(lián)的，首先需要記住一個(gè)結(jié)論：對(duì)于時(shí)域的單個(gè)頻率信號(hào)，加窗之后的頻譜就是將窗譜的譜峰位置平移到信號(hào)的頻率處，然后進(jìn)行垂直縮放。說(shuō)明加窗的影響取決于窗的功率譜，再結(jié)合上圖 1中最后一列窗函數(shù)的功率譜，容易理解其它介紹文章中?？吹降膶?duì)窗特征的主瓣、旁瓣等的描述。

再來(lái)看窗函數(shù)的功率譜，從上到下，窗函數(shù)的主峰(即主瓣)越來(lái)越粗，兩邊的副峰(即旁瓣)越來(lái)越少，平頂窗的名稱也因主瓣頂峰較平而得名。主瓣寬就可能與附近的頻率的譜相疊加，意味著更難找到疊加后功率譜中最大的頻率點(diǎn)，即降低了頻率分辨率，較難定位中心頻率。旁瓣多意味著信號(hào)功率泄露多，主瓣被削弱了，即幅值精度降低了。

有了規(guī)律，窗函數(shù)的使用就簡(jiǎn)單多了。在需要頻率分辨率高時(shí)，使用旁瓣少的窗口，如漢寧窗，而矩形窗旁瓣太多，泄漏太大，無(wú)法抑制泄漏;在需要幅值準(zhǔn)確時(shí)，可以使用平頂窗。當(dāng)然，對(duì)于一次過(guò)程時(shí)間小于窗口的暫態(tài)信號(hào)或沖擊波形，信號(hào)開(kāi)始和結(jié)束處本身就是零，不存在截?cái)嘁鸬男孤?，不需要加窗抑制，因此只需要?strong>矩形窗即可。對(duì)于連續(xù)的周期性波形，可以結(jié)合不同的窗口獲得所關(guān)注的結(jié)果。

注：那么能不能設(shè)計(jì)一種完美的窗函數(shù)，只有主瓣沒(méi)有旁瓣，且主瓣窄到只有一根柱子呢?答案是否定的。主瓣窄和旁瓣少就像蹺蹺板的兩端，壓下一遍就會(huì)翹起另一邊，是不可調(diào)和的。