循環(huán)碼是最重要的一類線性分組糾錯(cuò)碼，而B(niǎo)CH碼又是目前發(fā)現(xiàn)的性能很好且應(yīng)用廣泛的循環(huán)碼，它具有嚴(yán)格的代數(shù)理論，對(duì)它的理論研究也非常透徹。BCH碼的實(shí)現(xiàn)途徑有軟件和硬件兩種。軟件實(shí)現(xiàn)方法靈活性強(qiáng)且較易實(shí)現(xiàn)，但硬件實(shí)現(xiàn)方法的工作速度快，在高數(shù)據(jù)速率和長(zhǎng)幀應(yīng)用場(chǎng)合時(shí)具有優(yōu)勢(shì)。FPGA(現(xiàn)場(chǎng)可編程門陣列)為DSP算法的硬件實(shí)現(xiàn)提供了很好的平臺(tái)，但如果單獨(dú)使用一片F(xiàn)PGA實(shí)現(xiàn)BCH編解碼，對(duì)成本、功耗和交互速度都不利。最新的SoC(片上系統(tǒng))設(shè)計(jì)方法可以很好地解決這個(gè)問(wèn)題。

本文基于Altera公司的Nios軟核+可編程資源的SoC平臺(tái)設(shè)計(jì)了BCH編解碼IP核，這樣，在Nios系統(tǒng)中可以將BCH碼作為一種片內(nèi)資源進(jìn)行調(diào)用，在工程設(shè)計(jì)上具有積極的意義。

1 BCH碼

BCH碼于1960年前后發(fā)明，可以糾檢多個(gè)錯(cuò)誤。通常的二進(jìn)制BCH碼元是取自加羅瓦域GF(2m)。對(duì)于參數(shù)m和可糾錯(cuò)碼元數(shù)目t，BCH碼的碼長(zhǎng)為n=2m-1，對(duì)于m≥3，t<2m-1的BCH碼，監(jiān)督碼元數(shù)目n-k=mt；dmin≥2t+1。同時(shí)，BCH碼元多項(xiàng)式的根為GF(2m)中的元素α，α3，…，α2t+1。例如一個(gè)m=6，t=3的BCH碼，其參數(shù)為：n=63，n-k=18，dmin=7。這就構(gòu)成了可以糾正3個(gè)錯(cuò)誤的(63，45)BCH碼。

BCH碼基于加羅瓦域，BCH編解碼的運(yùn)算也是域內(nèi)的閉合運(yùn)算。加羅瓦有限域產(chǎn)生于一個(gè)本原多項(xiàng)式，GF(2m)有限域內(nèi)有2m個(gè)元素。以GF(23)域?yàn)槔?，它的本原多?xiàng)式p(x)假定為p(x)=x3+x+1，基本元素α定義為p(x)=0的根，GF(23)中的元素可以計(jì)算如下：

BCH碼的編碼取決于其生成多項(xiàng)式，令φ2i-1(x)是加羅瓦域元素α2i-1的最小多項(xiàng)式，則可以糾正t個(gè)錯(cuò)誤的BCH碼的生成多項(xiàng)式為：



有了生成多項(xiàng)式，BCH編碼與普通的循環(huán)碼編碼相同，使用除法電路可以實(shí)現(xiàn)。
一個(gè)復(fù)雜度較低的BCH譯碼算法對(duì)于BCH碼的應(yīng)用有著重要的意義。BCH譯碼可以分為伴隨式計(jì)算和Berlekamp迭代譯碼兩部分。設(shè)接收碼元多項(xiàng)式為r(x)，由于生成多項(xiàng)式的性質(zhì)，如果傳輸過(guò)程中信道沒(méi)有引入錯(cuò)誤，α，α2，α3，…，α2t應(yīng)是r(x)的根。因此，伴隨式計(jì)算即將加羅瓦域中的元素代入接收碼元多項(xiàng)式，如果所有伴隨式結(jié)果都為0，則說(shuō)明沒(méi)有錯(cuò)誤，否則就有錯(cuò)誤。如果只使用BCH碼進(jìn)行檢錯(cuò)，則譯碼過(guò)程就結(jié)束了。

伴隨式計(jì)算結(jié)束后，如果有錯(cuò)，首先需要計(jì)算錯(cuò)誤位置多項(xiàng)式δ(x)，譯碼的核心主要集中在這一步上。Berlekamp迭代算法不僅求解了錯(cuò)誤位置多項(xiàng)式的關(guān)鍵方程，而且運(yùn)算速度快，可以說(shuō)它解決了BCH碼譯碼的工程實(shí)用問(wèn)題。其次，使用錢搜索找出δ(x)的根，即錯(cuò)誤位置。最后，由于是二進(jìn)制編碼，只需把相應(yīng)位置的碼元取反就完成了整個(gè)譯碼過(guò)程。

2 BCH編解碼IP核的設(shè)計(jì)

2.1 整體設(shè)計(jì)及CPU接口

在NiosⅡ系統(tǒng)中，平臺(tái)免費(fèi)提供了各種常用接口IP核以及對(duì)這些外設(shè)的驅(qū)動(dòng)程序包，例如UART接口、Flash接口等。作為一個(gè)自行設(shè)計(jì)的IP核，需要掛接在NiosⅡ系統(tǒng)的Avalon總線上。這個(gè)過(guò)程使用Sopc Builder工具中的Interface t0 user logic模塊可以方便地進(jìn)行設(shè)計(jì)。NiosⅡ處理器和BCH IP核之間通過(guò)Avalon總線使用寄存器映射方式進(jìn)行交互。圖1是整個(gè)IP核的實(shí)現(xiàn)方框圖。

其中與NiosⅡ的接口分為控制接口和數(shù)據(jù)接口兩部分?？刂平涌诎◤?fù)位、編解碼控制、存儲(chǔ)器狀態(tài)報(bào)告和編解碼狀態(tài)報(bào)告等。數(shù)據(jù)接口為FPGA內(nèi)部的RAM，分為發(fā)送和接收兩部分，它在NiosⅡ中映射成存儲(chǔ)空間。在NiosⅡ和BCH碼IP核之間設(shè)置簡(jiǎn)單的數(shù)據(jù)協(xié)議，控制寄存器的起始控制位設(shè)置后，寫入數(shù)據(jù)緩存的第1個(gè)字節(jié)為編解碼輸入數(shù)據(jù)的長(zhǎng)度字節(jié)。BCH編解碼模塊從數(shù)據(jù)緩存中讀入數(shù)據(jù)進(jìn)行相應(yīng)處理。其中，加羅瓦域的運(yùn)算主要通過(guò)對(duì)域元素的查表得到。

2.2 BCH編碼

BCH碼屬于系統(tǒng)碼，其編碼與一般循環(huán)碼的編碼形式基本相同，即為信息碼元多項(xiàng)式與生成多項(xiàng)式之間的除法電路實(shí)現(xiàn)。除法電路采用帶反饋的移位寄存器完成。信息碼元發(fā)送完后，寄存器內(nèi)存儲(chǔ)的就是監(jiān)督碼元，再接著發(fā)送即可。其中反饋抽頭連接為生成多項(xiàng)式控制。其基本結(jié)構(gòu)見(jiàn)圖2。

信息碼元首先從數(shù)據(jù)緩存中被讀出，然后通過(guò)并／串變換進(jìn)入編碼器后，一方面直接輸出，同時(shí)送入除法電路，當(dāng)信息碼元輸入結(jié)束后，開(kāi)關(guān)進(jìn)行相應(yīng)的變換，存在寄存器中的監(jiān)督碼元輸出。圖3為(31，16)BCH編碼的RTL(寄存器傳輸級(jí))仿真結(jié)果。

2.3 BCH譯碼
前面已經(jīng)介紹了BCH迭代譯碼的基本步驟。譯碼過(guò)程中的運(yùn)算都為有限域運(yùn)算，在運(yùn)算過(guò)程中經(jīng)常計(jì)算加羅瓦域的元素是不明智的，查表實(shí)現(xiàn)是通用的方法。例如GF(23)中，可以設(shè)計(jì)表1所示的表格來(lái)實(shí)現(xiàn)域元素的查找，同時(shí)，運(yùn)算中還經(jīng)常需要通過(guò)元素值反查元素類型，因此需要設(shè)計(jì)兩張表格來(lái)正向和反向查找。圖1中的GF域查表RAM模塊就完成了這個(gè)功能。通過(guò)以上查表方法可以輕松實(shí)現(xiàn)有限域的加、減和乘運(yùn)算。

首先進(jìn)行伴隨式計(jì)算，在設(shè)計(jì)中利用片內(nèi)較高的工作頻率和FPGA的并發(fā)實(shí)現(xiàn)優(yōu)勢(shì)，同時(shí)完成所有伴隨式的計(jì)算。圖4為伴隨式計(jì)算的RTL仿真結(jié)果，當(dāng)傳輸引入錯(cuò)誤后，伴隨式相或的結(jié)果Data_Out輸出高電平，表示需要進(jìn)行糾錯(cuò)。

然后進(jìn)行迭代譯碼，迭代過(guò)程可以通過(guò)表2表示。其中μ為算法迭代的次數(shù)，第1次為了表示方便，可以認(rèn)為初始值是0。δμ(x)就是錯(cuò)誤位置多項(xiàng)式。dμ是一種差值，用于運(yùn)算。ιμ是第μ次運(yùn)算時(shí)δμ(x)的多項(xiàng)式階數(shù)，2μ-ιμ是運(yùn)算中應(yīng)用的變量。

算法流程步驟如下：
a) 按如上μ為0和-1／2時(shí)初始化各個(gè)變量。

b) 如果dμ=0，此時(shí)，則往下進(jìn)行。

c) 如果dμ≠0，則尋找以前運(yùn)算的某一行ρ，其具有2μ-ιμ最大(正值)，且dρ≠0。

此時(shí)，



如果μ=t-1，則算法結(jié)束。
d)ιμ+1=deg(δμ+1(x))，即δμ+1(x)的多項(xiàng)式階數(shù)。
e) dμ+1 =s2μ+3+δ1μ+1s2μ+2+δ2μ+1s2μ+1+…+δLμ+1s2μ+3-L，其中，L為ιμ+1，δu(x)的第i階系數(shù)。

f) 增加μ，從步驟b開(kāi)始。

得到錯(cuò)誤多項(xiàng)式后，通過(guò)錢搜索和取反即可完成整個(gè)譯碼工作。

3 結(jié)束語(yǔ)

SoC技術(shù)以其低成本、低功耗和小體積已經(jīng)成為電子設(shè)計(jì)領(lǐng)域的一個(gè)重要發(fā)展方向。BCH碼是一種經(jīng)典的分組糾錯(cuò)碼，在通信系統(tǒng)中應(yīng)用較為廣泛。通過(guò)這兩者的結(jié)合，本文設(shè)計(jì)的BCH碼IP核嵌入NiosSoC中，使得BCH編解碼在單片系統(tǒng)中可以自由調(diào)用，對(duì)SoC中的應(yīng)用軟件而言，調(diào)用接口簡(jiǎn)單，IP核屏蔽了所有算法細(xì)節(jié)。同時(shí)，由于采用硬件實(shí)現(xiàn)，具有高速、穩(wěn)定的特點(diǎn)。