本文討論了信號經(jīng)過傅立葉變換所得頻譜的物理意義，其中著重于負頻率成分。許多信號與系統(tǒng)的教材中，都認為負頻率成分沒有物理意義。本文以多方面的實例證明了負頻率成分不但具有明確的物理意義，而且有重要的工程應(yīng)用價值。文章還用Matlab程序演示了如何用幾何方法求傅立葉反變換，把集總頻譜合成為時域信號，從中也可鮮明地看出負頻率成分的意義。

1.負頻率與復(fù)信號

sin(ωt)或 cos(ωt) 是兩個不同的層次。前者是反映信號在空間的全面特性，如圖1 所示。后者只研究了信號在一個平面(x-t或y-t組成的平面)上投影的特性。這就必然要丟掉一些重要的信息，以致 x=sin(ωt) 與sin(-ωt)在x-t平面中的波形沒有任何差別，這是人們對負頻率的意義產(chǎn)生疑問的直接原因之一。很顯然，在x-t或y-t的平面內(nèi)，是不可能看出旋轉(zhuǎn)的。既看不到θ，更看不到ω。只有在x-y平面上才能看到這兩個旋轉(zhuǎn)參數(shù)。

2.復(fù)信號與實信號的頻譜

同樣，用ejtω或 sin(ωt)或 cos(ωt)作為核來做傅立葉變換所得的結(jié)果也是前者全面，后者片面。對實信號做傅立葉變換時，如果用指數(shù)為核，將得到雙邊頻譜。以角頻率為?的余弦信號為例，它有具有位于±?兩處的、幅度各為 0.5、相角為零的頻率特性。它的幾何關(guān)系可以用圖2表示。兩個長度為 0.5 的向量，分別以±?等速轉(zhuǎn)動，它們的合成向量就是沿實軸方向的余弦向量。而沿虛軸方向的信號為零?？梢姳仨氂胸擃l率的向量存在，才可能構(gòu)成純 粹的實信 號 。 所以歐公式是有其明確的幾何意義(即物理意義)的。在文獻[1]中給出了動畫，并給出了正、負數(shù)字頻率的幾何解釋。

3.雙邊頻譜的工程應(yīng)用

正余弦信號中包括正負雙邊頻譜，不僅有物理意義，而且具有重要的工程價值。

1)二相異步電機的設(shè)計

根據(jù)這個概念，可以用兩路在空間正交的實信號來構(gòu)成旋轉(zhuǎn)電磁場，設(shè)計電動機。上面給出了單位余弦波在正負兩個頻率上有幅度相等，相角均為零的兩根譜線;同樣，單位正弦波在同樣正負兩個頻率上也有幅度相等的譜線，不過它們的相角分別為±π/2。用立體圖表示如圖 3(a)。

如果把正弦和余弦兩個信號的正頻率成分設(shè)計得相等相反，則把它們合成以后，就只剩下負頻率成分，它就構(gòu)成一個單純負向旋轉(zhuǎn)的電信號。為此可以把正弦信號在空間上轉(zhuǎn)動π/2，使它的正頻率譜線恰好與余弦信號的正頻率譜線反向，這樣兩個信號的合成(見圖3(b))就成為一個只有負頻率譜線的信號，當然它在時域必然是復(fù)數(shù)信號。常用的二相異步電機就是這樣負向轉(zhuǎn)動的。而要使該電機正轉(zhuǎn)，則要使兩者的負頻率成分互相抵消，只保留其正頻率成分。

2)通信領(lǐng)域中的 Hilbert 變換

實信號的雙邊頻譜是對稱的。如果它的單邊頻帶寬 W，考慮到負頻率成分，實際占的頻譜區(qū)域就是±W，所以通信中要傳輸這樣的信號就需要占用 2W的頻帶寬度。為了節(jié)省頻帶，人們就發(fā)明了 Hilbert 變換，它可以把信號的正頻率頻譜移相-90°，把負頻率頻譜移相90°，然后再將這個信號移相90°與原信號相加，使兩者的負頻率成分互相抵消，正頻率成分加倍，構(gòu)成一個沒有負頻率頻譜的復(fù)信號,(如同上面所說的二相異步電機那樣)。這個復(fù)信號的帶寬就只占 W 了。用這個方法，使頻帶節(jié)約了一半。在這里，可以看到負頻率成分的重要性，在傳送信號時。

它是不可或缺的部分。另外，也看到負頻率成分與復(fù)信號的密切關(guān)系。

3)產(chǎn)生任意的平面運動軌跡

文獻[5]曾提出根據(jù)傅立葉反變換原理產(chǎn)生平面運動軌跡的方法。從上面歐拉公式的幾何意義不難得知，傅立葉反變換公式其實表示了多個頻譜旋轉(zhuǎn)向量的合成，這些向量的頻率規(guī)定了它信號的實部，在 y軸上的投影是信號的虛部。

不難設(shè)計出一個程序來演示這個過程，在[2,3]中編寫了一個MATLAB 程序，程序名為 exn941。它把四個集總頻譜合成起來。假如給出這些頻譜分量如下：

a(1) = 1， ω(1) = 1; a(2) = 1， ω(2) = -1; a(3) = 0.5，ω(3) = 3;a(4) = 0.5，ω(4) = -4;

在此處，為了顯示復(fù)信號，有意把輸入頻譜設(shè)成不對稱的，見圖5(d)。于是讀者將看到四節(jié)桿的運動動畫，并得到桿系及其末端在復(fù)平面上的軌跡(圖4)，改變了比例尺后為圖 5 (a)。將它在x，y兩方向的投影與時間軸的關(guān)系畫在圖5(b)和(c)中，就得到信號與系統(tǒng)課程中常見的實信號曲線。

輸入頻譜的幅度可以是負數(shù)，也可以是虛數(shù)，甚至可以是復(fù)數(shù)，它不僅反映了頻譜的大小，還反映了該向量的起始相位;頻譜的頻率則只能是有正負號的實數(shù)，正頻率和負頻率以及在該頻率上頻譜的意義在此不言自明。讀者可以做各種各樣的試驗。例如當兩組頻率具有倍頻關(guān)系時，得到的是周期信號，如果頻率比是無理數(shù)，那將得出非周期的信號;另外，這樣的演示只適用于集總頻譜，對于分布的頻譜密度，就要把它想象為若干小的集總頻譜的疊合。

總之有了這樣的形象演示，可以大大擴展時域信號與頻域譜之間關(guān)系的思維空間。

4)多普勒頻率

多普勒頻率又是一個負頻率的實例，如果信號的發(fā)射源向我們運動而來，那么多普勒頻率就是正頻率;如果信號的發(fā)射源向我們遠離而去，那么多普勒頻率就是負頻率，在這里正負頻率都是有明確物理意義的。多普勒頻率雖是一種差頻，它表現(xiàn)為合成信號的包絡(luò)頻率，因此仍然符合上述的原理，在實信號域只能求出多普勒頻率的大小，但檢測不出它的正負。要得到負頻率，必須從復(fù)信號域考慮?？梢?，不懂得這一點，就無法找到多普勒測速的原理框圖。

5)機械工程領(lǐng)域的應(yīng)用

關(guān)于二維信號的傅立葉變換，國內(nèi)早已有學者將其應(yīng)用于工程領(lǐng)域，參見文獻[4]、 [5]。這些都是說明頻譜中負頻率物理意義的實際例證。

4.在對負頻率認識中存在的問題

頻譜中負頻率成分的物理意義往往不為某些人們理解，其主要原因是他們忘記了實信號平面內(nèi)研究問題的局限性。因為在信號與系統(tǒng)課程中研究的信號通常只限于實信號。從實信號的x-t的波形圖上根本看不出頻率的轉(zhuǎn)向和正負，頻率只能表現(xiàn)為每秒信號重復(fù)的次數(shù)。分不清正負就以為是正頻率，只是一種習慣性的思維方法而已。

歸根到底，轉(zhuǎn)角和頻率的正負，必須在x-y平面或二維信號中才能觀察到。因為觀察的方法不對，看不到其意義，從而否認它的存在，這是認識論上的錯誤，不是科學的方法。這就和“瞎子摸象”的故事所說的那樣，摸象腿的人否認象有鼻子，毛病出在他的驗證方法。他老想在象腿(實信號域)上找到象鼻子(負頻率)，當然也永遠找不到。正確的方法是必須換一個角度，摸別的部位(復(fù)信號域)，才能得到全面的知識。

某些學者不承認負頻率是由于把“頻率是每秒鐘循環(huán)的次數(shù)”的陳舊概念絕對化，其實頻率的概念是不斷發(fā)展充實的。每秒次數(shù)的概念只能粗糙地研究信號外部形態(tài)，無法涉及信號每周期內(nèi)部的細微波形特征，而這恰好是傅立葉變換的任務(wù)。從它的核已經(jīng)可以清楚地看到，正是它摒棄(或發(fā)展)了原始的頻率定義，采用了角頻率的概念。單位是弧度/秒，而且具有明確的方向和正負號。其實頻率的概念還在繼續(xù)發(fā)展，進入到數(shù)字信號處理時又進一步出現(xiàn)了數(shù)字頻率，它的單位是弧度(去掉了分母上的“秒”)，取值范圍是[-π，π]。它的物理意義已變?yōu)閮纱尾蓸訒r刻之間向量轉(zhuǎn)過的角度，在文獻[1]中對此有詳細的說明。如果停留在“每秒次數(shù)”的舊概念上，那“數(shù)字信號處理”也就無法發(fā)展了。

5.從認識論角度糾正對負頻率的錯誤說法

這個問題是從教學中提出的，作者在旁聽“信號與系統(tǒng)”課程時，在老師的幻燈片上看到了 “關(guān)于雙邊譜，負頻率只有數(shù)學意義，沒有物理意義”的提法。我們覺得這是個錯誤，而且恐怕不是個別老師的想法?；貋硪徊椋蝗绱?，很多相當權(quán)威的主流教材上都這么寫。

其實，“×××只有數(shù)學意義，沒有物理意義”這樣的“命題”誰也沒有證明過，也是無法證明的，它最多只能算是猜想。只要有一個反例就可被推翻，本文已經(jīng)舉出了多個反例，說明它是完全錯誤的。教師絕不該把錯誤的猜想說成真理，更不能寫在書上和幻燈片上去誤導學生。數(shù)學是更抽象、更深刻地描述物理現(xiàn)象的工具，而物理是實證的科學。限于條件，人們往往暫時還認識不到數(shù)學定理的物理意義。數(shù)學超前物理是科學史上多次出現(xiàn)的現(xiàn)象，比如虛數(shù)、非歐氏幾何等。這時應(yīng)該努力去理解它，認識它，而不是輕易地放棄它、否定它。自己沒想通，沒找到的事物，不能說它不存在。給學生講課時，只能說“我們目前還沒有想通×××的物理意義”。這才能表明教師在科學上的嚴肅和謙遜，也有助于培養(yǎng)學生的科學鉆研和創(chuàng)新精神。

6.結(jié)束語

討論這個問題，不僅是理論上的探討，對于提高教學質(zhì)量是有重大意義的。今天，信息技術(shù)如此的發(fā)展，很大程度是由于深入大量地開發(fā)頻譜資源的結(jié)果。在同學剛進入這個資源庫的時候，我們要引導他們對這個寶藏發(fā)生極大的興趣，非常珍惜這個寶藏，去深鉆，去挖掘它的每一點潛力。不能為了省事，為了堵住學生的好奇提問，輕率地、毫無根據(jù)地一句話就把頻譜的負頻率半邊扔掉了。在入門的時候，當然不可能把本文說的概念統(tǒng)統(tǒng)灌輸給學生，要順序漸進。但老師首先要有更寬廣的知識面和更科學的思維方法，教出的學生的才會具備更多的想象力和創(chuàng)造性。