既然是要求最值，核心問(wèn)題是什么呢？求解動(dòng)態(tài)規(guī)劃的核心問(wèn)題是窮舉。因?yàn)橐笞钪?，肯定要把所有可行的答案窮舉出來(lái)，然后在其中找最值唄。

動(dòng)態(tài)規(guī)劃就這么簡(jiǎn)單，就是窮舉就完事了？我看到的動(dòng)態(tài)規(guī)劃問(wèn)題都很難啊！

首先，動(dòng)態(tài)規(guī)劃的窮舉有點(diǎn)特別，因?yàn)檫@類問(wèn)題存在「重疊子問(wèn)題」，如果暴力窮舉的話效率會(huì)極其低下，所以需要「?jìng)渫洝够蛘摺窪P table」來(lái)優(yōu)化窮舉過(guò)程，避免不必要的計(jì)算。

而且，動(dòng)態(tài)規(guī)劃問(wèn)題一定會(huì)具備「最優(yōu)子結(jié)構(gòu)」，才能通過(guò)子問(wèn)題的最值得到原問(wèn)題的最值。

另外，雖然動(dòng)態(tài)規(guī)劃的核心思想就是窮舉求最值，但是問(wèn)題可以千變?nèi)f化，窮舉所有可行解其實(shí)并不是一件容易的事，只有列出正確的「狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程」才能正確地窮舉。

以上提到的重疊子問(wèn)題、最優(yōu)子結(jié)構(gòu)、狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程就是動(dòng)態(tài)規(guī)劃三要素。具體什么意思等會(huì)會(huì)舉例詳解，但是在實(shí)際的算法問(wèn)題中，寫出狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程是最困難的，這也就是為什么很多朋友覺(jué)得動(dòng)態(tài)規(guī)劃問(wèn)題困難的原因，我來(lái)提供我研究出來(lái)的一個(gè)思維框架，輔助你思考狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：

明確「狀態(tài)」 -> 定義 dp 數(shù)組/函數(shù)的含義 -> 明確「選擇」-> 明確 base case。

下面通過(guò)斐波那契數(shù)列問(wèn)題和湊零錢問(wèn)題來(lái)詳解動(dòng)態(tài)規(guī)劃的基本原理。前者主要是讓你明白什么是重疊子問(wèn)題（斐波那契數(shù)列嚴(yán)格來(lái)說(shuō)不是動(dòng)態(tài)規(guī)劃問(wèn)題），后者主要集中于如何列出狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程。

請(qǐng)讀者不要嫌棄這個(gè)例子簡(jiǎn)單，只有簡(jiǎn)單的例子才能讓你把精力充分集中在算法背后的通用思想和技巧上，而不會(huì)被那些隱晦的細(xì)節(jié)問(wèn)題搞的莫名其妙。想要困難的例子，歷史文章里有的是。

一、斐波那契數(shù)列

1、暴力遞歸

斐波那契數(shù)列的數(shù)學(xué)形式就是遞歸的，寫成代碼就是這樣：

int?fib(int?N)?{
????if?(N?==?1?||?N?==?2)?return?1;
????return?fib(N?-?1)?+?fib(N?-?2);
}

這個(gè)不用多說(shuō)了，學(xué)校老師講遞歸的時(shí)候似乎都是拿這個(gè)舉例。我們也知道這樣寫代碼雖然簡(jiǎn)潔易懂，但是十分低效，低效在哪里？假設(shè) n = 20，請(qǐng)畫出遞歸樹(shù)。

PS：但凡遇到需要遞歸的問(wèn)題，最好都畫出遞歸樹(shù)，這對(duì)你分析算法的復(fù)雜度，尋找算法低效的原因都有巨大幫助。

這個(gè)遞歸樹(shù)怎么理解？就是說(shuō)想要計(jì)算原問(wèn)題f(20)，我就得先計(jì)算出子問(wèn)題f(19)和f(18)，然后要計(jì)算f(19)，我就要先算出子問(wèn)題f(18)和f(17)，以此類推。最后遇到f(1)或者f(2)的時(shí)候，結(jié)果已知，就能直接返回結(jié)果，遞歸樹(shù)不再向下生長(zhǎng)了。

遞歸算法的時(shí)間復(fù)雜度怎么計(jì)算？子問(wèn)題個(gè)數(shù)乘以解決一個(gè)子問(wèn)題需要的時(shí)間。

子問(wèn)題個(gè)數(shù)，即遞歸樹(shù)中節(jié)點(diǎn)的總數(shù)。顯然二叉樹(shù)節(jié)點(diǎn)總數(shù)為指數(shù)級(jí)別，所以子問(wèn)題個(gè)數(shù)為 O(2^n)。

解決一個(gè)子問(wèn)題的時(shí)間，在本算法中，沒(méi)有循環(huán)，只有 f(n - 1) + f(n - 2) 一個(gè)加法操作，時(shí)間為 O(1)。

所以，這個(gè)算法的時(shí)間復(fù)雜度為 O(2^n)，指數(shù)級(jí)別，爆炸。

觀察遞歸樹(shù)，很明顯發(fā)現(xiàn)了算法低效的原因：存在大量重復(fù)計(jì)算，比如f(18)被計(jì)算了兩次，而且你可以看到，以f(18)為根的這個(gè)遞歸樹(shù)體量巨大，多算一遍，會(huì)耗費(fèi)巨大的時(shí)間。更何況，還不止f(18)這一個(gè)節(jié)點(diǎn)被重復(fù)計(jì)算，所以這個(gè)算法及其低效。

這就是動(dòng)態(tài)規(guī)劃問(wèn)題的第一個(gè)性質(zhì)：重疊子問(wèn)題。下面，我們想辦法解決這個(gè)問(wèn)題。

2、帶備忘錄的遞歸解法

明確了問(wèn)題，其實(shí)就已經(jīng)把問(wèn)題解決了一半。即然耗時(shí)的原因是重復(fù)計(jì)算，那么我們可以造一個(gè)「?jìng)渫洝?，每次算出某個(gè)子問(wèn)題的答案后別急著返回，先記到「?jìng)渫洝估镌俜祷?；每次遇到一個(gè)子問(wèn)題先去「?jìng)渫洝估锊橐徊?，如果發(fā)現(xiàn)之前已經(jīng)解決過(guò)這個(gè)問(wèn)題了，直接把答案拿出來(lái)用，不要再耗時(shí)去計(jì)算了。

一般使用一個(gè)數(shù)組充當(dāng)這個(gè)「?jìng)渫洝?，?dāng)然你也可以使用哈希表（字典），思想都是一樣的。

int?fib(int?N)?{
????if?(N?1)?return?0;
????//?備忘錄全初始化為?0
????vector<int>?memo(N?+?1,?0);
????//?初始化最簡(jiǎn)情況
????return?helper(memo,?N);
}

int?helper(vector<int>&?memo,?int?n)?{
????//?base?case?
????if?(n?==?1?||?n?==?2)?return?1;
????//?已經(jīng)計(jì)算過(guò)
????if?(memo[n]?!=?0)?return?memo[n];
????memo[n]?=?helper(memo,?n?-?1)?+?
????????????????helper(memo,?n?-?2);
????return?memo[n];
}

現(xiàn)在，畫出遞歸樹(shù)，你就知道「?jìng)渫洝沟降鬃隽耸裁矗?/p>

實(shí)際上，帶「?jìng)渫洝沟倪f歸算法，把一棵存在巨量冗余的遞歸樹(shù)通過(guò)「剪枝」，改造成了一幅不存在冗余的遞歸圖，極大減少了子問(wèn)題（即遞歸圖中節(jié)點(diǎn)）的個(gè)數(shù)。

遞歸算法的時(shí)間復(fù)雜度怎么算？子問(wèn)題個(gè)數(shù)乘以解決一個(gè)子問(wèn)題需要的時(shí)間。

子問(wèn)題個(gè)數(shù)，即圖中節(jié)點(diǎn)的總數(shù)，由于本算法不存在冗余計(jì)算，子問(wèn)題就是f(1),f(2),f(3)…f(20)，數(shù)量和輸入規(guī)模 n = 20 成正比，所以子問(wèn)題個(gè)數(shù)為 O(n)。

解決一個(gè)子問(wèn)題的時(shí)間，同上，沒(méi)有什么循環(huán)，時(shí)間為 O(1)。

所以，本算法的時(shí)間復(fù)雜度是 O(n)。比起暴力算法，是降維打擊。

至此，帶備忘錄的遞歸解法的效率已經(jīng)和迭代的動(dòng)態(tài)規(guī)劃一樣了。實(shí)際上，這種解法和迭代的動(dòng)態(tài)規(guī)劃思想已經(jīng)差不多，只不過(guò)這種方法叫做「自頂向下」，動(dòng)態(tài)規(guī)劃叫做「自底向上」。

啥叫「自頂向下」？注意我們剛才畫的遞歸樹(shù)（或者說(shuō)圖），是從上向下延伸，都是從一個(gè)規(guī)模較大的原問(wèn)題比如說(shuō)f(20)，向下逐漸分解規(guī)模，直到f(1)和f(2)觸底，然后逐層返回答案，這就叫「自頂向下」。

啥叫「自底向上」？反過(guò)來(lái)，我們直接從最底下，最簡(jiǎn)單，問(wèn)題規(guī)模最小的f(1)和f(2)開(kāi)始往上推，直到推到我們想要的答案f(20)，這就是動(dòng)態(tài)規(guī)劃的思路，這也是為什么動(dòng)態(tài)規(guī)劃一般都脫離了遞歸，而是由循環(huán)迭代完成計(jì)算。

3、dp 數(shù)組的迭代解法

有了上一步「?jìng)渫洝沟膯l(fā)，我們可以把這個(gè)「?jìng)渫洝躬?dú)立出來(lái)成為一張表，就叫做 DP table 吧，在這張表上完成「自底向上」的推算豈不美哉！

int?fib(int?N)?{
????vector<int>?dp(N?+?1,?0);
????//?base?case
????dp[1]?=?dp[2]?=?1;
????for?(int?i?=?3;?i?<=?N;?i++)
????????dp[i]?=?dp[i?-?1]?+?dp[i?-?2];
????return?dp[N];
}

畫個(gè)圖就很好理解了，而且你發(fā)現(xiàn)這個(gè) DP table 特別像之前那個(gè)「剪枝」后的結(jié)果，只是反過(guò)來(lái)算而已。實(shí)際上，帶備忘錄的遞歸解法中的「?jìng)渫洝?，最終完成后就是這個(gè) DP table，所以說(shuō)這兩種解法其實(shí)是差不多的，大部分情況下，效率也基本相同。

這里，引出「狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程」這個(gè)名詞，實(shí)際上就是描述問(wèn)題結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)形式：

為啥叫「狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程」？為了聽(tīng)起來(lái)高端。你把 f(n) 想做一個(gè)狀態(tài) n，這個(gè)狀態(tài) n 是由狀態(tài) n - 1 和狀態(tài) n - 2 相加轉(zhuǎn)移而來(lái)，這就叫狀態(tài)轉(zhuǎn)移，僅此而已。

你會(huì)發(fā)現(xiàn)，上面的幾種解法中的所有操作，例如 return f(n - 1) + f(n - 2)，dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]，以及對(duì)備忘錄或 DP table 的初始化操作，都是圍繞這個(gè)方程式的不同表現(xiàn)形式?？梢?jiàn)列出「狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程」的重要性，它是解決問(wèn)題的核心。很容易發(fā)現(xiàn)，其實(shí)狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程直接代表著暴力解法。

千萬(wàn)不要看不起暴力解，動(dòng)態(tài)規(guī)劃問(wèn)題最困難的就是寫出狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程，即這個(gè)暴力解。優(yōu)化方法無(wú)非是用備忘錄或者 DP table，再無(wú)奧妙可言。

這個(gè)例子的最后，講一個(gè)細(xì)節(jié)優(yōu)化。細(xì)心的讀者會(huì)發(fā)現(xiàn)，根據(jù)斐波那契數(shù)列的狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程，當(dāng)前狀態(tài)只和之前的兩個(gè)狀態(tài)有關(guān)，其實(shí)并不需要那么長(zhǎng)的一個(gè) DP table 來(lái)存儲(chǔ)所有的狀態(tài)，只要想辦法存儲(chǔ)之前的兩個(gè)狀態(tài)就行了。所以，可以進(jìn)一步優(yōu)化，把空間復(fù)雜度降為 O(1)：

int?fib(int?n)?{
????if?(n?==?2?||?n?==?1)?
????????return?1;
????int?prev?=?1,?curr?=?1;
????for?(int?i?=?3;?i?<=?n;?i++)?{
????????int?sum?=?prev?+?curr;
????????prev?=?curr;
????????curr?=?sum;
????}
????return?curr;
}

有人會(huì)問(wèn)，動(dòng)態(tài)規(guī)劃的另一個(gè)重要特性「最優(yōu)子結(jié)構(gòu)」，怎么沒(méi)有涉及？下面會(huì)涉及。斐波那契數(shù)列的例子嚴(yán)格來(lái)說(shuō)不算動(dòng)態(tài)規(guī)劃，因?yàn)闆](méi)有涉及求最值，以上旨在演示算法設(shè)計(jì)螺旋上升的過(guò)程。

下面，看第二個(gè)例子，湊零錢問(wèn)題。

二、湊零錢問(wèn)題

先看下題目：給你k種面值的硬幣，面值分別為c1, c2 ... ck，每種硬幣的數(shù)量無(wú)限，再給一個(gè)總金額amount，問(wèn)你最少需要幾枚硬幣湊出這個(gè)金額，如果不可能湊出，算法返回 -1 。算法的函數(shù)簽名如下：

// coins 中是可選硬幣面值，amount 是目標(biāo)金額
int?coinChange(int[]?coins,?int?amount);

比如說(shuō)k = 3，面值分別為 1，2，5，總金額amount = 11。那么最少需要 3 枚硬幣湊出，即 11 = 5 + 5 + 1。

你認(rèn)為計(jì)算機(jī)應(yīng)該如何解決這個(gè)問(wèn)題？顯然，就是把所有肯能的湊硬幣方法都窮舉出來(lái)，然后找找看最少需要多少枚硬幣。

1、暴力遞歸

首先，這個(gè)問(wèn)題是動(dòng)態(tài)規(guī)劃問(wèn)題，因?yàn)樗哂小缸顑?yōu)子結(jié)構(gòu)」。要符合「最優(yōu)子結(jié)構(gòu)」，子問(wèn)題間必須互相獨(dú)立。啥叫相互獨(dú)立？你肯定不想看數(shù)學(xué)證明，我用一個(gè)直觀的例子來(lái)講解。

比如說(shuō)，你的原問(wèn)題是考出最高的總成績(jī)，那么你的子問(wèn)題就是要把語(yǔ)文考到最高，數(shù)學(xué)考到最高…… 為了每門課考到最高，你要把每門課相應(yīng)的選擇題分?jǐn)?shù)拿到最高，填空題分?jǐn)?shù)拿到最高…… 當(dāng)然，最終就是你每門課都是滿分，這就是最高的總成績(jī)。

得到了正確的結(jié)果：最高的總成績(jī)就是總分。因?yàn)檫@個(gè)過(guò)程符合最優(yōu)子結(jié)構(gòu)，“每門科目考到最高”這些子問(wèn)題是互相獨(dú)立，互不干擾的。

但是，如果加一個(gè)條件：你的語(yǔ)文成績(jī)和數(shù)學(xué)成績(jī)會(huì)互相制約，此消彼長(zhǎng)。這樣的話，顯然你能考到的最高總成績(jī)就達(dá)不到總分了，按剛才那個(gè)思路就會(huì)得到錯(cuò)誤的結(jié)果。因?yàn)樽訂?wèn)題并不獨(dú)立，語(yǔ)文數(shù)學(xué)成績(jī)無(wú)法同時(shí)最優(yōu)，所以最優(yōu)子結(jié)構(gòu)被破壞。

回到湊零錢問(wèn)題，為什么說(shuō)它符合最優(yōu)子結(jié)構(gòu)呢？比如你想求amount = 11時(shí)的最少硬幣數(shù)（原問(wèn)題），如果你知道湊出amount = 10的最少硬幣數(shù)（子問(wèn)題），你只需要把子問(wèn)題的答案加一（再選一枚面值為 1 的硬幣）就是原問(wèn)題的答案，因?yàn)橛矌诺臄?shù)量是沒(méi)有限制的，子問(wèn)題之間沒(méi)有相互制，是互相獨(dú)立的。

那么，既然知道了這是個(gè)動(dòng)態(tài)規(guī)劃問(wèn)題，就要思考如何列出正確的狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程。

先確定「狀態(tài)」，也就是原問(wèn)題和子問(wèn)題中變化的變量。由于硬幣數(shù)量無(wú)限，所以唯一的狀態(tài)就是目標(biāo)金額amount。

然后確定dp函數(shù)的定義：函數(shù)?dp(n)表示，當(dāng)前的目標(biāo)金額是n，至少需要dp(n)個(gè)硬幣湊出該金額。

然后確定「選擇」并擇優(yōu)，也就是對(duì)于每個(gè)狀態(tài)，可以做出什么選擇改變當(dāng)前狀態(tài)。具體到這個(gè)問(wèn)題，無(wú)論當(dāng)?shù)哪繕?biāo)金額是多少，選擇就是從面額列表coins中選擇一個(gè)硬幣，然后目標(biāo)金額就會(huì)減少：

#?偽碼框架
def?coinChange(coins:?List[int],?amount:?int):
????#?定義：要湊出金額 n，至少要 dp(n)?個(gè)硬幣
????def?dp(n):
????????#?做選擇，需要硬幣最少的那個(gè)結(jié)果就是答案
????????for?coin?in?coins:
????????????res?=?min(res,?1?+?dp(n?-?coin))
????????return?res
????#?我們要求目標(biāo)金額是 amount
????return?dp(amount)

最后明確 base case，顯然目標(biāo)金額為 0 時(shí)，所需硬幣數(shù)量為 0；當(dāng)目標(biāo)金額小于 0 時(shí)，無(wú)解，返回 -1：

def?coinChange(coins:?List[int],?amount:?int):

????def?dp(n):
????????#?base?case
????????if?n?==?0:?return?0
????????if?n?0:?return?-1
????????#?求最小值，所以初始化為正無(wú)窮
????????res?=?float('INF')
????????for?coin?in?coins:
????????????subproblem?=?dp(n?-?coin)
????????????#?子問(wèn)題無(wú)解，跳過(guò)
????????????if?subproblem?==?-1:?continue
????????????res?=?min(res,?1?+?subproblem)

????????return?res?if?res?!=?float('INF')?else?-1

????return?dp(amount)

至此，狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程其實(shí)已經(jīng)完成了，以上算法已經(jīng)是暴力解法了，以上代碼的數(shù)學(xué)形式就是狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：

至此，這個(gè)問(wèn)題其實(shí)就解決了，只不過(guò)需要消除一下重疊子問(wèn)題，比如amount = 11, coins = {1,2,5}時(shí)畫出遞歸樹(shù)看看：

時(shí)間復(fù)雜度分析：子問(wèn)題總數(shù) x 解決每個(gè)子問(wèn)題的時(shí)間。

子問(wèn)題總數(shù)為遞歸樹(shù)節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)，這個(gè)比較難看出來(lái)，是 O(n^k)，總之是指數(shù)級(jí)別的。每個(gè)子問(wèn)題中含有一個(gè) for 循環(huán)，復(fù)雜度為 O(k)。所以總時(shí)間復(fù)雜度為 O(k * n^k)，指數(shù)級(jí)別。

2、帶備忘錄的遞歸

只需要稍加修改，就可以通過(guò)備忘錄消除子問(wèn)題：

def?coinChange(coins:?List[int],?amount:?int):
????#?備忘錄
????memo?=?dict()
????def?dp(n):
????????#?查備忘錄，避免重復(fù)計(jì)算
????????if?n?in?memo:?return?memo[n]

????????if?n?==?0:?return?0
????????if?n?0:?return?-1
????????res?=?float('INF')
????????for?coin?in?coins:
????????????subproblem?=?dp(n?-?coin)
????????????if?subproblem?==?-1:?continue
????????????res?=?min(res,?1?+?subproblem)

????????#?記入備忘錄
????????memo[n]?=?res?if?res?!=?float('INF')?else?-1
????????return?memo[n]

????return?dp(amount)

不畫圖了，很顯然「?jìng)渫洝勾蟠鬁p小了子問(wèn)題數(shù)目，完全消除了子問(wèn)題的冗余，所以子問(wèn)題總數(shù)不會(huì)超過(guò)金額數(shù) n，即子問(wèn)題數(shù)目為 O(n)。處理一個(gè)子問(wèn)題的時(shí)間不變，仍是 O(k)，所以總的時(shí)間復(fù)雜度是 O(kn)。

3、dp 數(shù)組的迭代解法

當(dāng)然，我們也可以自底向上使用 dp table 來(lái)消除重疊子問(wèn)題，dp數(shù)組的定義和剛才dp函數(shù)類似，定義也是一樣的：

dp[i] = x表示，當(dāng)目標(biāo)金額為i時(shí)，至少需要x枚硬幣。

int?coinChange(vector<int>&?coins,?int?amount)?{
????//?數(shù)組大小為?amount?+?1，初始值也為?amount?+?1
????vector<int>?dp(amount?+?1,?amount?+?1);
????//?base?case
????dp[0]?=?0;
????for?(int?i?=?0;?i?????????//?內(nèi)層?for?在求所有子問(wèn)題?+?1?的最小值
????????for?(int?coin?:?coins)?{
????????????//?子問(wèn)題無(wú)解，跳過(guò)
????????????if?(i?-?coin?0)?continue;
????????????dp[i]?=?min(dp[i],?1?+?dp[i?-?coin]);
????????}
????}
????return?(dp[amount]?==?amount?+?1)???-1?:?dp[amount];
}

PS：為啥dp數(shù)組初始化為amount + 1呢，因?yàn)闇惓?code style="margin-right: 2px;margin-left: 2px;padding: 2px 4px;font-size: inherit;line-height: inherit;border-radius: 4px;color: rgb(233, 105, 0);background: rgb(248, 248, 248);">amount金額的硬幣數(shù)最多只可能等于amount（全用 1 元面值的硬幣），所以初始化為amount + 1就相當(dāng)于初始化為正無(wú)窮，便于后續(xù)取最小值。

三、最后總結(jié)

第一個(gè)斐波那契數(shù)列的問(wèn)題，解釋了如何通過(guò)「?jìng)渫洝够蛘摺竏p table」的方法來(lái)優(yōu)化遞歸樹(shù)，并且明確了這兩種方法本質(zhì)上是一樣的，只是自頂向下和自底向上的不同而已。

第二個(gè)湊零錢的問(wèn)題，展示了如何流程化確定「狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程」，只要通過(guò)狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程寫出暴力遞歸解，剩下的也就是優(yōu)化遞歸樹(shù)，消除重疊子問(wèn)題而已。

如果你不太了解動(dòng)態(tài)規(guī)劃，還能看到這里，真得給你鼓掌，相信你已經(jīng)掌握了這個(gè)算法的設(shè)計(jì)技巧。

計(jì)算機(jī)解決問(wèn)題其實(shí)沒(méi)有任何奇技淫巧，它唯一的解決辦法就是窮舉，窮舉所有可能性。算法設(shè)計(jì)無(wú)非就是先思考“如何窮舉”，然后再追求“如何聰明地窮舉”。

列出動(dòng)態(tài)轉(zhuǎn)移方程，就是在解決“如何窮舉”的問(wèn)題。之所以說(shuō)它難，一是因?yàn)楹芏喔F舉需要遞歸實(shí)現(xiàn)，二是因?yàn)橛械膯?wèn)題本身的解空間復(fù)雜，不那么容易窮舉完整。

備忘錄、DP table 就是在追求“如何聰明地窮舉”。用空間換時(shí)間的思路，是降低時(shí)間復(fù)雜度的不二法門，除此之外，試問(wèn)，還能玩出啥花活？