ICA獨(dú)立成分分析是近年來出現(xiàn)的一種強(qiáng)有力的數(shù)據(jù)分析工具（Hyvarinen A, Karhunen J, Oja E, 2001; Roberts S J, Everson R, 2001）。1994年由Comon給出了ICA的一個(gè)較為嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義，其思想最早是由Heranlt和Jutten于1986年提出來的。 

ICA從出現(xiàn)到現(xiàn)在雖然時(shí)間不長(zhǎng)，然而無論從理論上還是應(yīng)用上，它正受到越來越多的關(guān)注，成為國內(nèi)外研究的一個(gè)熱點(diǎn)。

ICA獨(dú)立成分分析是一種用來從多變量（多維）統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)里找到隱含的因素或成分的方法，被認(rèn)為是PCA主成分分析(請(qǐng)參見人工智能（46）)和FA因子分析的一種擴(kuò)展。對(duì)于盲源分離問題，ICA是指在只知道混合信號(hào)，而不知道源信號(hào)、噪聲以及混合機(jī)制的情況下，分離或近似地分離出源信號(hào)的一種分析過程。 

ICA算法概念：

ICA（IndependentComponent Analysis） 獨(dú)立成分分析是一門統(tǒng)計(jì)技術(shù)，用于發(fā)現(xiàn)存在于隨機(jī)變量下的隱性因素。ICA為給觀測(cè)數(shù)據(jù)定義了一個(gè)生成模型。在這個(gè)模型中，其認(rèn)為數(shù)據(jù)變量是由隱性變量，經(jīng)一個(gè)混合系統(tǒng)線性混合而成，這個(gè)混合系統(tǒng)未知。并且假設(shè)潛在因素屬于非高斯分布、并且相互獨(dú)立，稱之為可觀測(cè)數(shù)據(jù)的獨(dú)立成分。

ICA與PCA相關(guān)，但它在發(fā)現(xiàn)潛在因素方面效果良好。它可以應(yīng)用在數(shù)字圖像、檔文數(shù)據(jù)庫、經(jīng)濟(jì)指標(biāo)、心里測(cè)量等。

ICA算法本質(zhì)：

ICA是找出構(gòu)成信號(hào)的相互獨(dú)立部分(不需要正交)，對(duì)應(yīng)高階統(tǒng)計(jì)量分析。ICA理論認(rèn)為用來觀測(cè)的混合數(shù)據(jù)陣X是由獨(dú)立元S經(jīng)過A線性加權(quán)獲得。ICA理論的目標(biāo)就是通過X求得一個(gè)分離矩陣W，使得W作用在X上所獲得的信號(hào)Y是獨(dú)立源S的最優(yōu)逼近，該關(guān)系可以通過下式表示：

Y = WX = WAS ， A = inv(W)

ICA相比與PCA更能刻畫變量的隨機(jī)統(tǒng)計(jì)特性，且能抑制高斯噪聲。

從線性代數(shù)的角度去理解，PCA和ICA都是要找到一組基，這組基張成一個(gè)特征空間，數(shù)據(jù)的處理就都需要映射到新空間中去。

ICA理論基礎(chǔ)：

ICA理論基礎(chǔ)如下：

1）標(biāo)準(zhǔn)正交基

2）白化

3）梯度下降

ICA目標(biāo)函數(shù):

ICA的目標(biāo)函數(shù)如下： 

樣本數(shù)據(jù) x 經(jīng)過參數(shù)矩陣 W 線性變換后的結(jié)果的L1范數(shù)，實(shí)際上也就是描述樣本數(shù)據(jù)的特征。

加入標(biāo)準(zhǔn)正交性約束（orthonormality constraint）后，ICA獨(dú)立成分分析相當(dāng)于求解如下優(yōu)化問題： 

這就是標(biāo)準(zhǔn)正交ICA的目標(biāo)函數(shù)。與深度學(xué)習(xí)中的通常情況一樣，這個(gè)問題沒有簡(jiǎn)單的解析解，因此需要使用梯度下降來求解，而由于標(biāo)準(zhǔn)正交性約束，又需要每次梯度下降迭代之后，將新的基映射回正交基空間中，以此保證正交性約束。 

ICA優(yōu)化參數(shù):  

針對(duì)ICA的目標(biāo)函數(shù)和約束條件，可以使用梯度下降法，并在梯度下降的每一步中增加投影（projecTIon ）步驟，以滿足標(biāo)準(zhǔn)正交約束。過程如下：  

ICA算法流程：

已知信號(hào)為S，經(jīng)混和矩陣變換后的信號(hào)為：X=AS。對(duì)交疊信號(hào)X，求解混矩陣B，使Y=WX各分量盡量相互獨(dú)立。求解W的過程并不一定是近似A的逆矩陣，Y也不是信號(hào)S的近似，而是為了使Y分量之間相互獨(dú)立。目的是從僅有的觀測(cè)數(shù)據(jù)X出發(fā)尋找一個(gè)解混合矩陣。

常見的方法：InfoMax方法（用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)使信息最大化），F(xiàn)asTICA方法（固定點(diǎn)算法，尋求X分量在W上投影（W^t）*X）的非高斯最大化。

主要算法流程如下： 
 1、預(yù)處理部分：1）對(duì)X零均值處理   
2）球化分解（白化）

乘球化矩陣S，使Z=SX各行正交歸一，即ZZ’=I

2、核心算法部分： 尋求解混矩陣U，使Y=UZ，Y各道數(shù)據(jù)盡可能獨(dú)立（獨(dú)立判據(jù)函數(shù)G）。
1)、由于Y獨(dú)立，各行必正交。且通常取U保持Y各行方差為1，故U是正交變換。
2)、所有算法預(yù)處理部分相同，以后都設(shè)輸入的為球化數(shù)據(jù)z，尋找正交矩陣U，使Y=Uz獨(dú)立。

由于獨(dú)立判據(jù)函數(shù)G的不同，以及步驟不同，有不同的獨(dú)立分量分析法。

3、Fast ICA算法思路：

思路：屬于探查性投影追蹤

目的：輸入球化數(shù)據(jù)z，經(jīng)過正交陣U處理，輸出Y=Uz
1）輸入球化數(shù)據(jù)z，經(jīng)過正交陣某一行向量ui處理（投影），提取出某一獨(dú)立分量yi。

2）將此分量除去，按次序依次提取下去，得到所有的yi ，以及ui。

3）得到獨(dú)立的基向量U

U＝WX

Fast ICA算法程序如下：

       funcTIon [Out1, Out2, Out3] =fasTIca(mixedsig, varargin)

%FASTICA(mixedsig) estimates theindependent components from given

% multidimensional signals. Each row ofmatrix mixedsig is one

% observed signal.

% = FASTICA (mixedsig); the rows oficasig contain the

% estimated independent components.

% = FASTICA (mixedsig); outputs the estimatedseparating

% matrix W and the corresponding mixingmatrix A.

mixedsig為輸入向量，icasig為求解的基向量。

A即為混合矩陣，可以驗(yàn)證mixedsig=A×icasig。

W即為解混矩陣，可以驗(yàn)證icasig=W×mixedsig。

ICA算法優(yōu)點(diǎn)：

1）收斂速度快。

2）并行和分布計(jì)算，要求內(nèi)存小，易于使用。

3）能通過使用一個(gè)非線性函數(shù)g便能直接找出任何非高斯分布的獨(dú)立分量。

4）能夠通過選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)姆蔷€性函數(shù)g而使其達(dá)到最佳化。特別是能得到最小方差的算法。

5）僅需要估計(jì)幾個(gè)（不是全部）獨(dú)立分量，能極大地減小計(jì)算量。

ICA算法缺點(diǎn)：

1) 特征矩陣W的特征數(shù)量（即基向量數(shù)量）大于原始數(shù)據(jù)維度會(huì)產(chǎn)生優(yōu)化方面的困難，并導(dǎo)致訓(xùn)練時(shí)間過長(zhǎng)；

2) ICA模型的目標(biāo)函數(shù)是一個(gè)L1范數(shù)，在 0 點(diǎn)處不可微，影響了梯度方法的應(yīng)用。

注：盡管可以通過其他非梯度下降方法避開缺點(diǎn)2），也可以通過使用近似值“平滑” L1 范數(shù)的方法來解決，即使用 ( x2+ε )1/2 代替 |x|，對(duì)L1范數(shù)進(jìn)行平滑，其中 ε 是“平滑參數(shù)”（smoothing parameter）。

ICA與PCA區(qū)別：

1） PCA是將原始數(shù)據(jù)降維并提取出不相關(guān)的屬性，而ICA是將原始數(shù)據(jù)降維并提取出相互獨(dú)立的屬性。

2） PCA目的是找到這樣一組分量表示，使得重構(gòu)誤差最小，即最能代表原事物的特征。ICA的目的是找到這樣一組分量表示，使得每個(gè)分量最大化獨(dú)立，能夠發(fā)現(xiàn)一些隱藏因素。由此可見，ICA的條件比PCA更強(qiáng)些。

3） ICA要求找到最大獨(dú)立的方向，各個(gè)成分是獨(dú)立的；PCA要求找到最大方差的方向，各個(gè)成分是正交的。

4） ICA認(rèn)為觀測(cè)信號(hào)是若干個(gè)統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的分量的線性組合，ICA要做的是一個(gè)解混過程。而PCA是一個(gè)信息提取的過程，將原始數(shù)據(jù)降維，現(xiàn)已成為ICA將數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化的預(yù)處理步驟。

ICA算法應(yīng)用：

從應(yīng)用角度看，ICA應(yīng)用領(lǐng)域與應(yīng)用前景都是非常廣闊的，目前主要應(yīng)用于盲源分離、圖像處理、語言識(shí)別、通信、生物醫(yī)學(xué)信號(hào)處理、腦功能成像研究、故障診斷、特征提取、金融時(shí)間序列分析和數(shù)據(jù)挖掘等。 

結(jié)語:

ICA是一種常用的數(shù)據(jù)分析方法，是盲信號(hào)分析領(lǐng)域的一個(gè)強(qiáng)有力方法，也是求非高斯分布數(shù)據(jù)隱含因子的方法。從樣本-特征角度看，使用ICA的前提條件是，認(rèn)為樣本數(shù)據(jù)由獨(dú)立非高斯分布的隱含因子產(chǎn)生，隱含因子個(gè)數(shù)等于特征數(shù)，要求的是隱含因子。ICA算法已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于盲源分離、圖像處理、語言識(shí)別、通信、生物醫(yī)學(xué)信號(hào)處理、腦功能成像研究、故障診斷、特征提取、金融時(shí)間序列分析和數(shù)據(jù)挖掘等領(lǐng)域。