前面的話

記得以前上數(shù)字信號(hào)處理的課時(shí)，老師上來(lái)就是一個(gè)歐拉公式，然后直接blablabla從時(shí)域到頻域......全程都是云里霧里的狀態(tài)；本文因?yàn)轫?xiàng)目的一篇論文中公式的推導(dǎo)，無(wú)奈重新?lián)炱鹆苏n本，真是書到用時(shí)方恨少啊，本文預(yù)計(jì)只需2分鐘看完；適合大忙人看

目錄

• 歐拉公式

• 幾何意義

• 復(fù)數(shù)平面

• 動(dòng)態(tài)過(guò)程

• 加法

• 總結(jié)

歐拉公式

歐拉公式被譽(yù)為上帝公式；在理工科因?yàn)槭潜容^基礎(chǔ)的知識(shí)，并且我一直沒(méi)有理解和掌握，這樣很難搞清楚實(shí)數(shù)平面如何換算到復(fù)數(shù)平面，所以這里有必要簡(jiǎn)單剖析一下，從而加深記憶；

歐拉公式如下所示；

這兩個(gè)公式都被稱之為歐拉公式；

是自然對(duì)數(shù)的底， 是虛數(shù)（ ）。

根據(jù)式 ① 可以推導(dǎo)出以下另外兩個(gè)變式；推導(dǎo)過(guò)程如下；令 ，可以得到④式，如下；

所以 ③ 等式左右兩端與 ④ 式 相加得到；

所以 ③ 等式左右兩端與 ④ 式 相減得到；

幾何意義

則表示模長(zhǎng)為 的向量旋轉(zhuǎn)了角度 ，下面會(huì)進(jìn)一步介紹。

復(fù)數(shù)平面

復(fù)數(shù)平面坐標(biāo) 軸作為實(shí)數(shù)軸， 軸作為虛數(shù)軸。這里可以通過(guò)歐拉公式，將實(shí)數(shù)平面換到復(fù)數(shù)平面，如下圖所示；已知這是一個(gè)半徑為 ，圓心為 的圓，則存在；

上式表示向量 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)了角度 , ；

動(dòng)態(tài)過(guò)程

假設(shè)向量 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，與 軸夾角為 ，半徑 ，即 ，具體如下圖所示；這里分析一下圖中的幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)；

• 紅色點(diǎn)的坐標(biāo)為： ，紅色的正弦曲線為紅色點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡；
• 綠色點(diǎn)的坐標(biāo)為； ，綠色的正弦曲線為綠色點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡；
• 為向量 在 軸上的投影， ；
• 為向量 在 軸上的投影， ；

可以發(fā)現(xiàn)，向量在復(fù)平面做圓周運(yùn)動(dòng)，其實(shí)數(shù)域相當(dāng)于是在做正弦運(yùn)動(dòng)。

加法

歐拉公式里的相加則比較簡(jiǎn)單，相當(dāng)于兩個(gè)向量的相加；

如下圖所示；所以存在特殊情況當(dāng) 時(shí)則有；

直接進(jìn)行符合向量相加；

具體如下所示；

總結(jié)

磕磕絆絆寫了最后，基礎(chǔ)學(xué)科的掌握還不夠，很多知識(shí)回過(guò)頭來(lái)看，總會(huì)有新的收獲，但是由于筆者能力有限，寫的不是很好，推薦馬同學(xué)的文章 https://www.matongxue.com/madocs/8.html，感興趣的可以看看。