前言

昨天，有個(gè)女孩子問(wèn)我提高數(shù)據(jù)庫(kù)查詢性能有什么立竿見(jiàn)影的好方法？

這簡(jiǎn)直是一道送分題，我自豪且略帶鄙夷的說(shuō)，當(dāng)然是加「索引」了。

她又不緊不慢的問(wèn)，索引為什么就能提高查詢性能。

這還用問(wèn)，索引就像一本書(shū)的目錄，用目錄查當(dāng)然很快。

她失望地?fù)u了搖頭，你說(shuō)的只是一個(gè)類比，可為什么通過(guò)目錄就能提高查詢速度呢。

唉，對(duì)啊，通過(guò)書(shū)目可以快速查詢，這只是一個(gè)現(xiàn)象，真正原因到底是什么呢。

那女孩看著詫異且表情僵硬的我，滿意而又意味深長(zhǎng)的笑笑：原來(lái)你這個(gè)男程序員也不會(huì)，看來(lái)我還得靠自己研究了。

哎，熬夜又要憔悴了我這該死的美貌。

來(lái)自同行的羞辱，是可忍孰不可忍？！

于是，我踏上了數(shù)據(jù)庫(kù)索引學(xué)習(xí)的不歸路，原來(lái)數(shù)據(jù)庫(kù)索引使用了一種叫 B+ 樹(shù)的古老數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，當(dāng)然也有 Hash 等類型，暫且不說(shuō)，可 B+ 樹(shù) 這是個(gè)什么妖魔鬼怪呢？

下面就來(lái)淺嘗輒止的扒一扒樹(shù)的前世今生。

正文

二叉樹(shù)

由 n（ n > 0）個(gè)有限節(jié)點(diǎn)組成一個(gè)具有層次關(guān)系的集合，看起來(lái)就像一個(gè)倒掛的樹(shù)，因此稱這樣的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)為樹(shù)。

一個(gè)節(jié)點(diǎn)的子節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)叫做度，通俗的講就是樹(shù)叉的個(gè)數(shù)。樹(shù)中最大的度叫做樹(shù)的度，也叫做階。一個(gè) 2 階樹(shù)最多有 2 個(gè)子節(jié)點(diǎn)即最多有 2 叉，因此這樣的樹(shù)稱為二叉樹(shù)，二叉樹(shù)是樹(shù)家族中最簡(jiǎn)單的樹(shù)。

兩個(gè)叉的樹(shù)就是二叉樹(shù)，可這除了用來(lái)按一定結(jié)構(gòu)存放數(shù)據(jù)外，跟查詢性能好像也沒(méi)關(guān)系，不會(huì)又是一個(gè)沒(méi)用的噱頭吧。

二分查找

聽(tīng)說(shuō)二叉樹(shù)的原始威力來(lái)源于一種叫做二分查找的算法。

相傳在鸚鵡的原始社會(huì)，存在著森嚴(yán)的等級(jí)制度，每只鳥(niǎo)必須按高矮順序分出等級(jí)和尊卑。

那么問(wèn)題來(lái)了，如下圖，怎樣才能找出最高、最矮、中等高的那些鸚鵡呢、以及指定高度的那只呢?

第一種方法: 掃描法

一個(gè)一個(gè)依次測(cè)量，完畢后所有的問(wèn)題都迎刃而解。

這種一個(gè)一個(gè)依次全部測(cè)量的方法叫做掃描，他的缺點(diǎn)很明顯，最高和最矮，需要全部測(cè)量完畢才能知曉。

而對(duì)于指定高度，最好的情況是第一次就找到；最壞的情況是最后一次才找到，時(shí)間復(fù)雜度為 n，也就是說(shuō)從 13 個(gè)鸚鵡中找到指定身高的那只，最壞的情況是查 13 次。

第二種方法：二分法

13 個(gè)鸚鵡全部聽(tīng)令，按從矮到高列隊(duì)，向左看齊，報(bào)數(shù)。

報(bào)數(shù)字 1 的就是最矮的，報(bào)數(shù)字 13 的就是最高的，報(bào)數(shù)字 7 的就是中等身高的那只。

最好和最壞的情況都是一次找到。而查詢性能一下子提高 13 倍，我的個(gè)乖乖，無(wú)論多個(gè)只鸚鵡，時(shí)間復(fù)雜度都是 1，好可怕。

問(wèn)題：我不服，你這是偷換概念，有本事對(duì)比一個(gè)查找指定高度鸚鵡的性能。

因?yàn)辂W鵡們已經(jīng)按高矮排好了隊(duì)，所以指定高度的鸚鵡，要么是站中間那個(gè)只，要么就是在它的左邊或右邊的那群里。

如果是中間那個(gè)，一次就找到，如果不是只需要從中間左邊或右邊那一半中找，再在這一半中找中間那只，對(duì)比身高。

以此類推，每次都把查詢的范圍減半，時(shí)間復(fù)雜度log2(n)。

那么 log2(13) 就是 4，最壞的情況也才 4 次，時(shí)間復(fù)雜度確實(shí)不是 1 了，但好像也不糟，簡(jiǎn)化如下：

問(wèn)題：如果按高矮排隊(duì)，仍然需要一個(gè)一個(gè)比較，跟掃描有什么區(qū)別，那還不如直接掃描呢？

事實(shí)確實(shí)如此,單純的一次查詢，先排序，再二分查找，不見(jiàn)得比掃描快，甚至還不如。

但是，在數(shù)據(jù)的世界，大部分?jǐn)?shù)據(jù)一生會(huì)被查詢無(wú)數(shù)次，如果只在數(shù)據(jù)降生的時(shí)候排一次序，往后余生，是不是就可以直接用二分查找，這似乎就是傳說(shuō)的讀多寫(xiě)少，以及對(duì)應(yīng)的復(fù)用。

優(yōu)點(diǎn)：

• 查找快

缺點(diǎn):

• 必須有序，需要提前排序

• 每次查找都需要不斷計(jì)算中間位置

二分查找樹(shù)

如果一組數(shù)據(jù)不會(huì)或不常變更，那么他們的位置也基本不變?？墒敲看尾樵兌夹枰匦掠?jì)算中間位置是一種浪費(fèi)，而浪費(fèi)可恥。

我們能不能把所有中間節(jié)點(diǎn)組織起來(lái)，每次使用時(shí)，直接取中間節(jié)點(diǎn)?

請(qǐng)看下圖，找到所有單次二分查找的中間節(jié)點(diǎn)，把他們連起來(lái)，并用手提起最中間的那個(gè)節(jié)點(diǎn)，就是一棵二分查找樹(shù)。

優(yōu)點(diǎn)：二分查找樹(shù)就是通過(guò)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的方式實(shí)現(xiàn)了二分查找算法，通過(guò)存儲(chǔ)中間節(jié)點(diǎn)的數(shù)據(jù)，彌補(bǔ)了二分查找每次都要計(jì)算中間位置的缺點(diǎn)。

平衡二叉樹(shù):

如果二分查找樹(shù)不斷進(jìn)行修改，比如刪除某些節(jié)點(diǎn)，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后，最早那個(gè)中間節(jié)點(diǎn)的數(shù)據(jù)（根），很可能就不在中間了。

中間位置就像一個(gè)天平的支點(diǎn)，如果他不在中間了，那么整個(gè)天平就會(huì)失衡，失衡的世界就會(huì)坍塌成不倫不類的瘸樹(shù)，甚至是降維成一個(gè)鏈表或者數(shù)組。

二分查找算法的關(guān)鍵在于有序和中間節(jié)點(diǎn)，而二分查找樹(shù)的關(guān)鍵是中間節(jié)點(diǎn)的維護(hù)，如果維護(hù)的節(jié)點(diǎn)已經(jīng)不在中間了，那么它就失去了意義。

所以必須保證「二分查找樹(shù)」是一個(gè)正確的樹(shù)，一個(gè)根節(jié)點(diǎn)在中心的樹(shù)，一個(gè)左右子樹(shù)層級(jí)（高度）基本相等（高度相差不超過(guò)1）的樹(shù)，一個(gè)平衡的樹(shù)。

平衡二叉樹(shù)中最常見(jiàn)的就是紅黑樹(shù)：

紅黑樹(shù)規(guī)定了一系列節(jié)點(diǎn)顏色規(guī)則，以及對(duì)應(yīng)的左旋和右旋操作來(lái)保證顏色規(guī)則，從而達(dá)到樹(shù)的平衡性。

看到這花里胡哨的顏色以及復(fù)雜的規(guī)則，讓人第一眼就望而卻步，但所有的這些，也不過(guò)是為了保證二叉樹(shù)的平衡性，由于維持平衡的操作太過(guò)麻煩，無(wú)法用一句話簡(jiǎn)單概括，只好用一堆人鬼難分的規(guī)則和步驟來(lái)實(shí)現(xiàn)，只要按著這些步驟就一定能實(shí)現(xiàn)二叉樹(shù)的平衡。

平衡二叉樹(shù) ?= ?二分查找樹(shù) + 平衡（左右高度相差不超過(guò) 1 ）

平衡二叉樹(shù)并未提高二分查找樹(shù)的性能，它只是保正樹(shù)不會(huì)被二向箔（多次增刪改）打擊降維成鏈表或不對(duì)稱的殘缺樹(shù)，永遠(yuǎn)維持平衡。

另外，不僅僅是二叉樹(shù)，其他種類的樹(shù)，也是需要有序和平衡，才能發(fā)揮最大的威力。

多叉樹(shù)之 B-tree

兩個(gè)叉的樹(shù)就能折半查詢，理論可以提高一倍性能，那么多個(gè)叉是不是能提高更多倍性能？

如下圖的 3 階（叉）樹(shù)（所有數(shù)據(jù)僅用于演示，非真實(shí)分布）

每個(gè)節(jié)點(diǎn)維護(hù)兩個(gè)數(shù)據(jù)，并指向最多 3 個(gè)子節(jié)點(diǎn)。如圖 3 個(gè)子節(jié)點(diǎn)的數(shù)據(jù)分別為：小于 17， 17 ~ 35 ，大于 35。

假設(shè)，從上圖中查找 10 這個(gè)數(shù)，步驟如下：

1. 找到根節(jié)點(diǎn)，對(duì)比 10 與 17 和 35 的大小，發(fā)現(xiàn) 10 < 17 在左子節(jié)點(diǎn)，也就是第 2 層節(jié)點(diǎn)；

2. 從根節(jié)點(diǎn)的指針，找到左子節(jié)點(diǎn)，對(duì)比 10 與 8 和 12 的大小，發(fā)現(xiàn) 8 < 10 < 12，數(shù)據(jù)在當(dāng)前節(jié)點(diǎn)的中間子節(jié)點(diǎn)，也就是第 3 層節(jié)點(diǎn)；

3. 通過(guò)上步節(jié)點(diǎn)的指針，找到中間子節(jié)點(diǎn)（第 3 層節(jié)點(diǎn)），對(duì)比 10 與 9 和 10 的大小，發(fā)現(xiàn) 9 < 10 == 10，因此找到當(dāng)前節(jié)點(diǎn)的第二數(shù)即為結(jié)果。

加上忽略的 12 個(gè)數(shù)據(jù)，從 26 個(gè)數(shù)據(jù)中查找一個(gè)數(shù)字 10，僅僅用了?log3(26)≈ 3 次，而如果用平衡二叉樹(shù),則需要 log2(26)≈ 5 次，事實(shí)證明，多叉樹(shù)確實(shí)可以再次提高查找性能。

多叉樹(shù)是在二分查找樹(shù)的基礎(chǔ)上，增加單個(gè)節(jié)點(diǎn)的數(shù)據(jù)存儲(chǔ)數(shù)量，同時(shí)增加了樹(shù)的子節(jié)點(diǎn)數(shù)，一次計(jì)算可以把查找范圍縮小更多。

優(yōu)點(diǎn)：二叉平衡樹(shù)的基礎(chǔ)上，使加載一次節(jié)點(diǎn)，可以加載更多路徑數(shù)據(jù)，同時(shí)把查詢范圍縮減到更小。

復(fù)雜節(jié)點(diǎn):
至此，我們列舉的數(shù)據(jù)都是孤零零的單個(gè)數(shù)字。試想，你手里已經(jīng)有一個(gè)數(shù)據(jù) 10，為什么還要費(fèi)力吧唧的再?gòu)囊欢褦?shù)據(jù)中找到這個(gè) 10，自己找自己？這不是有病嗎？

單個(gè)數(shù)字只能活在演示中，現(xiàn)實(shí)的世界要復(fù)雜的多，我們來(lái)看一個(gè)接近真實(shí)場(chǎng)景的案例。

現(xiàn)有一個(gè)以年齡為索引的 3 階樹(shù)，存儲(chǔ)了一批用戶信息，如下圖：

數(shù)字為用戶的年齡，其它為與樹(shù)排序查找無(wú)關(guān)的業(yè)務(wù)數(shù)據(jù)，像這種索引數(shù)據(jù)與樹(shù)排序查找無(wú)關(guān)的業(yè)務(wù)一起維護(hù)在節(jié)點(diǎn)的平衡多叉（階）樹(shù)稱為 B- 樹(shù)（ B 樹(shù)）。

缺點(diǎn)：業(yè)務(wù)數(shù)據(jù)的大小可能遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)了索引數(shù)據(jù)的大小，每次為了查找對(duì)比計(jì)算，需要把數(shù)據(jù)加載到內(nèi)存以及 CPU 高速緩存中時(shí)，都要把索引數(shù)據(jù)和無(wú)關(guān)的業(yè)務(wù)數(shù)據(jù)全部查出來(lái)。本來(lái)一次就可以把所有索引數(shù)據(jù)加載進(jìn)來(lái)，現(xiàn)在卻要多次才能加載完。如果所對(duì)比的節(jié)點(diǎn)不是所查的數(shù)據(jù)，那么這些加載進(jìn)內(nèi)存的業(yè)務(wù)數(shù)據(jù)就毫無(wú)用處，全部拋棄。

磁盤(pán)I/O

計(jì)算機(jī)的功能主要為：計(jì)算、存儲(chǔ)和網(wǎng)絡(luò)。而用于計(jì)算的數(shù)據(jù)以及計(jì)算后的結(jié)果很大一部分都需要存儲(chǔ)起來(lái)，以備后續(xù)再次使用。向磁盤(pán)中存儲(chǔ)和讀取的過(guò)程叫磁盤(pán) I/O。磁盤(pán)的讀取方式和速度會(huì)嚴(yán)重影響到整個(gè)業(yè)務(wù)的計(jì)算性能。

下面我們簡(jiǎn)單了解一下磁盤(pán)是如何工作的。

磁盤(pán)大概長(zhǎng)這個(gè)樣子：

磁盤(pán)主要由磁盤(pán)盤(pán)片、傳動(dòng)手臂、讀寫(xiě)磁頭和馬達(dá)組成。

為了存儲(chǔ)容量,主軸像穿糖葫蘆一樣把多個(gè)磁盤(pán)片組成一個(gè)陣列。通過(guò)馬達(dá)驅(qū)動(dòng)主軸轉(zhuǎn)動(dòng)以及傳動(dòng)手臂移動(dòng)，使讀寫(xiě)磁頭在磁盤(pán)片上讀寫(xiě)數(shù)據(jù)。大概如下：

磁盤(pán)片由很多半徑不等的同心圓組成，這些圓被稱為磁道，數(shù)據(jù)就是寫(xiě)在這些磁道上。

每個(gè)磁道又劃分成塊稱為扇區(qū)。

如果磁盤(pán)是一記事本，那么一張磁盤(pán)片就是本子的一頁(yè)紙，而主軸就是本子的裝訂線；磁道就是紙頁(yè)的行，而扇區(qū)可以看作是很寬的列。

如果在磁盤(pán)中存儲(chǔ)一首詩(shī),想象中大概這個(gè)樣子。

磁盤(pán)的讀 I/O 操作,需要找到數(shù)據(jù)所在的磁盤(pán)片，以及對(duì)應(yīng)的磁道和扇區(qū)。這些操作類似于從一本書(shū)中找到數(shù)據(jù)所在的頁(yè)，行，列。

因?yàn)槊總€(gè)磁盤(pán)片都對(duì)應(yīng)一個(gè)磁頭，所以性能的關(guān)鍵就在于找行和列，即尋道和磁盤(pán)旋轉(zhuǎn)。尋道即通過(guò)磁頭找到數(shù)據(jù)所在的磁道，相當(dāng)于換行到數(shù)據(jù)所在行。由于磁頭只能水平移動(dòng)，即只能換行尋道，無(wú)法在指定磁道上移動(dòng)，因此需要磁盤(pán)高速旋轉(zhuǎn)移動(dòng)到指定扇區(qū)，類似寫(xiě)春聯(lián)時(shí)，筆不動(dòng)，紙動(dòng)。

綜上所述，磁盤(pán)的讀寫(xiě)是通過(guò)機(jī)械運(yùn)動(dòng)來(lái)定位數(shù)據(jù)所在位置，而 cpu 是通過(guò)電信號(hào)進(jìn)行數(shù)字運(yùn)算。粗略的認(rèn)為，機(jī)械查詢數(shù)據(jù)，與光速處理數(shù)據(jù)的性能完全不是在一個(gè)量級(jí)，總之一句話就是磁盤(pán)處理太慢太慢了。

雖然磁盤(pán)處理數(shù)據(jù)太慢了，但是它是目前相對(duì)廉價(jià)且穩(wěn)定的存儲(chǔ)設(shè)備，所以又不能舍棄不用，但大致可以通過(guò)以下方法進(jìn)行優(yōu)化。

• 盡量減少 I/O 次數(shù)，比如可以使用緩存；

• 每次 I/O 盡量獲取更多的數(shù)據(jù)；

• 每次 I/O 盡量獲取有用的數(shù)據(jù)，當(dāng)然相應(yīng)的也間接減少總 I/O 次數(shù)；

多叉樹(shù)之 B+tree

做為數(shù)據(jù)庫(kù)的索引，無(wú)論用什么樣的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)維護(hù)，這些數(shù)據(jù)最終都會(huì)存儲(chǔ)到磁盤(pán)中。

鑒于磁盤(pán) ?I/O 的性能問(wèn)題，以及每次 I/O 獲取數(shù)據(jù)量上限所限，提高索引本身 I/O 的方法最好是，減少 I/O 次數(shù)和每次獲取有用的數(shù)據(jù)。

B-tree 已經(jīng)大大改進(jìn)了樹(shù)家族的性能，它把多個(gè)數(shù)據(jù)集中存儲(chǔ)在一個(gè)節(jié)點(diǎn)中，本身就可能減少了 I/O 次數(shù)或者尋道次數(shù)。

但是仍然有一個(gè)致命的缺陷，那就是它的索引數(shù)據(jù)與業(yè)務(wù)綁定在一塊，而業(yè)務(wù)數(shù)據(jù)的大小很有可能遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)了索引數(shù)據(jù)，這會(huì)大大減小一次 I/O 有用數(shù)據(jù)的獲取，間接的增加 I/O 次數(shù)去獲取有用的索引數(shù)據(jù)。

因?yàn)闃I(yè)務(wù)數(shù)據(jù)才是我們查詢最終的目的，但是它又是在「二分」查找中途過(guò)程無(wú)用的數(shù)據(jù)，因此，如果只把業(yè)務(wù)數(shù)據(jù)存儲(chǔ)在最終查詢到的那個(gè)節(jié)點(diǎn)是不是就可以了？

理想很豐滿，現(xiàn)實(shí)很骨瘦如柴，誰(shuí)知道哪個(gè)節(jié)點(diǎn)就是最終要查詢的節(jié)點(diǎn)呢？

B+tree 橫空出世，B+ 樹(shù)就是為了拆分索引數(shù)據(jù)與業(yè)務(wù)數(shù)據(jù)的平衡多叉樹(shù)。

B+ 樹(shù)中，非葉子節(jié)點(diǎn)只保存索引數(shù)據(jù)，葉子節(jié)點(diǎn)保存索引數(shù)據(jù)與業(yè)務(wù)數(shù)據(jù)。這樣即保證了葉子節(jié)點(diǎn)的簡(jiǎn)約干凈，數(shù)據(jù)量大大減小，又保證了最終能查到對(duì)應(yīng)的業(yè)務(wù)數(shù)。既提高了單次 I/O 數(shù)據(jù)的有效性，又減少了 I/O 次數(shù)，還實(shí)現(xiàn)了業(yè)務(wù)。

但是，在數(shù)據(jù)中索引與數(shù)據(jù)是分離的，不像示例那樣的？

如圖：我們只需要把真實(shí)的業(yè)務(wù)數(shù)據(jù)，換成數(shù)據(jù)所在地址就可以了，此時(shí)，業(yè)務(wù)數(shù)據(jù)所在的地址在 B+ 樹(shù)中充當(dāng)業(yè)務(wù)數(shù)據(jù)。

總結(jié)

• 數(shù)據(jù)存儲(chǔ)在磁盤(pán)（ SSD 跟 CPU 性能也不在一個(gè)量級(jí)），而磁盤(pán)處理數(shù)據(jù)很慢；

• 提高磁盤(pán)性能主要通過(guò)減少 I/O 次數(shù)，以及單次 I/O 有效數(shù)據(jù)量；

• 索引通過(guò)多階（一個(gè)節(jié)點(diǎn)保存多個(gè)數(shù)據(jù)，指向多個(gè)子節(jié)點(diǎn)）使樹(shù)的結(jié)構(gòu)更矮胖，從而減少 I/O 次數(shù)；

• 索引通過(guò) B+ 樹(shù)，把業(yè)務(wù)數(shù)據(jù)與索引數(shù)據(jù)分離，來(lái)提高單次 I/O 有效數(shù)據(jù)量，從而減少 I/O 次數(shù)；

• 索引通過(guò)樹(shù)數(shù)據(jù)的有序和「二分查找」（多階樹(shù)可以假設(shè)為多分查找），大大縮小查詢范圍；

• 索引針對(duì)的是單個(gè)字段或部分字段，數(shù)據(jù)量本身比一條記錄的數(shù)據(jù)量要少的多，這樣即使通過(guò)掃描的方式查詢索引也比掃描數(shù)據(jù)庫(kù)表本身快的多；

知識(shí)擴(kuò)展

樹(shù)的結(jié)構(gòu)最大的優(yōu)點(diǎn)就是查詢性能高，因此所有需要提高查詢性能的都可以考慮樹(shù)。

而現(xiàn)實(shí)中也確實(shí)有這樣的例子，比如：

• HashMap 中的數(shù)據(jù)沖突時(shí)，鏈表轉(zhuǎn)化成紅黑樹(shù)；

• 數(shù)據(jù)庫(kù)索引使用的 B+ 樹(shù)；

• 搜索引擎倒排索引使用的字典樹(shù)；

以上只是淺嘗輒止、點(diǎn)到為止的描述了數(shù)據(jù)庫(kù)使用 B+ 樹(shù)索引為什么能提高查詢性能原因及簡(jiǎn)單過(guò)程。

并沒(méi)有深入各種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的細(xì)節(jié)，也未提及其它索引類型和索引的具體存儲(chǔ)格式，目的僅僅是，為了讓大家對(duì)索引有一個(gè)感性的認(rèn)識(shí)。

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