T型網(wǎng)絡(luò)快速求解傳遞函數(shù)的方法
[導(dǎo)讀]傳遞函數(shù)在電路分析中的應(yīng)用必不可少，用于分析和調(diào)整系統(tǒng)的穩(wěn)定性。對(duì)于一般的同相反相放大電路，傳遞函數(shù)比較簡(jiǎn)單，通過(guò)簡(jiǎn)單的KCL原理就能得到，這里不做贅敘。但是對(duì)于T型反饋網(wǎng)絡(luò)，用較小的阻值就可以得到較大的放大倍數(shù)，在這種電路應(yīng)用KCL和KVL，節(jié)點(diǎn)法等方式求解傳遞函數(shù)，計(jì)算過(guò)程就...
傳遞函數(shù)在電路分析中的應(yīng)用必不可少，用于分析和調(diào)整系統(tǒng)的穩(wěn)定性。對(duì)于一般的同相反相放大電路，傳遞函數(shù)比較簡(jiǎn)單，通過(guò)簡(jiǎn)單的KCL原理就能得到，這里不做贅敘。但是對(duì)于T型反饋網(wǎng)絡(luò)，用較小的阻值就可以得到較大的放大倍數(shù)，在這種電路應(yīng)用KCL和KVL，節(jié)點(diǎn)法等方式求解傳遞函數(shù)，計(jì)算過(guò)程就會(huì)顯得比較臃腫和麻煩。以下的內(nèi)容是參考@xukun977的快速求解法，而且具有很強(qiáng)的通解性，在不同的網(wǎng)絡(luò)中都可以得到應(yīng)用。下面就是T型網(wǎng)絡(luò)的典型應(yīng)用，在高靈敏度的場(chǎng)合不會(huì)要求很大的電阻，T型網(wǎng)絡(luò)可以實(shí)現(xiàn)高靈敏度而無(wú)需不切實(shí)際大的電阻。
在這里先使用和其他帖子不一樣的地方，輸入信號(hào)用電流源。也用類似的節(jié)點(diǎn)法寫(xiě)出傳遞函數(shù)，
1.運(yùn)放同相端接地，所以V =V-=02.在節(jié)點(diǎn)V1使用KCL，將電流相加：-V1/R -V1/R1 (V0-V1)/R2=03.由于V-=0，所以輸入電流I流過(guò)R就是V1，因此V1=-R*I利用以上關(guān)系聯(lián)立求解：V0=-k*R*I
其中K=1 R2/R1 R2/R，因此要得到一個(gè)大點(diǎn)的放大倍數(shù)因子，選擇合適的R阻值就可以實(shí)現(xiàn)的。
這樣的求解是課本習(xí)題的標(biāo)準(zhǔn)做法，本身也沒(méi)有什么問(wèn)題，但是就是做起來(lái)稍微顯得麻煩而已。
現(xiàn)在使用快速求解法得到T型網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)，先拿出結(jié)論，
先對(duì)這個(gè)公式的幾個(gè)參數(shù)做一個(gè)解釋，
第一步，Av是便是沒(méi)有R3的增益?？醋?/span>R3的阻抗無(wú)窮大。將R3看作開(kāi)路，這個(gè)就是基本的反相放大電路了。
顯然，此時(shí)Av=-（R1 R2）/R4
第二步，那么Rvo→0的含義，就是令輸出為零-null，計(jì)算從R3看進(jìn)去的阻抗，此時(shí)電路可以等效為下圖：
關(guān)于nullator，維基百科給出了解釋，就直接貼過(guò)來(lái)的。
ZR3=VR3/IR3
由于此時(shí)電路比較簡(jiǎn)單，使用KCL方便的，IR3=VR3/R2 VR3/R1,?可以快速得到阻抗是R1和R2的并聯(lián)，ZR3=R1*R2/(R1 R2);
第三步，那么Rvin→0的含義，就是將輸入短路到GND，計(jì)算從R3看進(jìn)去的阻抗，此時(shí)電路可以等效為下圖：
ZR3=VR3/IR3
運(yùn)放的虛短虛短可知V =V-=0，I =I-=0，由于Vin等于0，所以流過(guò)R4的電流也是0，根據(jù)KCL可知，流過(guò)R1的電流也是0。再進(jìn)一步就可以得到R1兩端的電壓是0，所以圖中1點(diǎn)的電位是0，那么VR3=V1=0，這樣從R3看進(jìn)去的輸入阻抗就是0了。
現(xiàn)在公式所有參數(shù)都求解出來(lái)了，只需要將得到的數(shù)據(jù)代入，就可以得到傳遞函數(shù)的表達(dá)式了：
在這里我寫(xiě)了很多，實(shí)際應(yīng)用過(guò)程中，根本不需要怎么計(jì)算，就可以快速的得到公式中各個(gè)參數(shù)，比起傳統(tǒng)的KCL，節(jié)點(diǎn)法計(jì)算傳遞函數(shù)，這個(gè)要簡(jiǎn)單方便很多的。
下面再用另外一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明，用快速計(jì)算法求解傳函的方便性。這個(gè)電路圖計(jì)算傳遞函數(shù)，要用節(jié)點(diǎn)法的話，估計(jì)要列舉很多公式。當(dāng)然最后也是能解出來(lái)的。
現(xiàn)在使用快速求解法，計(jì)算傳遞函數(shù)表達(dá)式。
第一步，Av是計(jì)算C1開(kāi)路情況下的阻抗，很顯然就是普通的并聯(lián)分壓電路，先將R1，R3串聯(lián)再和R2并聯(lián)，隨后和R5分壓得到輸出電壓、
第二步，令輸出Vo為零-null，計(jì)算C1看出去的阻抗，Zc1=R4 VT/IT，得到下面示意圖,
其中IT=I1 I2,根據(jù)nullator的定義可知，V0=0，I0=0，顯然所以流過(guò)R5的電流是0，那么I1=VT/R3，流過(guò)R2的電流也是I1，所以1點(diǎn)的電位V1=-I1*R2= -[VT/R3]*R2，此時(shí)V1也是等于Vin的。為了統(tǒng)一計(jì)算方便，下文就不再用Vin表示了。
那么I2=(VT-V1)/R1, IT=I1 I2
通過(guò)以上兩個(gè)等式，可以聯(lián)立求解，得到VT和IT的關(guān)系，從而可以得到阻抗。
經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單化簡(jiǎn)，就能得到在C1 R4看出去的阻抗
最后從C1看出去的阻抗Zc1=R4 Z;
第三步，將輸出Vin短路，計(jì)算C1看出去的阻抗，Zc1=R4 VT/IT，得到下面示意圖,這個(gè)圖計(jì)算Zc1就比較方便了，就是幾個(gè)電阻的串并聯(lián)方式，這里就不展開(kāi)了，可以很快速的得到阻抗是R4 R1//[R3 (R1//R5)].
現(xiàn)在公式中的所有參數(shù)都計(jì)算出來(lái)了，只要講數(shù)據(jù)帶入就能得到最后的傳遞函數(shù)表達(dá)式：
最后公式看起來(lái)稍微有些復(fù)雜，但是通過(guò)軟件化簡(jiǎn)，得到的結(jié)果就簡(jiǎn)單了。實(shí)際表達(dá)式復(fù)雜也從一方面反應(yīng)了，要是用節(jié)點(diǎn)法得到這個(gè)表示式會(huì)更加麻煩的。這個(gè)帖子主要是解釋T型網(wǎng)絡(luò)的快速求解法，所以最好表達(dá)式是什么樣就是什么樣，不用刻意追求一個(gè)極簡(jiǎn) 表達(dá)式。
用兩個(gè)例子應(yīng)該是清楚自然的介紹了在復(fù)雜電路網(wǎng)絡(luò)下求解傳遞函數(shù)的方法。各位網(wǎng)友可以嘗試用兩種方法計(jì)算傳遞函數(shù)，看哪一種方法更加方便快捷。
如果想理解這個(gè)快速求解的來(lái)源，實(shí)際是EET原理的舉例說(shuō)明，詳細(xì)內(nèi)容可在IEEE上面搜索有相應(yīng)的論文介紹，也可以去B站看原理的介紹，這里推薦視頻查看[size=14.6667px]https://www.bilibili.com/video/BV1Xv411J7sw?from=search
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